ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÄÄ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ××ØØ××ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
V
= ν + 2AA + 4A
3
= 0.
´¿º¿¿µ
ÔÓØØÒØØØÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿º¿¿µ¸ ÒØÖÓÓÙÙØ ÐÓÖ× Ð³³ØÙÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ Ñ¹
ÔÔÖÖÖÖØØ ´ÚÓÓÖ ¿µ¸ ×Ø ÑÑÒÒÒÒ×ØØÑÑÒØ ØÖÖ× ××ÑÑÐÐÐÐÐ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÐÐ
ÙÖÖÖØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿º¿¿µ ÔÐÙ× ××ÑÑÐÐÐÐÐ ³³³ÐÐÐÙÖ׸ ÕÙÙ ÐÐ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ³³ÑÔÔÖÖÖÖØØÓÒ ν ×Ø ÔÔØØغ ºØ ÔÓÙÖØØÒظ ÓÑÑÑ Ð ØØ ×ÓÙÐÐÐÒÒ¸
× ÙÜ ÔÓØØÒØØØÐ× ×ÓÒØ ÕÙÙÐÐØØØØÚÚÑÑÒØ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¾¾¸ ÐÐ ÖÖÔÖÖ××Ò¹
ØØØØÓÒ ÖÖÔÔÔÕÙÙ × ÙÜ ÔÓØØÒØØØÐ×µº ºÙ ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ (V
= 0)¸ ÒÓÙ× ÔÓÙ¹
ÚÓÒ× Ò Ø ÚÚ×ÙÙÐÐ××Ö ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ¿º¾¾ ÕÙÙ¸ ³ÙÒÒ ÓÒ ÒÒÖÖÐи ÐÐ ÓÒÒÒÚÚØØ
Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÑÓÓÓÓÓ ´V
µ ÒÒ ×³³ÒÒÙÐÐ ÔÔ׸ Ù ÐÐÐ Ù ÔÓØØÒØØØÐ
ÒÒØØØк ÄÄ ÔÓØØÒØØØÐ ÑÓÓÓÓÓ¸ ÒÒÐÙÙÒØ ÓÒÒ ÐÐ ØØÖÑÑ ³³ÑÔÔÖÖÖÖØØÓÒ νA ´´ÚÚÚ
ν = 0µ¸ ×Ø ÓÒÒ ÔÐÙ× ÖÓÓÙ×Øظ Ö Ð ÒÒ ×ÙÙÙØ ÔÔ× ÕÙÙÐÐØØØØØ ×ÙÙØØ
ÙÒÒ ÔÔØØØØ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ Ò Ø¸ ÐÐ ÓÒÒÒÚÚØØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÑÓÓÓÓÓ ÒÒÒ
ÔÔÖ
V
= Δ = 2 + 12A
2
´¿º¿¿µ
ÒÒ ×³³ÒÒÙÐÐ ÔÔ× ÒÒÒÒ××××ÖÖÑÑÒØ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×³³ÒÒÙÐÐ ´ = 0µº
Ò×׸ Ò ÑÑØØØÒØ ÕÙÙ ÒÓÙ× ×ÓÝÓÒ× ÓÒÒÖÓÒØØ ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ V (A) ´ÔÔÖ
ÜÜÑÔÐи ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ¿º¿¿µ ÓÒØ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ×³³ÒÒÙÐÐ ´ Δ = 0µ Ò ÙÒ ÔÓÓÒØ
ÜÜ ÓÒÒÒ V
= 0¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ØÓÙÙÓÙÖ× ÖÖÒÒÖÖ ÔÓØØÒØØØÐ ÖÖÖØÖÖÖÖÖÑÑÒØ
ÖÓÓÙ×Øظ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ØÖÓÙÚÚÖ × ÓÒÒØØÓÒ× ÖÖÖØÖÖÖÖÖÑÑÒØ Ô Ö Ó × ÔÓØØÒØØØÐ
´´ººº ÚÓÓÖ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ÑÓÓÓÓÓ ÖÖØ ÔÔÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ¿º¿¿ Ò× Ð³³ÜÜÑÔÐÐ ¹¹ÚÒص
Ø ØØÐ ÕÙÙ ÔÓÙÖØØÒظ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÐÐ ÖÖÚ ×××ÓÒÒÒ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ×ÓÓØ ÒÓÒ ÒÙÐÐÐ
