¿º ÄÄ× ÙØÖÖ× ÙÖÖÖØØÓÒ× ÒÒÖÖÕÙÙ×
ÑÑØØ×ØØØÐк
ØØÖÑÑÒÓÒ× ÔÖÖ××ÒØ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ØØØØÐÐØØ × ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× A = 0
Ø A = A 2 ÐÐ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ ÑÑÑÑ ×ØØØØÐÐØØ ××
V (A = A 2 ) = V (A = A 0 = 0).
´¿º½¼µ
ÓÑÔØØ ØØÒ٠г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ¿ººµ¸ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ
Ò A 0 ׳³ÒÒÙÐÐ ÑÑÑÑ ÓÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ Ò A = A 2 ´V (0) = 0 = V (A 2 )µ¸
ÕÙÙ ÔÔÖÑÑØ ³³ÜÔÖÖÑÑÖ ÐÐ ØØÖÑÑ ³ÓÖÖÖÖ A
4
2 Ò ÓÒÒØØÓÒ × ØØÖÑÑ× ³ÓÖÖÖÖ
ÒÒÒÖÖÖÙÖ ´A
4
2 = 3 + 3/2A
2
2 µ Ø Ò ÖÖÔÖÖÒÒÒØ Ð Ó Ò ØÖÖÖÒØØ ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒ¹
ÒÒÒÖÖ× ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ¿ººµ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ØØØØÐÐØØ ×ÙÙÚÚÒØØ
A
2
2 = −4 > 0.
´¿º½½µ
Ò ÙØØÐÐ××ÒØ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× A 2 Ù ×Ý×ØØÑÑ Ò ÓÒÒ¹
ØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ¿ººµ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× A 0 Ø
A 2 ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ× ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ¸ ÒÓØØØ
= −3/16º
ÈÓÙÖ ÐÐ ÓÑÑÑÒÒ −1/4 < < < <
¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A 0 ×Ø ×ØØØÐÐ Ø ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A 2
×Ø ÑÑØØ×ØØØÐÐ ÐÐ ÓÒÒÐÙ××ÓÒ ×³³ÒÚÚÖ×× ÔÓÙÖ ÐÐ ÓÑÑÑÒÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ØØÐ ÕÙÙ
< < < 0º ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× Ú Ò× ÐÐ ×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ ¿ººº½¸ г³Ò¹
ØØÖÔÖÖØØØØÓÒ ÓÑÑØÖÖÕÙÙ ×ÓÙ×¹ØØÒÒÙÙ ÔÔÖ ÐÐ ÖÓÓØØ =
ØÖÖÖÖÖ Ò× ÐÐ ¹
ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ Ø ÒÓÑÑÑÑ ÔÐÐØØØÙ ÅÅÜÛÐÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¾¾µ¸
ÔÔÖ ÒÒÐÓÓÓÓ Ú ÐÐ ÓÒ×ØÖÙÙØØÓÒ ØÙÙÙ ÔÔÖ ÐÐ ××××ÒØØØÕÙÙ Ó××××× ÂÂÑÑ×
ÐÐÖÖ ÅÅÜÛÛÐÐ ´½½¿½¹½½½½µ Ò× ÐÐ × ÖØØØÒÒ× ØÖÖÒ××ØØÓÒ× ÔÔÔ×× ´ØØÐÐÐ
ÐÐ ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÐÐÕÙÙÙÙ¹¹¹Þ¸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐеº
¿º¾º½ ÅÅØØ×ØØØØÐÐØØ Ø ÖÖÐÐ × ÙÙØÙÙØØÓÒ×
ÄÄ× ØÖÖÒ××ØØÓÒ× ÔÔÔ×× ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ØØØÖÑÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ ´´Ù××ÓÒ¸ ÙÐÐй
ØØÓÒ¸ ×ÙÙÐÐÑÑØØÓÒµ¸ ØØ× ØÖÖÒ××ØØÓÒ× Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖ¸ ×ÓÒØ Ð³³ÒÒÐÓÓÙÙ ¹
