¿º ÄÄ× ÙØÖÖ× ÙÖÖÖØØÓÒ× ÒÒÖÖÕÙÙ×
ÙÖÖ ¿º¾¾ ´´µ ÈÓØØÒØØØÐ V = A
2 + A
4
º ´´µ ÈÓØØÒØØØÐ V = νA + A
2 + A
4
º ÁÁÁ ÓÒ
ÔÖÖ× < 0 Ø ν > 0º º Ù Ú ÓÓ××ÒÒÒÒ A = 0¸ ÐÐ× ÙÜ ÔÓØØÒØØØÐ× ×ÓÒØ ÕÙÙÐÐØØØØÚÑÑÒØ
ÖÖÒØ׺
г³×ÔÔÔÔ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ØØØ ÙÖÖ ÓÑÑØÖÖÕÙÙ ÒÒØ ÐÐ ×××ÒÒØÙÖÖ ¸ ÓÙ
ÔÓÖØØØØ ¸ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔº
ÄÄ ÔÓÖØÖÖÖØ ³ÙÒÒ ØØ×ØÖÓÔÔÔ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÜÜ ÓÒÒ ÐÐ×
ÐÐ× ÖÖÖÖÓÒ× ÕÙÙÐÐØØØØØ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ³ÙÒ
ÑÓÓÓÐÐ ×Ý×ØØÑѺ ÇÖ¸ Ø ³³×Ø ÐÐ ×××ÓÒÒ ÔÓÓÒØ ÑÔÓÖØØÒØ ØØØ ØÙÙÙ¸ ÐÐ
Ò Ó Ñ ÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ´ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÜØØÖÒÒ×µ ÔÓÙÖ
ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÓÒÒÒ ØØÖÑÑÒÒ Ò ÒÒ ÐÐ ÒÓÑÖÖ ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ÔÓ××××ÐÐ× Ø
ÖÖ×ÙÐØØØ ×Ø Ù ÒÓÑÖÖ ÚÖÖÖÖÐÐ× ´´´´ÖÖ× ÐÐÐÐÖØØ
Ù ×ÝØØÑѵ¸ ÐÐÕÙÙÐ ÔÔÙØ ÑÑÑÑ ØÖÖ ÒÒÒÒº ÈÈÖ ÜÜÑÔÐи ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÒÓÑÖÖ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖ ÓÓ Ð ÕÙÙ¹
ØÖÖ¸ ××ÙÐÐ× ××ÔØ ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ×ØØÒÒØØ× ÔÔÙÚÒØ ×× ÔÖÓÓÙÙÖÖ Ð ×³³³³Ø × ××ÔØ
ÐÐÑÑÒØØØÖÖ× Ù¹¹¹ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐи ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ
×× ÓÑÔÐÐÜÜÜÜ Ø ×ÓÒ ØÖÖÖØØÑÑÒØ ×× ××ØÙÙ Ò ÓÖ× Ù ÖÖ Ø ÓÙÚÖÖÖÖº
ü г³ÒÚÚÖ×׸ г³ÜÜ×ØØÒÒÒ ³ÙÒ ××ÙÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ ÔÔÙØ ØÖÖ Ð³ÓÖÖÖÖÒÒ
³ÙÒÒ ××ÖÖÖ ÖÖÖ Ò ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи г³ØÙÙÙ × ÓÙÐÐÑÑÒØ× Ù¹
× ÔÔÖÑÑØ ³³ÒØÖÓÓÙÙÖÖ ÐÐ ÒÓÑÖÖ ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ ÊÊÝÒÓÐÐ׸ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ
ÐÐ ÖÖÔÔÓÖØ ÒØÖÖ ÐÐ× ÓÖÖÖ× ³³ÒÒÖØØØ Ø ÐÐ× ÓÖÖÖ× ÚÚ×ÕÙÙÙ××× ××ÙÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
ÔÔÖÑÑØ ÔÓÙÖØØÒØ ÖÖÖØØÖÖ××Ö ÐÐ ÒÒØÙÖÖ Ù ÖÖÖÖÑÑ Ò× ÐÐÕÙÙÐ Ø
×× ××ØÙÙ ×ÓÓØ ÐÐÑÑÒÒÒÖÖ¸ ØÖÖÒ××ØÓÓÖÖ ÓÙ ØÙÖÖÙÐÐÒغ
ÈÖÖÖÖ×ÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÐÐ ÓÖÑÑ ÑÑØØØÑÑØØÕÙÙ ÐÐ ÐÐ ØØ×ØÖÓ¹
ÔÔÔ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÑÓÓÓÓÓ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿º¿¿µ ØÖÖÖØØ ÔÖÖÖÖÖÖ¹
ÑÑÒغ ÄÄ× ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× V
= 0 ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿º¿¿µ Ø V
= 0 ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿º¿¿µ
ÔÔÖÑÑØØØÒØ ³ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
Δ ≡ 8
3
+ 27ν
2
= 0.
