¿º ÄÄ× ÙØÖÖ× ÙÖÖÖØØÓÒ× ÒÒÖÖÕÙÙ×
ÙÖÖ ¿º¿¿ ËËËËÑÑ ÔÖÖÒÒÒÔÔ ÙÒ ÐÑ ××ÚÓÒ ×Ø ÓÓÒÒÒ ÙÜ ÒÒÒÒÙÜ
ÖÖÝÓÒ Rº
∂f
∂r
−
d
dz
∂f
∂r = 0.
´¿ºººµ
ÄÄ ÓÒÒØØÓÒ f ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÙÜ ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÒØÖÖ ÐÐÐ× r, r
ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ×× r(z) = z
2
¸ r
×Ø ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØ Ø r¸ ÔÙÙ×ÕÙÙ r
= dr/dz = 2zº ÈÈÖ
ÐÐÐÙÖ׸ ×× ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ f ×Ø ÙÒÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ × ÙÜ ÚÚÖÖÖÖÐÐ× f = ar + br
¸
Ú a Ø b ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÕÙÙÐÐÓÒÕÙÙ׸ ÒÒÙÐÐÖ f ÕÙÙÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ z¸ ÕÙÙ ÐÐ×
ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ×ÓÒØ Ò ÙÐ× a = b = 0¸ ÓÒÒÖÑÑÒØ Ò ÕÙÙ ÐÐ× ÚÖÖÖÖÐÐ× r Ø r
×ÓÒØ
Ò ÙÜ ÕÙÙÒØØØØ× ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØØ׺
ÓÑÑÑ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ f ÒÒ ÔÔ× ÜÔÐÐÐÐØØÑÑÒØ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ z Ò× ÒÓØÖÖ
ÜÜÑÔÐи ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖÖÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÙÐÐÖ¹ÄÄÄÖÖÒÒÒ
¿¿
´´ÕÙÙØØÓÒ ¿ºººµ ÓÑÑÑ
ÕÙÙ ÖÖÒÒ ÜØÖÖÑÙÑ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒÒÒÐÐÐ I¸ Ú × ÓÒÒÒØØÓÒ× ÙÜ ÐÐÑÑØØ× ÜÜÜ× Ù ÓÖÖ Ù
ÓÑÑÑÒÒ ÒÒØØÓÒ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ y(x)º
ÄÄ ÚÖÖÖØØÓÒ I ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× ³ÙÒÒ ÚÚÖÖÖØØÓÒ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ y(x)¸ ׳³³ÖÖØ δI =
R
dx[(∂F/∂y)δy+
(∂F/∂y )δy ]¸ ¸ Ú δy = δ(dy/dx)º º ØØØÒØØÓÒ ÒÒ ÔÔ× ÓÒÒÓÒÒÖÖ Ð³³³ØØÓÒ ÐÐ ÖÖÒØØØÐÐÐ
d/dx ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ x Ø Ð³³³ØØÓÒ δ¸ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ×× ÖÖÖÖÖÖ ÐÐ ÚÖÖÖØØÓÒ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ
ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ y(x) ´´ººº »»´Ý´Üµµº ËÓÙ× Ð³³³ØØÓÒ δ¸ x ×Ø ××ÑÔÐÐÑÑÒØ ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÜÜ
ÐÐ ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÓÒÒ ÐÐ× ÙÜ ÓÔÔÖÖØØÓÒ׸ Ø ÖÖÖÖ δdy/dx = d(δy)/dxº
ÊÊÔÓÖØÓÒ× ÐÐ Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ δI¸ Ø ÔÔÖ ÔÔÖØØØ׸ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ δI =
R
dx[∂F/∂y − (d/dx)(∂F/∂y )]δy¸ Ó Ò Ó Ù × ÙØØÐÐ×× ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ δy = 0 Ù ÓÖÖ
г³ÒØØÖÚÚÐÐРг³ÒØØØÖÖØØÓÒ ÔÙÙ×ÕÙÙ ÒÓÙ× ×ÙÔÔÓ×× ÕÙÙ y(x) ØØØØ ÜÜÜ ÙÜ Ù
ÓÑÑÑÒÒº
ÄÄ ÖÖÖÖÖÖÖ Ð³³ÜØÖÖÑÙÑ I ÖÖÚÚÚÒØ ÐÐ ÚÖÖÖØØÓÒ ÔÖÖÑÑÑÖÖ δI ÔÓÙÖ ÙÒÒ
ÚÚÖÖÖØØÓÒ δy ÔÔØØØØ ÑÑÑ× ÖÖÖØÖÖÖÖÖº ÁР׳³Ò×ÙÙØ ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ y(x) ÚÚÖÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
[∂F/∂y−(d/dx)(∂F/∂y )] = 0¸ ÕÙÙØØÓÒ ÚÚÖÖÖØØÓÒÒÒÐÐÐ ÒÓÑÑÑÑ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÙÐÐÖ¹ÄÄÄÖÖÒÒÒ¸
ÓÙ ÒÒÓÖÖ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÙÐÐÖ¸ Ù ÒÓÑ Ù ××××ÒØØØÕÙÙ ×ÙÙ××× ÄÄÓÒÒÒÖÖ ÙÐÐÖ ´½½¼¼¹½½½¿µº Ò×
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÙÐÐÖ¸ ÐÐ ÕÙÙÒØØØØ ×Ø ³³ÙÐÐÖ¹ÄÄÄÖÖÒÒÒ¸ ÓÙ ÖÖÚ
ÓÒÒØØÓÒÒÒÐÐи ÓÙ ÒÒÓÖÖ ÖÖÖظ Ù ÒÓÑ Ù ÑÑØØØÑÑØØØØØÒ ÖÖÒÒÒÒ× ÅÅÙÖÖÖÖ ÊÊÒÒ
ÖÖÖØ ´½½½¿¹½½½½µº ÁÐ ×Ø ³Ù×××× ³ÙØØÐÐ××Ö ÔÓÙÖ ØØØ ÐÐ ÒÓØØØØÓÒ ×ÝÑÑÓÐÐÕÙÙ δI/δyº
¿¿ ÈÙÙ×ÕÙÙ f ÒÒ ÔÔ× ÜÔÐÐÐÐØØÑÑÒØ Ø z ´f = f (r, r )µ¸ ÐÐ f ׳³³ÖÖØ