¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ×Ø Ò Ø × ×Ý×ØØÑÑ× ÖÖØ× ÔÔÖ × ÕÙÙØØÓÒ× ÒÓÒ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ× × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÍÒÒ ×ØÖÖØØØØØ ÔÓÙÖ ØØÒØØÖ ³Ý
Ø Ò×× Ù ÑÑÑÙÜ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ×ØÖÙÙØÙÖÖÐÐÐ Ù ÑÓÓÓÐи ×Ø
ÖÖÖÙÙÖÖ ÐÐ× ÓÑÑÑÒÒ× ÚÚÖÖÖØØÓÒ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ׸ ÕÙÙ ÔÓ××××Ðк ÅÅÅ×
ÒÒØÙÖÖÐÐÐÑÑÒظ ÙÒÒ ÔÔÙÚÖÖ ÓÒÒÒÒ×××ÒÒÒ Ù ×Ý×ØØÑѸ Ø ÑÑÑÑ ÙÒÒ ××ÒÒÒ
ÑÓÓÓÐÐ ÕÙÙÒØØØØØØØ ´´ÓÑÑѸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÐÐ ÔÐÙÔÔÖØ × ×Ý×ØØÑÑ× ÓÐÓÓÓÕÙÙ×µ
×ÓÒØ ÙØØÒØ ÙÐØØ× ÕÙÙ ÖÖÒÒÒÒØ ÐÐ ×ØÖÖØØØØØ ÐÐ ÓÔØØÖ
ÁÐ Ò³³Ò ÖÖ×ØØ ÔÔ× ÑÓÓÒ× ÕÙ٠г³ÖÖÙÔØØÓÒ ÖÙ×ÕÙÙ׸ Ò× ÐÐ
ÓÒØØÜØØ ÑÓÓÓÐÐ× ÖÖØ× ÔÔÖ ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ ÒÒ ÔÖÖ××ÒØØÒØ ÔÖÖÓÖÖ ÙÙÙÒ
ÒØ ´ Ú ÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ× ¿º¿¿ Ø ¿º¿¿ ÕÙÙ ÖÖÚÚÒØ Ù Ò ÔÓØØÒØØØÐ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ
³ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÒÒÐÝØØÕÙÙ¸ ÙÒ ÔÓÐÝÒÒÑѸ ÓÒÒ ××Ò× ××ÒÒÙÐÐÖÖØص¸ ÑÑÙÖÖ
ÙÒ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ ÖÖÑÑÖÕÙÙÙÐи ÚÓÓÖÖ ÑÝ×ØØÖÖÖÙÜ ÔÓÙÖ ÐÙÙ ÓÙ ÐÐÐ ÕÙ٠г³³ÓÖÖÖ
ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÓÓ׺ × ÖÙ×ÕÙÙ× ÓÓØØÒÙ×
ÔÔÖ ÐÐ ÚÚÖÖÖØØÓÒ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØ ÐÐÐÙ ØÖÖÚÖ× ÐÐ ÐÐÐÒÒ ´ÓÙ ×ÙÖÖÖÖÖµ ×
ØØ×ØÖÓÔÔÔ׺ ÝÒØ ØÙÙÙ٠г³ÜÜÑÔÐÐ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ Ù×Ô Ò ØØØи ÒÓÙ×
×ÓÑÑÑ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ò ÑÑ×ÙÖÖ ÔÖÖ××ÒØØÖ ÙÒÒ ÐÐ××××××ØØÓÒ ×Ý×ØØÑÑØØÕÙÙ ×
ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ³³×Ø Ð³ÓÓØ Ù ÔÖÓÓÒ ÔÔØÖÖº
¿ºº ÈÖÓÓÐÐÑÑ×
¿ººº½ ÈÖÓÓÐÐÑÑ ÐÐ ÔÐÐØØØÙ ÅÅÜÛÐÐ
ÅÓÒØÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÐÐÐÒÒ =
∗
Ò× ÐÐ ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¾¾µ
Ù ÈÐÐØØØÙ ÅÅÜÛÛÐÐ Ò× ÐÐ× ÔÖÓÓÐÐÑÑ× ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÔÔÔ××׺
ËÓÐÙØØÓÒ ÄÄ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØÐÐ× Ø ÑÑØØ×ØØØÐÐ× ´×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØÐÐ×µ
V (A2) = V (A0)¸ ÓÓ A0 Ø A2 ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ ÐÐ× ÑÔÐÐØÙÙÙ× × ÙÜ
×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØÐÐ Ø ÑÑØØ×ØØØÐÐ Ò ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖÖÖÖÖ ØØØ
ÐÐØØ ÓÑÑÑ V (A2)−V (A0) = 0 Ø Ð³³ÒØØÖÔÖÖØØÖ ÓÑÑÑ ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØØ ³ÙÒÒ ÒØØØÖÖØØÓÒ
ÐÐ ÖÖÒØØØÐÐÐ ØÓØØÐÐ Ù ÔÓØØÒØØØÐ dV ÒØÖÖ ÐÐ× ÙÜ ØØØ× 0 Ø 2 ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ
ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× A0 Ø A2¸ ×ÓÓØ
Z (2)
(0)
dV = 0.
