¿º ÄÄ× ÙØÖÖ× ÙÖÖÖØØÓÒ× ÒÒÖÖÕÙÙ×
¿ºººº ÓÖÑÑ ÙÒÒÚÚÖ××ÐÐÐ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÓйÒÒÙÙ
Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ³ÙÒ ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ¸ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÕÙÙÙÖØ ÙÒ ÖÖÖØØÖÖ ÙÒÒ¹
ÚÚÖ××к ³³×Ø ÔÓÙÖÕÙÓÓ ÒÓÙ× ×ÓÙÙÙÙØÓÒ× ÒÒÐÝ××Ö ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× Ò× ÚÓÓ××ÒÒÒÒº
ÈÈÖ ÓÒÚÒØØÓÒ¸ Ð ×Ø ×ÓÙÚÒØ ÒÒÒÕÙÙ ³³³³³ØÙÙÖ ÙÒ ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ú ÖÖÖÖÐÐ
ÔÖÖÖÐÐÐÐÐ ÓÒØ Ð ÙØ ×Ø ××ÑÔÐÐÑÑÒØ ÖÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ
Ù×ÙÙÐÐÐ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ θ 0 = 0 ´´Ø ÒÓÒ π/2µ¸ ÔÓÙÖ ×× ÓÒÒÓÖÑÑÖ Ð³Ù××××
ÕÙÙ ÔÖÖÚÚÙØ Ò× ÐÐ× ××××ÒÒÒ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ׺ ÆÓÙ× ÔÓ×ÓÒ× ÓÒÒ θ = π/2 + ψ¸ ¸ Ø
г³ÕÙÙØØÓÒ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿º¾½µ ÚÚÚÒØ Ø
2μ ˙
ψ + cos(ψ) − ν = 0,
´¿º¾¾µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÕÙÙ¸ ÔÖÓÓ Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ¸ ¨
ψ ÚÚÚÒØ ÔÔØØØ ½ ÔÔÖ
ÖÖÔÔÓÖØ ˙
ψº Ò ÓÙØÖÖ¸ г³ÒÒÐÐ ψ ×Ø ÔÔØØØ ÔÖÖ× Ù ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÕÙÙ
ÙØÓÖÖ×× ÙÒ ÐÐÑÑØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿º¾¾µºü
гÓÖÖÖÖ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
˙
ψ = ψ
2
− ,
´¿º¾¾µ
ÓÓ = 2(1−ν) > 0 ¾¼ º ij³ÕÙÙØØÓÒ ¿º¾¾ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÓÖÑÑ ÒÒÖÖÕÙÙ
³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÓйÒÒÙÙ ³³×Ø Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙº
ÄÄ× ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ÓÒØ ψ = ±
√
Ø ÜÜ×ØØÒØ ÔÓÙÖ > 0º ÇÒ ÔÔÙØ
ÐÐÑÑÒØ Ú ÖÖÖÖÖ ÕÙÙ
√
×Ø Ò×ØØØÐи ØØÒÒÒ× ÕÙÙ −
√
×Ø ×ØØØÐк ÁÐ ×ÙÙØ
ÖÖÖÖÖÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÓÙ× ÓÖÑÑ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ
˙
ψ = −
dV
dψ
, V = ψ −
ψ
3
3
.