´Δ = 0 ÔÓÙÖ = 0µ Ù ÔÓÓÒØ ÜÜ V
= 0º ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ
ÖÖÖÖÐÐ V (A) ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ¿º¿¿µ ÓÒØ Ð Ö Ú ×××ÓÒÒÒ ×³³ÒÒÙÐÐ
´ Δ = 0µ Ò ÙÒ ÔÓÓÒØ ÜÜ ÓÒÒÒ V
= 0¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ØÓÙÙÓÙÖ× ÐÙÙ ××ÓÓÓÓÖ
ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ ÖÓÓÙ×ØØ ´´ººº¸ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ÑÓÓÓÓÓ ÕÙÙØØÓÒ ¿º¿¿ Ò× Ð³³ÜÜÑÔÐÐ ¹
ÚÒص Ò ÐÙÙ ÓÓÓÒÒÒØ Ù Ò ØØÖÑÑ ÖÖÖØÖÖÖØØÑÑÒØ Ô Ø Ø ´ØØÖÑÑ ³³ÑÔÔÖÖÖÖØØÓÒ
νA Ò× Ð³³ÜÜÑÔÐÐ ¹¹ÚÒصº
ÅÅÅ׸ Ø ³³×Ø ÐÐ ÔÓÓÒØ ÖÙÙÙÙÐ ØØØ ØÙÙÙ¸ ÑÑÑÑ ×× ÔÓØØÒØØØÐ ××ѹ
ÐÐ ÖÓÓÙ×ØØ ´ÔÔÖ ÒÒØØÓÒ ³ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ ÖÓÓÙ×ØØ Δ = 0 ÔÓÙÖ = 0µ¸ Ð
Ò³³×Ø ÔÔ× ÒÒÒÒÐÐÐÐÐÐ ÔÓÙÖ ÙØØÒØ Ø ÁÐ ÜÜ×ØØ ØÓÙÙÓÙÖ× ÙÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ´´´´
Ø νµ¸ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐ ÐÐ× ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× V
= 0 Ø V
= 0 ×ÓÒØ ××ØØ××××ØØ× ¾ º
ijÙÒÒ × ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× ØØÖÑÑÒÒ ÐÐ ÚÐÐÙÖ Ù ÔÓÓÒØ ÜÜ V
= 0¸ ¸ Ø Ð ³ Ù Ø Ö
ÕÙÙØØÓÒ V
= 0 ÜÜ ÙÒÒ ÖÖÐÐØØÓÒ ÐÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ø νº ØØØ ÖÖÐÐØØÓÒ
ÒÒØ ÙÒÒ ÙÒÒ ÐÐÐÒÒ¸ ÙÜ ÓÑÑÑÒÒ× Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ ×
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ´, νµº Ò× ÙÒ × ÓÑÑÑÒÒ׸ ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ÓÒØ ÕÙÙÐÐØØØØÚÚ¹
ÑÑÒØ ÐÐ ØÖÖÚÚÖ××× ØØØ ÙÒÒ ØØ×ØÖÓÔÔÔº
ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ ØÖÖÚÚÖ××Ö ØØØ ÐÐ
ÒÓÑÖÖ ÓÙ ÐÐ ÒÒØÙÖÖ × ×ÓÐÙØØÓÒ׺ ü ÕÙÙ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ×Ø ÓÒÒ ÙÒÒ
ÙÖÖ ÓÑÑØÖÖÕÙÙ ÙÜ ÐÐ× ÖÖÒØ× ÓÑÑÑÒÒ×
¾ ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ÔÐÙ× ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÒÒÐÙØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ׸ Ø ÔÐÙ× Ð ×Ø ÐÐ ³ÓÓØØÒÒÖ ÙÒ ØØÐ Ù
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ׺ ÆÓØÓÒ× ØÓÙØ ÑÑÑÑ ÕÙÙ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÔÔÙØ ØÓÙÙÓÙÖ×
ØÖÖ ÖÖÖÙÙØ Ò ÙÒ ÔÔÖÓÔÖÖÖ × ÕÙÙØØÓÒ× Ù ÔÖÓÓÐÐÑѺ
ÄÄ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ××ØØ××ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
V
= ν + 2AA + 4A
3
= 0.