´¿ºº¼µ
ÓÑÔØØ ØØÒÙ ×ÓÒ ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ ´ Ú ÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ¿ººµ¸ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V (A, ,) ×Ø
ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÙÜ ÚÚÖÖÖÖÐÐ׺ ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× Ò×× ÜÔÖÖÑÑÖ ÐÐ ÖÖÒØØØÐÐÐ Ù ÔÓ¹
ØØÒØØØÐ dV Ò ÓÒÒØØÓÒ ××× ÔÔÖØØØÐÐÐ׸ ×ÓÓØ dV = (∂V /∂A)dA + (∂V /∂∂)ddº
ÓÑÑÑ dV ×Ø ÙÒÒ ØÓØØÐи ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÓÓ××Ö ÐÐ ÑÑÒ ³³ÒØØØÖÖØØÓÒ
ÒÓÙ× ÓÔØÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ Ò ÕÙÙØÖÖ ØÖÓÒÒÓÒ× (a, b)¸ (b, c)¸ (c, d) Ø
(d, e)¸ ØÓÙ× ××ØÙÙ× ×ÙÖ ÐÐ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¾¾µ¸ ÐÐ ÐÓÒÒ ÐÐÕÙÙÐÐи
××××ÖÓÒ× ÐÐ× ÔÓÓÒØ× Ù ÔÐÐÒ (O, x, y)º ÁÐ× ×ÓÒØ Ò ÒÓÑÖÖ ÒÒÒÒ ÑÑÑÑ ÕÙ٠г³ÜÜ Ox
ÓÒØØØÒØ Ù Ò Ò Ó Ñ ÖÖ ÒÒÒÒ ÔÓÓÒØ× ÑÑÑ× ÐÐ ÖÖÔÔÓÖØ ÒØÖÖ ÐÐ ÒÓÑÖÖ ÔÓÓÒØ× ×ÙÖ Ð³³ÜÜ Ø
ÙÜ Ù ÔÐÐÒ ×Ø ØÖÖ× ÔÔØØØ ÕÙ³ÙÒÒ ÚÚÖÖÖÖÐи ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ ÐÐ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ¸ ××ÓÓÓÓÓ
ÕÙÙ ÔÓÓÒØ Ø Ù Ô Ð Ò × Ó Ø Ø Ð 100 ÖÖ× Ð××Ù× Ð³³ÜÜÜÔØØÓÒ × ÔÓÓÒØ× ××ØÙÙ× ÐÐ ÐÓÒÒ
г³ÜÜ ´Çܵ ÓÓ ÐÐ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ×Ø ÒÙÐÐи ÒÓÙ× ÔÓÙÖÖÖÓÒ× ÒÓÒÒÒÖ ÕÙÙ ÐÐ ÔÐÐÒ ×Ø ÐÓÓÓÐÐÑÑÒØ
ÙÙ ¸ ××Ò× ×× ØÖÓÑÔÔÖ ÚÖÖÖÑÑÒغ ÄÄ ××ÙÐ ÜÜ ÑÑÑÑ ÓÑÔÖÖÒÒÒØ ÙÒÒ ÒÒÒÒØØ
ÔÓÓÒØ× Ò³³×Ø ÔÔ× ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØØ Ð³³ØØØ Ù ÔÐÐÒ (O, x, y)º
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ×Ø Ò Ø × ×Ý×ØØÑÑ× ÖÖØ× ÔÔÖ × ÕÙÙØØÓÒ× ÒÓÒ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ× × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÍÒÒ ×ØÖÖØØØØØ ÔÓÙÖ ØØÒØØÖ ³Ý
Ø Ò×× Ù ÑÑÑÙÜ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ×ØÖÙÙØÙÖÖÐÐÐ Ù ÑÓÓÓÐи ×Ø
ÖÖÖÙÙÖÖ ÐÐ× ÓÑÑÑÒÒ× ÚÚÖÖÖØØÓÒ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ׸ ÕÙÙ ÔÓ××××Ðк ÅÅÅ×
ÒÒØÙÖÖÐÐÐÑÑÒظ ÙÒÒ ÔÔÙÚÖÖ ÓÒÒÒÒ×××ÒÒÒ Ù ×Ý×ØØÑѸ Ø ÑÑÑÑ ÙÒÒ ××ÒÒÒ
ÑÓÓÓÐÐ ÕÙÙÒØØØØØØØ ´´ÓÑÑѸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÐÐ ÔÐÙÔÔÖØ × ×Ý×ØØÑÑ× ÓÐÓÓÓÕÙÙ×µ
