¿º ÄÄ× ÙØÖÖ× ÙÖÖÖØØÓÒ× ÒÒÖÖÕÙÙ×
г³ÚÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ü¹
ØØÖÒÒ ÓÒØÖÖÐÐ µ¸ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ØÙÙÙÙ ÐÐ ÕÙÙÐÐØØØØØ
× ×ÓÐÙØØÓÒ× Ò× ÐÐ ××ÙÐ ×ÔÔÔÔ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ×
ÄÄ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ×³³ÔÔÙÙÙ ×ÙÖ ÐÐ ÒÓØØÓÒ ×ØØØØÐÐØØ ×ØÖÙÙØÙÖÖÐÐÐ ÔÓÙÖ
ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ× ÓÖÑÑ× ÒÒÖÖÕÙÙ× × ÖÖÒØ× ØÝÔÔ× ÒÒÒÑÑÒØ Ø Óѹ
ÔÓÖØØÑÑÒغ
ÁÐ ÙØ ÔÖÖÖÖ××Ö¸ ÕÙÙ ØØØ ØØØÓÖÖÖ ÙØØÐÐ×× ÙÒ ÔÓ×ØÙÐÐØ ××
ÕÙÙ ÔÔÙØ ÔÔÖÖÖØÖÖ¸ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÚÙÙ¸ ÖÖ×ØÖÖÖØØØ ÐÐÐ ×ÙÔÔÓ×× ÕÙÙ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
Ù ×Ý×ØØÑÑ ×Ø ÒÒØÙÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐи ¸ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ ÕÙ٠г³ÚÓÐÙØØÓÒ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ
ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ØÙÙÙÙÙ ³ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ×× ÓÖÑÙÐÐ ÔÔÖ
ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ ×ÔÔÔÔÔÕÙÙ ØÝÔÔ ˙
A = −∂V (A)/∂A¸ ÓÓ V ×Ø ÐÐ
ÔÓØØÒØØØк ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ×Ø Ò Ø ÑÓÓÒ× ÖÖ×ØÖÖÖØØÚÚ ÕÙ³³Ð Ò³Ý ÔÔÖÖÖØ Ö¸
ÑÑÑÑ ×× ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÒÒ ÔÔ× ³ÙÒ ÔÓØØÒØØØи
Ð ×Ø ÔÓ××××ÐÐ ÕÙÙ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÕÙÙ ÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÔÐÙ× ³³ÒØØÖÖØ Ò× ÐÐ ××ÖÖÔØØÓÒ
Ù ×Ý×ØØÑѸ ×ÓÙ××ÖÖÚ ÔÓÙÖ ×× ÔÔÖØ ÙÒÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÕÙÙ ³ÙÒ ÔÓØØÒØØØк
ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× Ò ÓÙÚÖÖÖ ÔÐÙ×××ÙÖ× ÜÜÑÔÐÐ× Ò× ÐÐ× ÔÔÔÔ× ÕÙÙ ×ÙÙÚÒغ
¿ººº½ ÁÐÐÙ×ØÖÖØØÓÒ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ×
ÁÐÐÙ×ØÖÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ú Ð³³ÔÔÖÓÓÓÓ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ÙÒ
ÜÜÑÔÐÐ ØÖÖÖØØ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒØ Ð³³³³³ Ù ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒº
ÆÓÙ× ÚÓÒ× ÚÙ Ò× Ð³³ØÙÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÐÐ ×××ØØÓÒ ¾º¿ºº¸ ÕÙ٠г³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¾µ ÖÖÚ ³ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ V = −A
2 /2 +
A
4 /4º Ò ØÙÙÒØ × ÒÒÒÑÑÒØ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÕÙÙØ× ÔÓÙÖ ×³³³ÖÖÒÒÖ
× ØØÙÖ× ÓÒ×ØØÒØ× ´A →
√
2A Ø → −µ¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖÖÖÖÖ ÔÓØØÒ¹
ØØØÐ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ÓÒÚÒØØÓÒÒÒÐÐÐ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ÓÑÑÑ
V (A) = A
2
+ A
4 .
