¿º ÄÄ× ÙØÖÖ× ÙÖÖÖØØÓÒ× ÒÒÖÖÕÙÙ×
½
Ò×ØØØÐе ÔÓÙÖ −1/4 < < < 0 Ø ÒÒÒÒØØÚ ´×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐе ÔÓÙÖ > 0 ´ÚÓÓÖ
ÐÐ× ÖÖÒØØ× ÖÖÒÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× Ò× ÐÐ ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÙÖÖ
¿º½¿µº
¿ºº ÙÖÖÖØØÓÒ ÓйÒÒÙÙ
ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× Ò× ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ØÙÙÙÙÖ ÙÒ ÙØÖÖ ØÝÔÔ ÙÖÖÖØØÓÒ Ø
г³³³³ ³ÙÒ ÜÜÑÔÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ××ÑÔÐÐ ÐÐ ÔÔÒÒÙÐк
¿ººº½ ÊÊÔÔÔÐ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ ××ÑÔÐÐ
ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÐÐ×××ÕÙÙ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ ××ÑÔÐÐ ÙÒÒ ÑÑ××× m
×Ø ×Ù×ÔÔÒÒÙÙ ÔÔÖ ÙÒ Ð ÐÓÒÒÙÙÙÖ l ØØØØ Ò ÙÒ ÔÓÓÒØ 0 ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º½½µº
ij³ÕÙÙØØÓÒ ÐÐ ÑÑ××× ÖÖ×ÙÐØØ Ù ØØØÓÖÖÑÑ Ù ÑÓÑÑÒØ ÒÒØØÕÙÙ¸
ÓÙ¸ ÑÑÒÒÒÖÖ ÕÙÙÚÚÐÐÒØظ ÐÐ ÐÓÓ ÓÒÒÒÑÑÒØØÐÐ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙº ËÓÓØ I ÐÐ
ÑÓÑÑÒØ ³³ÒÒÖØØظ Ø θ г³ÒÒÐÐ ÕÙÙ Ø Ð³³ÜÜ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ ÚÚÚ ÐÐ ÚÚÖØØØØÐи ÐÐ
ØØØÓÖÖÑÑ Ù ÑÓÑÑÒØ ÒÒØØÕÙ٠׳³ÜÔÖÖÑÑ ÐÐ ÑÑÒÒÒÖÖ ×ÙÙÚÚÒØØ
I ¨
θ = J,
´¿º½½µ
ÓÓ J ×Ø ÐÐ ÑÓÑÑÒØ × ÓÖÖÖ׺ Ò ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ ÚÚÚØÓÖÖÖÐÐи ÐÐ ÑÓÑÑÒØ ×
ÓÖÖÖ× ×³³ÜÔÖÖÑÑ ÓÑÑÑ ÐÐ ÔÖÓÓÙÙØ ÚÚÚØÓÖÖÖÐ Ù ÚÚÚØØÙÖ ÔÓ××ØØÓÒ r¸
ÓÑÑÑ ÓÖÖÖÖÒÒ ÐÐ ÔÓÓÒØ ×Ù×ÔÔÒ××ÓÒ O Ø ÐÐ ×ÓÑÑÑ × ÓÖÖÖ×
f ÔÔÐÐÕÙÙÙ×
ÐÐ ÑÑ××× ´
J = r ×
F µº Ò× ÐÐ × Ù ÔÔÒÒÙÐÐ ××ÑÔÐи ÐÐ ××ÙÐÐ ÓÖÖÖ ÔÔÐÐÕÙÙÙ
ÐÐ ÑÑ××× ×Ø ×ÓÒ ÔÓÓÓ×
F =
pÑg¸ Ó g ×Ø ÐÐ ÚØØÙÖ ÖÖÚÚØغ ÈÖ ÐÐÐÙÖ׸
ÐÐ ÑÓÑÑÒØ ³³ÒÒÖØØØ ×Ø ÓÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÔÖÓÓÙÙØ ÐÐ ÑÑ××× m Ø Ù ÖÖÖ ÐÐ
ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù Ð l ´I = mm
2
µ¸ Ø ÓÑÔØØ ØØÒÙ Ù Ø ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÚÚØØ g ×× ØÖÓÙÚÚ
Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ Ù ÑÓÙÚÚÑÑÒظ ÐÐ ÑÓÑÑÒØ × ÓÖÖÖ× J ×Ø ÓÒÒÒ ÔÔÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ
×ÙÙÚÒØØ J = −mgg sin(θ)º ij³ÕÙÙØØÓÒ Ù ÑÓÙÚÑÑÒØ ÔÖÖÒÒ ÐÓÖ× ÐÐ ÓÖÑÑ
¨
θ +
g
sin(θ) = 0.