´¿º¾¾µ
ÈÓÙÖ > 0¸ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V (ψ) ÔÓ××××× ÙÒ ÑÑÒÒÑÙÑ ´×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐе¸ Ø
ÙÒ ÑÑÜÜÑÙÑ ´×ÓÐÙØØÓÒ Ò×ØØØÐе ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º½½µ ÔÓÙÖ = 0 ÐÐ ÑÑÒÒÑÙÑ
׳³ÒÒÒÒÒÐÐ ÐÐ ÑÑÜÜÑÙÑ ÔÓÙÖ ÓÒÒÒÖ ÐÐÐÙ ÙÒ ÔÓÓÒØ ³³ÒÒÒÜÜÓÒ ÓÖÖÞÓÒØØк
ÈÓÙÖ < 0¸ V ÒÒ ÔÓ××××× ÙÙÙÒ ÐÐ ×××ØØÓÒ ³³ÜÜ×ØØÒÒÒ
ÔÓÓÒØ Üܺ × ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ× ÖÖØÖÖÖÙÙ××ÒØ Ò× ÙÒ ÙØÖÖ ÐÐÒÒÒÒÒ ÐÐ× ÑÑÑÑ×
ÖÖ×ÙÐØØØ× ÓÓØØÒÙ× Ò× ÐÐ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÔÖÖÖÖÖÖÒغ
¿ºººº ÇÖÖÖÖÒÒ ÐÐ ÒÓÑÑÒÒØØÓÒ ÓйÒÒÙÙ
ÈÓÙÖ > 0¸ ÒÓÙ× ÚÙ ¹¹¹××Ù× ÕÙÙ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V (ψ) ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ
ÓйÒÒÙÙ ÔÓ××××× ÙÒ ÑÑÒÒÑÙÑ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º½½µ ÔÓÙÖ ÓÑÑÑÒÒ ÚÐÐÙÖ×
Ù ÔÔÖÖÑÑÖÖ ¸ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ Ò×× ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ×ØØØÐи ÚÖ×
ÐÐÕÙÙÐ Ð ØØÒÒ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× t ´t → ∞µ¸ ÕÙÙÐÐÐ× ÕÙÙ ×ÓÓÓÒØ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒ¹
ØØØÐÐ× Ù ×Ý×ØØÑѺ Ò×׸ ÙÒÒ ÖÖÖÓÖÑÙÐÐØØÓÒ ÑÑÑÑÑ ÓÒ×××ØØ ÒÓÒÒÒÖ ÕÙÙ ØØØ
×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ØØØÖÖ ØÓÙØØ× ÐÐ× ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× ³ÓÓ¸ Ò× ÐÐ
ÒÓÑÑÒÒØØÓÒ ÒÒÙÙ ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÑÒÒÑÙÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V (ψ)º
½ ÎÓÓÖ ÐÐ ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒØ ØØØ Ò× ÐÐ ¾¸ ÐÓÖ×ÕÙ٠г³ÐÐÑÑÒÒ¹
ØØÓÒ ØØÕÙÙ ØØ ØÖÖÖØØغ
¾¼ ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ν = 1 Ø ÓÒÒ ×Ø ÔÔØØØ Ò× ÚÓÓ××ÒÒÒÒº
¿ºººº ÓÖÑÑ ÙÒÒÚÚÖ××ÐÐÐ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÓйÒÒÙÙ
Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ³ÙÒ ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ¸ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÕÙÙÙÖØ ÙÒ ÖÖÖØØÖÖ ÙÒÒ¹
ÚÚÖ××к ³³×Ø ÔÓÙÖÕÙÓÓ ÒÓÙ× ×ÓÙÙÙÙØÓÒ× ÒÒÐÝ××Ö ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× Ò× ÚÓÓ××ÒÒÒÒº
ÈÈÖ ÓÒÚÒØØÓÒ¸ Ð ×Ø ×ÓÙÚÒØ ÒÒÒÕÙÙ ³³³³³ØÙÙÖ ÙÒ ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ú ÖÖÖÖÐÐ
ÔÖÖÖÐÐÐÐÐ ÓÒØ Ð ÙØ ×Ø ××ÑÔÐÐÑÑÒØ ÖÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ
Ù×ÙÙÐÐÐ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ θ 0 = 0 ´´Ø ÒÓÒ π/2µ¸ ÔÓÙÖ ×× ÓÒÒÓÖÑÑÖ Ð³Ù××××
ÕÙÙ ÔÖÖÚÚÙØ Ò× ÐÐ× ××××ÒÒÒ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ׺ ÆÓÙ× ÔÓ×ÓÒ× ÓÒÒ θ = π/2 + ψ¸ ¸ Ø
г³ÕÙÙØØÓÒ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿º¾½µ ÚÚÚÒØ Ø
2μ ˙
ψ + cos(ψ) − ν = 0,
´¿º¾¾µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÕÙÙ¸ ÔÖÓÓ Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ¸ ¨
ψ ÚÚÚÒØ ÔÔØØØ ½ ÔÔÖ
ÖÖÔÔÓÖØ ˙
ψº Ò ÓÙØÖÖ¸ г³ÒÒÐÐ ψ ×Ø ÔÔØØØ ÔÖÖ× Ù ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÕÙÙ
ÙØÓÖÖ×× ÙÒ ÐÐÑÑØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿º¾¾µºü
гÓÖÖÖÖ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
˙
ψ = ψ
2
− ,
´¿º¾¾µ
ÓÓ = 2(1−ν) > 0 ¾¼ º ij³ÕÙÙØØÓÒ ¿º¾¾ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÓÖÑÑ ÒÒÖÖÕÙÙ
³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÓйÒÒÙÙ ³³×Ø Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙº
ÄÄ× ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ÓÒØ ψ = ±
√
Ø ÜÜ×ØØÒØ ÔÓÙÖ > 0º ÇÒ ÔÔÙØ
ÐÐÑÑÒØ Ú ÖÖÖÖÖ ÕÙÙ
√
×Ø Ò×ØØØÐи ØØÒÒÒ× ÕÙÙ −
√
×Ø ×ØØØÐк ÁÐ ×ÙÙØ
ÖÖÖÖÖÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÓÙ× ÓÖÑÑ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ
˙
ψ = −
dV
dψ
, V = ψ −
ψ
3
3
.