´¿º¿¿µ
ÓÔØÓÒ׸ ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØظ ÐÐ× ÒÓØØØØÓÒ× ×ÙÙÚÒØØ× ∂V/∂A ≡ V
Ø ∂
2 V/∂A
2
≡
V
º ÄÄ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×ÓÒØ ÔÔÖ ÒÒØØÓÒ ÓÓØØÒÙ× ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ Ò³³ÚÓÐÙÙ ÔÐÙ× Ò× ÐÐ ØØÑÔ× ÐÓÖ×ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÖÖÚ ³ÙÒ
ÔÓØØÒØØØи ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ø Ù Ü ÑÑÜÜÑÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V (A)¸ ×ÓÓØ
ÐÓÖ×ÕÙÙ V
= 0º ü ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿º¿¿µ¸
ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× ×ÙÙÚÚÒØØ× A 0 = 0 Ø A ± = ±
/2 ××
> 0 ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÒÙи ÐÐ× ØÖÓÓ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×ÓÒØ
Ð Ý ÓÒÒ ÒÒÖÖ×××ÒÒÒ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ´A = 0 ×Ø ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ
ØÖÖÔÐеº ÍÒ ÔÓÓÒØ ÜÜ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÒÒØ ÔÐÙ× ÙÒ ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ¸
ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ÒÒÒ ÓÒÒ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ Ù
ÔÓØØÒØØØÐ V
= Δ ÒÒÒ ×××ÒÒ¸ ¸¸ ÕÙÙ ×× ÔÖÓÓÙÙØ ÐÓÖ×ÕÙÙ Δ ×³³ÒÒÙÐи ×ÓÓØ
ÐÓÖ×ÕÙÙ V
= Δ = 12A
2
+ 2 = 12A
2
+ 2 = 0º
ÓÙØÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÔÓØØÒØØØÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿º¿¿µ ÐÐ ØØÖÑÑ νA¸ ¸ ÚÚÚ ν ÐÐ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
V = νA + A
2
+ A
4 .
´¿º¿¿µ
г³ÚÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ü¹
ØØÖÒÒ ÓÒØÖÖÐÐ µ¸ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ØÙÙÙÙ ÐÐ ÕÙÙÐÐØØØØØ
× ×ÓÐÙØØÓÒ× Ò× ÐÐ ××ÙÐ ×ÔÔÔÔ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ×
ÄÄ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ×³³ÔÔÙÙÙ ×ÙÖ ÐÐ ÒÓØØÓÒ ×ØØØØÐÐØØ ×ØÖÙÙØÙÖÖÐÐÐ ÔÓÙÖ
ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ× ÓÖÑÑ× ÒÒÖÖÕÙÙ× × ÖÖÒØ× ØÝÔÔ× ÒÒÒÑÑÒØ Ø Óѹ
ÔÓÖØØÑÑÒغ
ÁÐ ÙØ ÔÖÖÖÖ××Ö¸ ÕÙÙ ØØØ ØØØÓÖÖÖ ÙØØÐÐ×× ÙÒ ÔÓ×ØÙÐÐØ ××
ÕÙÙ ÔÔÙØ ÔÔÖÖÖØÖÖ¸ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÚÙÙ¸ ÖÖ×ØÖÖÖØØØ ÐÐÐ ×ÙÔÔÓ×× ÕÙÙ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
Ù ×Ý×ØØÑÑ ×Ø ÒÒØÙÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐи ¸ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ ÕÙ٠г³ÚÓÐÙØØÓÒ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ
ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ØÙÙÙÙÙ ³ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ×× ÓÖÑÙÐÐ ÔÔÖ
ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ ×ÔÔÔÔÔÕÙÙ ØÝÔÔ ˙
A = −∂V (A)/∂A¸ ÓÓ V ×Ø ÐÐ
ÔÓØØÒØØØк ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ×Ø Ò Ø ÑÓÓÒ× ÖÖ×ØÖÖÖØØÚÚ ÕÙ³³Ð Ò³Ý ÔÔÖÖÖØ Ö¸
ÑÑÑÑ ×× ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÒÒ ÔÔ× ³ÙÒ ÔÓØØÒØØØи