´¿º½½µ
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÙØ ØÖÖ ÓÓØØÒÙÙ Ò ÙØØÐÐ××ÒØ ÐÐ ÓÖÑÑ ÓÖÖÖÖÒÒÐÐÐ ÐÐ
ÐÓÓ ÆÆÛØÓÒ¸ ÐÐ ÐÓÓ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ¸ ÐÐ ÔÖÓÓÙÙØ ÐÐ ÑÑ××× ÔÔÖ
г³³³³ÐÐÖÖØØÓÒ ×Ø ÐÐ ÐÐ ×ÓÑÑÑ × ÓÖÖÖ׺ ÁÐ ×ÙÙØ ÐÓÖ× ÔÖÓÓÓØØÖ ØØØ ÐÓÓ
ÐÐ ÐÓÒÒ ÐÐ ØØÒÒÒÒØØ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ´ÐÐ ÑÑ××× ÖÖØ ÙÒÒ ÔÓÖØØÓÒ ÖÖÐÐ ÐÓÖ×
ÕÙ³³Ð Ó×××ÐÐÐ ÙØÓÙÖ Ù ÔÓÓÒØ ×Ù×ÔÔÒ××ÓÒµ Ò ÐÐÒØ ÐÐ ÔÖÓÓÓÓØØÓÒ Ù ÔÓÓÓ×
mg sin(θ) г³³³³ÐÐÖÖØØÓÒ ml ¨
θ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ò ÐÐ ÑÑÑÑ ÕÙÙØØÓÒ ½ º ÄÄ×
ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ÚÖÖÖÖÒØ sin(θ 0 ) = 0 ´´´Ò× Ø ÓÙÚÖÖÖÖ¸ г³ÒÒÒÒÒ ³¼³ ×Ø ÙØØÐÐ×× ÔÓÙÖ
½ ij³ÕÙÙØØÓÒ Ù ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ÔÔÙØ ØÖÖ ÐÐÑÑÒØ ÓÓØØÒÙÙ ÔÐÙ× ××ÑÔÐÐÑÑÒØ Ø Ò ÙØØÐÐ××ÒØ
ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÐРг³ÒÒÖÖÖÖº ij³ÒÒÖÖÖÖ ØÓØØÐÐ ×Ø ÐÐ ×ÓÑÑÑ
г³ÒÒÖÖÖÖ ÒÒØØÕÙÙ Ec = m( ˙
θ) 2 /2 Ø Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ÖÖÚÚØØØØÓÒÒÒÐÐÐ Ep = mgg[1 −
cos(θ)]¸ ÓÓ ÓÒ ÔÖÖ× ÐÐ ÞÞÖÓ Ep ÕÙÙÒÒ ÐÐ ÑÑ××× ×Ø Ò× ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ θ = 0º Ò Ð³³³××ÒÒÒ
г³ÒÒÖÖÖÖ ØÓØØÐÐ ×Ø Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ׸ ×ÓÓØ
d(Ec+Ep)
dt
= 0¸ ¸ Õ Ù
ÓÒÒÙÙØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ù ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ¿º½½º
½
Ò×ØØØÐе ÔÓÙÖ −1/4 < < < 0 Ø ÒÒÒÒØØÚ ´×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐе ÔÓÙÖ > 0 ´ÚÓÓÖ
ÐÐ× ÖÖÒØØ× ÖÖÒÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× Ò× ÐÐ ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÙÖÖ
¿º½¿µº
¿ºº ÙÖÖÖØØÓÒ ÓйÒÒÙÙ
ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× Ò× ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ØÙÙÙÙÖ ÙÒ ÙØÖÖ ØÝÔÔ ÙÖÖÖØØÓÒ Ø
г³³³³ ³ÙÒ ÜÜÑÔÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ××ÑÔÐÐ ÐÐ ÔÔÒÒÙÐк
¿ººº½ ÊÊÔÔÔÐ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ ××ÑÔÐÐ
ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÐÐ×××ÕÙÙ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ ××ÑÔÐÐ ÙÒÒ ÑÑ××× m
×Ø ×Ù×ÔÔÒÒÙÙ ÔÔÖ ÙÒ Ð ÐÓÒÒÙÙÙÖ l ØØØØ Ò ÙÒ ÔÓÓÒØ 0 ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º½½µº
ij³ÕÙÙØØÓÒ ÐÐ ÑÑ××× ÖÖ×ÙÐØØ Ù ØØØÓÖÖÑÑ Ù ÑÓÑÑÒØ ÒÒØØÕÙÙ¸
ÓÙ¸ ÑÑÒÒÒÖÖ ÕÙÙÚÚÐÐÒØظ ÐÐ ÐÓÓ ÓÒÒÒÑÑÒØØÐÐ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙº ËÓÓØ I ÐÐ