´¿º¿¿µ
ij³ÕÙÙØØÓÒ ÙÙÙÕÙÙ ¿º¿¿ ÔÓ××××× ÙÒÒ ÓÙ ØÖÓÓ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ÖÖÖÐÐÐ× Ò ÓÒÒØØÓÒ
Ù ×××ÒÒ ÐÐ ÓÒÒÒÚÚØØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V
= Δº ËË ÐÐ ÓÒÒÒÚÚØØ ×Ø ÒÒÒÒØØÚÚ
´Δ ≤ 0µ¸ Ð ÜÜ×ØØ ØÖÓÓ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ÖÖÖÐÐÐ× Ò ÖÖÚÚÒÒ¸ Ð Ò³³ÜÜ×ØØ ÕÙ³ÙÒÒ ××ÙÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ ÖÖÖÐÐи ×× ÐÐ ×Ø ÔÓ××ØØÚ ´ Δ > 0µ¸ ÐÓÖ× ÕÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒÒÚÚØØ
׳³ÒÒÙÐÐ ´Δ = 0µ¸ ÙÜ ÔÔÖÑÑ ÐÐ× ØÖÓÓ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ×× ÓÒÒÓÒÒÒÒØ ¾ º ÄÄ ÓÒÒÒØØÓÒ
¾ Ò× ÐÐ × ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ ÓÓ ÐÐ× ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐÐ ×ÓÒØ Ò ÙÐ× = ν = 0¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
ÙÖÖ ¿º¾¾ ´´µ ÈÓØØÒØØØÐ V = A
2 + A
4
º ´´µ ÈÓØØÒØØØÐ V = νA + A
2 + A
4
º ÁÁÁ ÓÒ
ÔÖÖ× < 0 Ø ν > 0º º Ù Ú ÓÓ××ÒÒÒÒ A = 0¸ ÐÐ× ÙÜ ÔÓØØÒØØØÐ× ×ÓÒØ ÕÙÙÐÐØØØØÚÑÑÒØ
ÖÖÒØ׺
г³×ÔÔÔÔ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ØØØ ÙÖÖ ÓÑÑØÖÖÕÙÙ ÒÒØ ÐÐ ×××ÒÒØÙÖÖ ¸ ÓÙ
ÔÓÖØØØØ ¸ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔº
ÄÄ ÔÓÖØÖÖÖØ ³ÙÒÒ ØØ×ØÖÓÔÔÔ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÜÜ ÓÒÒ ÐÐ×
ÐÐ× ÖÖÖÖÓÒ× ÕÙÙÐÐØØØØØ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ³ÙÒ
ÑÓÓÓÐÐ ×Ý×ØØÑѺ ÇÖ¸ Ø ³³×Ø ÐÐ ×××ÓÒÒ ÔÓÓÒØ ÑÔÓÖØØÒØ ØØØ ØÙÙÙ¸ ÐÐ
Ò Ó Ñ ÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ´ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÜØØÖÒÒ×µ ÔÓÙÖ
ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÓÒÒÒ ØØÖÑÑÒÒ Ò ÒÒ ÐÐ ÒÓÑÖÖ ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ÔÓ××××ÐÐ× Ø
ÖÖ×ÙÐØØØ ×Ø Ù ÒÓÑÖÖ ÚÖÖÖÖÐÐ× ´´´´ÖÖ× ÐÐÐÐÖØØ
Ù ×ÝØØÑѵ¸ ÐÐÕÙÙÐ ÔÔÙØ ÑÑÑÑ ØÖÖ ÒÒÒÒº ÈÈÖ ÜÜÑÔÐи ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÒÓÑÖÖ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖ ÓÓ Ð ÕÙÙ¹
ØÖÖ¸ ××ÙÐÐ× ××ÔØ ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ×ØØÒÒØØ× ÔÔÙÚÒØ ×× ÔÖÓÓÙÙÖÖ Ð ×³³³³Ø × ××ÔØ