Ð ×Ø ÔÓ××××ÐÐ ÕÙÙ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÕÙÙ ÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÔÐÙ× ³³ÒØØÖÖØ Ò× ÐÐ ××ÖÖÔØØÓÒ
Ù ×Ý×ØØÑѸ ×ÓÙ××ÖÖÚ ÔÓÙÖ ×× ÔÔÖØ ÙÒÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÕÙÙ ³ÙÒ ÔÓØØÒØØØк
ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× Ò ÓÙÚÖÖÖ ÔÐÙ×××ÙÖ× ÜÜÑÔÐÐ× Ò× ÐÐ× ÔÔÔÔ× ÕÙÙ ×ÙÙÚÒغ
¿ººº½ ÁÐÐÙ×ØÖÖØØÓÒ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ×
ÁÐÐÙ×ØÖÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ú Ð³³ÔÔÖÓÓÓÓ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ÙÒ
ÜÜÑÔÐÐ ØÖÖÖØØ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒØ Ð³³³³³ Ù ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒº
ÆÓÙ× ÚÓÒ× ÚÙ Ò× Ð³³ØÙÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÐÐ ×××ØØÓÒ ¾º¿ºº¸ ÕÙ٠г³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¾µ ÖÖÚ ³ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ V = −A
2 /2 +
A
4 /4º Ò ØÙÙÒØ × ÒÒÒÑÑÒØ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÕÙÙØ× ÔÓÙÖ ×³³³ÖÖÒÒÖ
× ØØÙÖ× ÓÒ×ØØÒØ× ´A →
√
2A Ø → −µ¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖÖÖÖÖ ÔÓØØÒ¹
ØØØÐ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ÓÒÚÒØØÓÒÒÒÐÐÐ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ÓÑÑÑ
V (A) = A
2
+ A
4 .
´¿º¿¿µ
ÓÔØÓÒ׸ ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØظ ÐÐ× ÒÓØØØØÓÒ× ×ÙÙÚÒØØ× ∂V/∂A ≡ V
Ø ∂
2 V/∂A
2
≡
V
º ÄÄ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×ÓÒØ ÔÔÖ ÒÒØØÓÒ ÓÓØØÒÙ× ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ Ò³³ÚÓÐÙÙ ÔÐÙ× Ò× ÐÐ ØØÑÔ× ÐÓÖ×ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÖÖÚ ³ÙÒ
ÔÓØØÒØØØи ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ø Ù Ü ÑÑÜÜÑÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V (A)¸ ×ÓÓØ
ÐÓÖ×ÕÙÙ V
= 0º ü ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿º¿¿µ¸
ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× ×ÙÙÚÚÒØØ× A 0 = 0 Ø A ± = ±
/2 ××
> 0 ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÒÙи ÐÐ× ØÖÓÓ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×ÓÒØ
Ð Ý ÓÒÒ ÒÒÖÖ×××ÒÒÒ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ´A = 0 ×Ø ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ
ØÖÖÔÐеº ÍÒ ÔÓÓÒØ ÜÜ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÒÒØ ÔÐÙ× ÙÒ ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ¸
ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ÒÒÒ ÓÒÒ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ Ù
ÔÓØØÒØØØÐ V
= Δ ÒÒÒ ×××ÒÒ¸ ¸¸ ÕÙÙ ×× ÔÖÓÓÙÙØ ÐÓÖ×ÕÙÙ Δ ×³³ÒÒÙÐи ×ÓÓØ
ÐÓÖ×ÕÙÙ V
= Δ = 12A
2
+ 2 = 12A
2
+ 2 = 0º
ÓÙØÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÔÓØØÒØØØÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿º¿¿µ ÐÐ ØØÖÑÑ νA¸ ¸ ÚÚÚ ν ÐÐ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
V = νA + A
2
+ A
4 .
´¿º¿¿µ