×ÓÒØ ÙØØÒØ ÙÐØØ× ÕÙÙ ÖÖÒÒÒÒØ ÐÐ ×ØÖÖØØØØØ ÐÐ ÓÔØØÖ
ÁÐ Ò³³Ò ÖÖ×ØØ ÔÔ× ÑÓÓÒ× ÕÙ٠г³ÖÖÙÔØØÓÒ ÖÙ×ÕÙÙ׸ Ò× ÐÐ
ÓÒØØÜØØ ÑÓÓÓÐÐ× ÖÖØ× ÔÔÖ ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ ÒÒ ÔÖÖ××ÒØØÒØ ÔÖÖÓÖÖ ÙÙÙÒ
ÒØ ´ Ú ÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ× ¿º¿¿ Ø ¿º¿¿ ÕÙÙ ÖÖÚÚÒØ Ù Ò ÔÓØØÒØØØÐ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ
³ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÒÒÐÝØØÕÙÙ¸ ÙÒ ÔÓÐÝÒÒÑѸ ÓÒÒ ××Ò× ××ÒÒÙÐÐÖÖØص¸ ÑÑÙÖÖ
ÙÒ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ ÖÖÑÑÖÕÙÙÙÐи ÚÓÓÖÖ ÑÝ×ØØÖÖÖÙÜ ÔÓÙÖ ÐÙÙ ÓÙ ÐÐÐ ÕÙ٠г³³ÓÖÖÖ
ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÓÓ׺ × ÖÙ×ÕÙÙ× ÓÓØØÒÙ×
ÔÔÖ ÐÐ ÚÚÖÖÖØØÓÒ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØ ÐÐÐÙ ØÖÖÚÖ× ÐÐ ÐÐÐÒÒ ´ÓÙ ×ÙÖÖÖÖÖµ ×
ØØ×ØÖÓÔÔÔ׺ ÝÒØ ØÙÙÙ٠г³ÜÜÑÔÐÐ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ Ù×Ô Ò ØØØи ÒÓÙ×
×ÓÑÑÑ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ò ÑÑ×ÙÖÖ ÔÖÖ××ÒØØÖ ÙÒÒ ÐÐ××××××ØØÓÒ ×Ý×ØØÑÑØØÕÙÙ ×
ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ³³×Ø Ð³ÓÓØ Ù ÔÖÓÓÒ ÔÔØÖÖº
¿ºº ÈÖÓÓÐÐÑÑ×
¿ººº½ ÈÖÓÓÐÐÑÑ ÐÐ ÔÐÐØØØÙ ÅÅÜÛÐÐ
ÅÓÒØÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÐÐÐÒÒ =
∗
Ò× ÐÐ ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¾¾µ
Ù ÈÐÐØØØÙ ÅÅÜÛÛÐÐ Ò× ÐÐ× ÔÖÓÓÐÐÑÑ× ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÔÔÔ××׺
ËÓÐÙØØÓÒ ÄÄ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØÐÐ× Ø ÑÑØØ×ØØØÐÐ× ´×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØÐÐ×µ
V (A2) = V (A0)¸ ÓÓ A0 Ø A2 ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ ÐÐ× ÑÔÐÐØÙÙÙ× × ÙÜ
×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØÐÐ Ø ÑÑØØ×ØØØÐÐ Ò ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖÖÖÖÖ ØØØ
ÐÐØØ ÓÑÑÑ V (A2)−V (A0) = 0 Ø Ð³³ÒØØÖÔÖÖØØÖ ÓÑÑÑ ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØØ ³ÙÒÒ ÒØØØÖÖØØÓÒ
ÐÐ ÖÖÒØØØÐÐÐ ØÓØØÐÐ Ù ÔÓØØÒØØØÐ dV ÒØÖÖ ÐÐ× ÙÜ ØØØ× 0 Ø 2 ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ
ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× A0 Ø A2¸ ×ÓÓØ
Z (2)
(0)
dV = 0.