ÐÐÑÑÒØØØÖÖ× Ù¹¹¹ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐи ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ
×× ÓÑÔÐÐÜÜÜÜ Ø ×ÓÒ ØÖÖÖØØÑÑÒØ ×× ××ØÙÙ Ò ÓÖ× Ù ÖÖ Ø ÓÙÚÖÖÖÖº
ü г³ÒÚÚÖ×׸ г³ÜÜ×ØØÒÒÒ ³ÙÒ ××ÙÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ ÔÔÙØ ØÖÖ Ð³ÓÖÖÖÖÒÒ
³ÙÒÒ ××ÖÖÖ ÖÖÖ Ò ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи г³ØÙÙÙ × ÓÙÐÐÑÑÒØ× Ù¹
× ÔÔÖÑÑØ ³³ÒØÖÓÓÙÙÖÖ ÐÐ ÒÓÑÖÖ ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ ÊÊÝÒÓÐÐ׸ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ
ÐÐ ÖÖÔÔÓÖØ ÒØÖÖ ÐÐ× ÓÖÖÖ× ³³ÒÒÖØØØ Ø ÐÐ× ÓÖÖÖ× ÚÚ×ÕÙÙÙ××× ××ÙÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
ÔÔÖÑÑØ ÔÓÙÖØØÒØ ÖÖÖØØÖÖ××Ö ÐÐ ÒÒØÙÖÖ Ù ÖÖÖÖÑÑ Ò× ÐÐÕÙÙÐ Ø
×× ××ØÙÙ ×ÓÓØ ÐÐÑÑÒÒÒÖÖ¸ ØÖÖÒ××ØÓÓÖÖ ÓÙ ØÙÖÖÙÐÐÒغ
ÈÖÖÖÖ×ÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÐÐ ÓÖÑÑ ÑÑØØØÑÑØØÕÙÙ ÐÐ ÐÐ ØØ×ØÖÓ¹
ÔÔÔ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÑÓÓÓÓÓ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿º¿¿µ ØÖÖÖØØ ÔÖÖÖÖÖÖ¹
ÑÑÒغ ÄÄ× ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× V
= 0 ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿º¿¿µ Ø V
= 0 ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿º¿¿µ
ÔÔÖÑÑØØØÒØ ³ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
Δ ≡ 8
3
+ 27ν
2
= 0.
´¿º¿¿µ
ij³ÕÙÙØØÓÒ ÙÙÙÕÙÙ ¿º¿¿ ÔÓ××××× ÙÒÒ ÓÙ ØÖÓÓ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ÖÖÖÐÐÐ× Ò ÓÒÒØØÓÒ
Ù ×××ÒÒ ÐÐ ÓÒÒÒÚÚØØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V
= Δº ËË ÐÐ ÓÒÒÒÚÚØØ ×Ø ÒÒÒÒØØÚÚ
´Δ ≤ 0µ¸ Ð ÜÜ×ØØ ØÖÓÓ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ÖÖÖÐÐÐ× Ò ÖÖÚÚÒÒ¸ Ð Ò³³ÜÜ×ØØ ÕÙ³ÙÒÒ ××ÙÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ ÖÖÖÐÐи ×× ÐÐ ×Ø ÔÓ××ØØÚ ´ Δ > 0µ¸ ÐÓÖ× ÕÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒÒÚÚØØ
׳³ÒÒÙÐÐ ´Δ = 0µ¸ ÙÜ ÔÔÖÑÑ ÐÐ× ØÖÓÓ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ×× ÓÒÒÓÒÒÒÒØ ¾ º ÄÄ ÓÒÒÒØØÓÒ
¾ Ò× ÐÐ × ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ ÓÓ ÐÐ× ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐÐ ×ÓÒØ Ò ÙÐ× = ν = 0¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