´¿º¿¿µ
ÔÓØØÒØØØÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿º¿¿µ¸ ÒØÖÓÓÙÙØ ÐÓÖ× Ð³³ØÙÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ Ñ¹
ÔÔÖÖÖÖØØ ´ÚÓÓÖ ¿µ¸ ×Ø ÑÑÒÒÒÒ×ØØÑÑÒØ ØÖÖ× ××ÑÑÐÐÐÐÐ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÐÐ
ÙÖÖÖØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿º¿¿µ ÔÐÙ× ××ÑÑÐÐÐÐÐ ³³³ÐÐÐÙÖ׸ ÕÙÙ ÐÐ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ³³ÑÔÔÖÖÖÖØØÓÒ ν ×Ø ÔÔØØغ ºØ ÔÓÙÖØØÒظ ÓÑÑÑ Ð ØØ ×ÓÙÐÐÐÒÒ¸
× ÙÜ ÔÓØØÒØØØÐ× ×ÓÒØ ÕÙÙÐÐØØØØÚÚÑÑÒØ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¾¾¸ ÐÐ ÖÖÔÖÖ××Ò¹
ØØØØÓÒ ÖÖÔÔÔÕÙÙ × ÙÜ ÔÓØØÒØØØÐ×µº ºÙ ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ (V
= 0)¸ ÒÓÙ× ÔÓÙ¹
ÚÓÒ× Ò Ø ÚÚ×ÙÙÐÐ××Ö ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ¿º¾¾ ÕÙÙ¸ ³ÙÒÒ ÓÒ ÒÒÖÖÐи ÐÐ ÓÒÒÒÚÚØØ
Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÑÓÓÓÓÓ ´V
µ ÒÒ ×³³ÒÒÙÐÐ ÔÔ׸ Ù ÐÐÐ Ù ÔÓØØÒØØØÐ
ÒÒØØØк ÄÄ ÔÓØØÒØØØÐ ÑÓÓÓÓÓ¸ ÒÒÐÙÙÒØ ÓÒÒ ÐÐ ØØÖÑÑ ³³ÑÔÔÖÖÖÖØØÓÒ νA ´´ÚÚÚ
ν = 0µ¸ ×Ø ÓÒÒ ÔÐÙ× ÖÓÓÙ×Øظ Ö Ð ÒÒ ×ÙÙÙØ ÔÔ× ÕÙÙÐÐØØØØØ ×ÙÙØØ
ÙÒÒ ÔÔØØØØ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ Ò Ø¸ ÐÐ ÓÒÒÒÚÚØØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÑÓÓÓÓÓ ÒÒÒ
ÔÔÖ
V
= Δ = 2 + 12A
2
´¿º¿¿µ
ÒÒ ×³³ÒÒÙÐÐ ÔÔ× ÒÒÒÒ××××ÖÖÑÑÒØ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×³³ÒÒÙÐÐ ´ = 0µº
Ò×׸ Ò ÑÑØØØÒØ ÕÙÙ ÒÓÙ× ×ÓÝÓÒ× ÓÒÒÖÓÒØØ ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ V (A) ´ÔÔÖ
ÜÜÑÔÐи ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ¿º¿¿µ ÓÒØ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ×³³ÒÒÙÐÐ ´ Δ = 0µ Ò ÙÒ ÔÓÓÒØ
ÜÜ ÓÒÒÒ V
= 0¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ØÓÙÙÓÙÖ× ÖÖÒÒÖÖ ÔÓØØÒØØØÐ ÖÖÖØÖÖÖÖÖÑÑÒØ
ÖÓÓÙ×Øظ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ØÖÓÙÚÚÖ × ÓÒÒØØÓÒ× ÖÖÖØÖÖÖÖÖÑÑÒØ Ô Ö Ó × ÔÓØØÒØØØÐ
´´ººº ÚÓÓÖ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ÑÓÓÓÓÓ ÖÖØ ÔÔÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ¿º¿¿ Ò× Ð³³ÜÜÑÔÐÐ ¹¹ÚÒص
Ø ØØÐ ÕÙÙ ÔÓÙÖØØÒظ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÐÐ ÖÖÚ ×××ÓÒÒÒ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ×ÓÓØ ÒÓÒ ÒÙÐÐÐ