ÑÓÑÑÒØ ³³ÒÒÖØØظ Ø θ г³ÒÒÐÐ ÕÙÙ Ø Ð³³ÜÜ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ ÚÚÚ ÐÐ ÚÚÖØØØØÐи ÐÐ
ØØØÓÖÖÑÑ Ù ÑÓÑÑÒØ ÒÒØØÕÙ٠׳³ÜÔÖÖÑÑ ÐÐ ÑÑÒÒÒÖÖ ×ÙÙÚÚÒØØ
I ¨
θ = J,
´¿º½½µ
ÓÓ J ×Ø ÐÐ ÑÓÑÑÒØ × ÓÖÖÖ׺ Ò ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ ÚÚÚØÓÖÖÖÐÐи ÐÐ ÑÓÑÑÒØ ×
ÓÖÖÖ× ×³³ÜÔÖÖÑÑ ÓÑÑÑ ÐÐ ÔÖÓÓÙÙØ ÚÚÚØÓÖÖÖÐ Ù ÚÚÚØØÙÖ ÔÓ××ØØÓÒ r¸
ÓÑÑÑ ÓÖÖÖÖÒÒ ÐÐ ÔÓÓÒØ ×Ù×ÔÔÒ××ÓÒ O Ø ÐÐ ×ÓÑÑÑ × ÓÖÖÖ×
f ÔÔÐÐÕÙÙÙ×
ÐÐ ÑÑ××× ´
J = r ×
F µº Ò× ÐÐ × Ù ÔÔÒÒÙÐÐ ××ÑÔÐи ÐÐ ××ÙÐÐ ÓÖÖÖ ÔÔÐÐÕÙÙÙ
ÐÐ ÑÑ××× ×Ø ×ÓÒ ÔÓÓÓ×
F =
pÑg¸ Ó g ×Ø ÐÐ ÚØØÙÖ ÖÖÚÚØغ ÈÖ ÐÐÐÙÖ׸
ÐÐ ÑÓÑÑÒØ ³³ÒÒÖØØØ ×Ø ÓÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÔÖÓÓÙÙØ ÐÐ ÑÑ××× m Ø Ù ÖÖÖ ÐÐ
ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù Ð l ´I = mm
2
µ¸ Ø ÓÑÔØØ ØØÒÙ Ù Ø ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÚÚØØ g ×× ØÖÓÙÚÚ
Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ Ù ÑÓÙÚÚÑÑÒظ ÐÐ ÑÓÑÑÒØ × ÓÖÖÖ× J ×Ø ÓÒÒÒ ÔÔÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ
×ÙÙÚÒØØ J = −mgg sin(θ)º ij³ÕÙÙØØÓÒ Ù ÑÓÙÚÑÑÒØ ÔÖÖÒÒ ÐÓÖ× ÐÐ ÓÖÑÑ
¨
θ +
g
sin(θ) = 0.
´¿º½½µ
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÙØ ØÖÖ ÓÓØØÒÙÙ Ò ÙØØÐÐ××ÒØ ÐÐ ÓÖÑÑ ÓÖÖÖÖÒÒÐÐÐ ÐÐ
ÐÓÓ ÆÆÛØÓÒ¸ ÐÐ ÐÓÓ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ¸ ÐÐ ÔÖÓÓÙÙØ ÐÐ ÑÑ××× ÔÔÖ
г³³³³ÐÐÖÖØØÓÒ ×Ø ÐÐ ÐÐ ×ÓÑÑÑ × ÓÖÖÖ׺ ÁÐ ×ÙÙØ ÐÓÖ× ÔÖÓÓÓØØÖ ØØØ ÐÓÓ
ÐÐ ÐÓÒÒ ÐÐ ØØÒÒÒÒØØ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ´ÐÐ ÑÑ××× ÖÖØ ÙÒÒ ÔÓÖØØÓÒ ÖÖÐÐ ÐÓÖ×
ÕÙ³³Ð Ó×××ÐÐÐ ÙØÓÙÖ Ù ÔÓÓÒØ ×Ù×ÔÔÒ××ÓÒµ Ò ÐÐÒØ ÐÐ ÔÖÓÓÓÓØØÓÒ Ù ÔÓÓÓ×
mg sin(θ) г³³³³ÐÐÖÖØØÓÒ ml ¨
θ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ò ÐÐ ÑÑÑÑ ÕÙÙØØÓÒ ½ º ÄÄ×
ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ÚÖÖÖÖÒØ sin(θ 0 ) = 0 ´´´Ò× Ø ÓÙÚÖÖÖÖ¸ г³ÒÒÒÒÒ ³¼³ ×Ø ÙØØÐÐ×× ÔÓÙÖ
½ ij³ÕÙÙØØÓÒ Ù ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ÔÔÙØ ØÖÖ ÐÐÑÑÒØ ÓÓØØÒÙÙ ÔÐÙ× ××ÑÔÐÐÑÑÒØ Ø Ò ÙØØÐÐ××ÒØ
ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÐРг³ÒÒÖÖÖÖº ij³ÒÒÖÖÖÖ ØÓØØÐÐ ×Ø ÐÐ ×ÓÑÑÑ
г³ÒÒÖÖÖÖ ÒÒØØÕÙÙ Ec = m( ˙
θ) 2 /2 Ø Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ÖÖÚÚØØØØÓÒÒÒÐÐÐ Ep = mgg[1 −
cos(θ)]¸ ÓÓ ÓÒ ÔÖÖ× ÐÐ ÞÞÖÓ Ep ÕÙÙÒÒ ÐÐ ÑÑ××× ×Ø Ò× ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ θ = 0º Ò Ð³³³××ÒÒÒ
г³ÒÒÖÖÖÖ ØÓØØÐÐ ×Ø Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ׸ ×ÓÓØ
d(Ec+Ep)
dt
= 0¸ ¸ Õ Ù
ÓÒÒÙÙØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ù ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ¿º½½º