´¿ºº¼µ
ÓÑÔØØ ØØÒÙ ×ÓÒ ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ ´ Ú ÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ¿ººµ¸ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V (A, ,) ×Ø
ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÙÜ ÚÚÖÖÖÖÐÐ׺ ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× Ò×× ÜÔÖÖÑÑÖ ÐÐ ÖÖÒØØØÐÐÐ Ù ÔÓ¹
ØØÒØØØÐ dV Ò ÓÒÒØØÓÒ ××× ÔÔÖØØØÐÐÐ׸ ×ÓÓØ dV = (∂V /∂A)dA + (∂V /∂∂)ddº
ÓÑÑÑ dV ×Ø ÙÒÒ ØÓØØÐи ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÓÓ××Ö ÐÐ ÑÑÒ ³³ÒØØØÖÖØØÓÒ
ÒÓÙ× ÓÔØÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ Ò ÕÙÙØÖÖ ØÖÓÒÒÓÒ× (a, b)¸ (b, c)¸ (c, d) Ø
(d, e)¸ ØÓÙ× ××ØÙÙ× ×ÙÖ ÐÐ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¾¾µ¸ ÐÐ ÐÓÒÒ ÐÐÕÙÙÐÐи
××××ÖÓÒ× ÐÐ× ÔÓÓÒØ× Ù ÔÐÐÒ (O, x, y)º ÁÐ× ×ÓÒØ Ò ÒÓÑÖÖ ÒÒÒÒ ÑÑÑÑ ÕÙ٠г³ÜÜ Ox
ÓÒØØØÒØ Ù Ò Ò Ó Ñ ÖÖ ÒÒÒÒ ÔÓÓÒØ× ÑÑÑ× ÐÐ ÖÖÔÔÓÖØ ÒØÖÖ ÐÐ ÒÓÑÖÖ ÔÓÓÒØ× ×ÙÖ Ð³³ÜÜ Ø
ÙÜ Ù ÔÐÐÒ ×Ø ØÖÖ× ÔÔØØØ ÕÙ³ÙÒÒ ÚÚÖÖÖÖÐи ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ ÐÐ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ¸ ××ÓÓÓÓÓ
ÕÙÙ ÔÓÓÒØ Ø Ù Ô Ð Ò × Ó Ø Ø Ð 100 ÖÖ× Ð××Ù× Ð³³ÜÜÜÔØØÓÒ × ÔÓÓÒØ× ××ØÙÙ× ÐÐ ÐÓÒÒ
г³ÜÜ ´Çܵ ÓÓ ÐÐ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ×Ø ÒÙÐÐи ÒÓÙ× ÔÓÙÖÖÖÓÒ× ÒÓÒÒÒÖ ÕÙÙ ÐÐ ÔÐÐÒ ×Ø ÐÓÓÓÐÐÑÑÒØ
ÙÙ ¸ ××Ò× ×× ØÖÓÑÔÔÖ ÚÖÖÖÑÑÒغ ÄÄ ××ÙÐ ÜÜ ÑÑÑÑ ÓÑÔÖÖÒÒÒØ ÙÒÒ ÒÒÒÒØØ
ÔÓÓÒØ× Ò³³×Ø ÔÔ× ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØØ Ð³³ØØØ Ù ÔÐÐÒ (O, x, y)º