´Δ = 0 ÔÓÙÖ = 0µ Ù ÔÓÓÒØ ÜÜ V
= 0º ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ
ÖÖÖÖÐÐ V (A) ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ¿º¿¿µ ÓÒØ Ð Ö Ú ×××ÓÒÒÒ ×³³ÒÒÙÐÐ
´ Δ = 0µ Ò ÙÒ ÔÓÓÒØ ÜÜ ÓÒÒÒ V
= 0¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ØÓÙÙÓÙÖ× ÐÙÙ ××ÓÓÓÓÖ
ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ ÖÓÓÙ×ØØ ´´ººº¸ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ÑÓÓÓÓÓ ÕÙÙØØÓÒ ¿º¿¿ Ò× Ð³³ÜÜÑÔÐÐ ¹
ÚÒص Ò ÐÙÙ ÓÓÓÒÒÒØ Ù Ò ØØÖÑÑ ÖÖÖØÖÖÖØØÑÑÒØ Ô Ø Ø ´ØØÖÑÑ ³³ÑÔÔÖÖÖÖØØÓÒ
νA Ò× Ð³³ÜÜÑÔÐÐ ¹¹ÚÒصº
ÅÅÅ׸ Ø ³³×Ø ÐÐ ÔÓÓÒØ ÖÙÙÙÙÐ ØØØ ØÙÙÙ¸ ÑÑÑÑ ×× ÔÓØØÒØØØÐ ××ѹ
ÐÐ ÖÓÓÙ×ØØ ´ÔÔÖ ÒÒØØÓÒ ³ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ ÖÓÓÙ×ØØ Δ = 0 ÔÓÙÖ = 0µ¸ Ð
Ò³³×Ø ÔÔ× ÒÒÒÒÐÐÐÐÐÐ ÔÓÙÖ ÙØØÒØ Ø ÁÐ ÜÜ×ØØ ØÓÙÙÓÙÖ× ÙÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ´´´´
Ø νµ¸ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐ ÐÐ× ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× V
= 0 Ø V
= 0 ×ÓÒØ ××ØØ××××ØØ× ¾ º
ijÙÒÒ × ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× ØØÖÑÑÒÒ ÐÐ ÚÐÐÙÖ Ù ÔÓÓÒØ ÜÜ V
= 0¸ ¸ Ø Ð ³ Ù Ø Ö
ÕÙÙØØÓÒ V
= 0 ÜÜ ÙÒÒ ÖÖÐÐØØÓÒ ÐÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ø νº ØØØ ÖÖÐÐØØÓÒ
ÒÒØ ÙÒÒ ÙÒÒ ÐÐÐÒÒ¸ ÙÜ ÓÑÑÑÒÒ× Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ ×
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ´, νµº Ò× ÙÒ × ÓÑÑÑÒÒ׸ ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ÓÒØ ÕÙÙÐÐØØØØÚÚ¹
ÑÑÒØ ÐÐ ØÖÖÚÚÖ××× ØØØ ÙÒÒ ØØ×ØÖÓÔÔÔº
ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ ØÖÖÚÚÖ××Ö ØØØ ÐÐ
ÒÓÑÖÖ ÓÙ ÐÐ ÒÒØÙÖÖ × ×ÓÐÙØØÓÒ׺ ü ÕÙÙ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ×Ø ÓÒÒ ÙÒÒ
ÙÖÖ ÓÑÑØÖÖÕÙÙ ÙÜ ÐÐ× ÖÖÒØ× ÓÑÑÑÒÒ×
¾ ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ÔÐÙ× ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÒÒÐÙØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ׸ Ø ÔÐÙ× Ð ×Ø ÐÐ ³ÓÓØØÒÒÖ ÙÒ ØØÐ Ù
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ׺ ÆÓØÓÒ× ØÓÙØ ÑÑÑÑ ÕÙÙ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÔÔÙØ ØÓÙÙÓÙÖ×
ØÖÖ ÖÖÖÙÙØ Ò ÙÒ ÔÔÖÓÔÖÖÖ × ÕÙÙØØÓÒ× Ù ÔÖÓÓÐÐÑѺ