´¿º¾¾µ
ÈÓÙÖ > 0¸ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V (ψ) ÔÓ××××× ÙÒ ÑÑÒÒÑÙÑ ´×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐе¸ Ø
ÙÒ ÑÑÜÜÑÙÑ ´×ÓÐÙØØÓÒ Ò×ØØØÐе ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º½½µ ÔÓÙÖ = 0 ÐÐ ÑÑÒÒÑÙÑ
׳³ÒÒÒÒÒÐÐ ÐÐ ÑÑÜÜÑÙÑ ÔÓÙÖ ÓÒÒÒÖ ÐÐÐÙ ÙÒ ÔÓÓÒØ ³³ÒÒÒÜÜÓÒ ÓÖÖÞÓÒØØк
ÈÓÙÖ < 0¸ V ÒÒ ÔÓ××××× ÙÙÙÒ ÐÐ ×××ØØÓÒ ³³ÜÜ×ØØÒÒÒ
ÔÓÓÒØ Üܺ × ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ× ÖÖØÖÖÖÙÙ××ÒØ Ò× ÙÒ ÙØÖÖ ÐÐÒÒÒÒÒ ÐÐ× ÑÑÑÑ×
ÖÖ×ÙÐØØØ× ÓÓØØÒÙ× Ò× ÐÐ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÔÖÖÖÖÖÖÒغ
¿ºººº ÇÖÖÖÖÒÒ ÐÐ ÒÓÑÑÒÒØØÓÒ ÓйÒÒÙÙ
ÈÓÙÖ > 0¸ ÒÓÙ× ÚÙ ¹¹¹××Ù× ÕÙÙ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V (ψ) ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ
ÓйÒÒÙÙ ÔÓ××××× ÙÒ ÑÑÒÒÑÙÑ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º½½µ ÔÓÙÖ ÓÑÑÑÒÒ ÚÐÐÙÖ×
Ù ÔÔÖÖÑÑÖÖ ¸ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ Ò×× ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ×ØØØÐи ÚÖ×
ÐÐÕÙÙÐ Ð ØØÒÒ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× t ´t → ∞µ¸ ÕÙÙÐÐÐ× ÕÙÙ ×ÓÓÓÒØ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒ¹
ØØØÐÐ× Ù ×Ý×ØØÑѺ Ò×׸ ÙÒÒ ÖÖÖÓÖÑÙÐÐØØÓÒ ÑÑÑÑÑ ÓÒ×××ØØ ÒÓÒÒÒÖ ÕÙÙ ØØØ
×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ØØØÖÖ ØÓÙØØ× ÐÐ× ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× ³ÓÓ¸ Ò× ÐÐ
ÒÓÑÑÒÒØØÓÒ ÒÒÙÙ ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÑÒÒÑÙÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V (ψ)º
½ ÎÓÓÖ ÐÐ ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒØ ØØØ Ò× ÐÐ ¾¸ ÐÓÖ×ÕÙ٠г³ÐÐÑÑÒÒ¹
ØØÓÒ ØØÕÙÙ ØØ ØÖÖÖØØغ
¾¼ ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ν = 1 Ø ÓÒÒ ×Ø ÔÔØØØ Ò× ÚÓÓ××ÒÒÒÒº