ÙÖÖÖØØÓÒ× ×ÓÙ×¹¹ÖÖØØÕÙÙ× Ð³³ÜÜ×ØØÒÒÒ ÙÙØÙÙØØÓÒ× ØØØÖÑÑÕÙÙ× ÓÙ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ
³³ÑÔÙÖÖØØ× Ù ×××Ò ÐÐ ÑÑØØØÖÖ ×ÓÒØ ÐÐ× ØØÙÖ× ÐÐ ØÖÖÒ××ØØÓÒ
ÔÔÔ×× ××Ò× × ÔÔÖØÙÖÖÖØØÙÖ׸ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÙÖÖÖØ ÕÙÙÐÕÙÙ ÙÐØØ
ØÖÖÒ××ØØÖ ×ÔÓÒØØÒÒÑÑÒØ ³ÙÒ ØØØ ÑÑØØ×ØØØÐÐ ÚÚÖ× ÙÒ ØØØ ×ØØØÐк
ÈÈÖ ÜÜÑÔÐи ÙÒÒ Ù ÐÐÕÙÙÙÙ ÔÙÖÖ ÔÐÐÐÐÐ Ò× ÙÒ ÓÒÒÒÐÐØØÙÖ ÔÓÖØØ ÙÒÒ
ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ÔÐÙ×××ÙÖ× ÖÖ× Ò ××ÓÙ× 0
◦
×× ØÖÖÒ××ÓÖÑÑ ÐÐÑÑÒØ
Ò ÐÐÐÐ ½¼ º Ò ³³ÙØÖÖ× ØØÖÑÑ׸ Ò× × ÓÒÒÒØØÓÒ× ÐÐ× ÔÙÖÖØØ Ø ××Ò×
ÙÙÙÒÒ ÙÙØÙÙØØÓÒ ³³ÙÙÙÒÒ ×ÓÖØظ г³³Ù ÐÐÕÙÙÙÙ ÜÔÓ××× × ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ×
ÒÒÒÒØØÚÚ× ´´Ò Ù 0
◦
µ ÖÖ×ØØ Ð³³ØØØ ÐÐÕÙÙÙÙ ÑÑÑÑ ×× ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ØØØÖ¹
ÑÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ ½½ ÐÐ ÐÐÐÐ ³³³Ù ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ØØØÖÑÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ
½¼ ÅÅÅ׸ ÑÑÑÑ ÐÐ ØÖÖ× ÐÐ ÖÖ ³³ÑÔÙÖÖØØ ÑÑ× Ò× Ð³³³Ù ÔÓØØØÐÐ ×ÙÙØ ÓÖÑÑÖ ×
ÐÐÐÓÒ× Ò× ÐÐ ÐÐÐÓÒ× ³ÙÒ ÖÖÖÖÖÖÖÖÖØØÙÖ
½½ ÁÐ ÜÜ×ØØ ÔÓØØÒØØØÐ× ØØØÖÑÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ׸ ØØÐÐÐ× Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÒØØÖÒÒ¸ г³ÒÒÖÖÖÖ ÐÐÐÖÖ¸
г³ÒØØØÐÔÔÔ Ó٠г³ÒØØØÐÔÔÔ ÐÐÐÖÖ × Ð× ÓÒØ ÔÓÙÖ ÑÑÒ××ÓÒ ÐÐÐ ³ÙÒÒ ÒÒÖÖÖÖ Ø ×ÓÒØ
ÒÒÐÓÓÙÙ× Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ Ò ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÔÙÙ×ÕÙ³³Ð× ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ Ù
×Ý×ØØÑÑ Ø ×ÓÒØ ÑÑÒÒÑÑÙÜ Ð³³ÕÙÙÐÐÐÖÖº
ÑÑØØ×ØØØÐк
ØØÖÑÑÒÓÒ× ÔÖÖ××ÒØ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ØØØØÐÐØØ × ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× A = 0
Ø A = A 2 ÐÐ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ ÑÑÑÑ ×ØØØØÐÐØØ ××
V (A = A 2 ) = V (A = A 0 = 0).
´¿º½¼µ
ÓÑÔØØ ØØÒ٠г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ¿ººµ¸ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ
Ò A 0 ׳³ÒÒÙÐÐ ÑÑÑÑ ÓÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ Ò A = A 2 ´V (0) = 0 = V (A 2 )µ¸
ÕÙÙ ÔÔÖÑÑØ ³³ÜÔÖÖÑÑÖ ÐÐ ØØÖÑÑ ³ÓÖÖÖÖ A
4
2 Ò ÓÒÒØØÓÒ × ØØÖÑÑ× ³ÓÖÖÖÖ
ÒÒÒÖÖÖÙÖ ´A
4
2 = 3 + 3/2A
2
2 µ Ø Ò ÖÖÔÖÖÒÒÒØ Ð Ó Ò ØÖÖÖÒØØ ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒ¹
ÒÒÒÖÖ× ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ¿ººµ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ØØØØÐÐØØ ×ÙÙÚÚÒØØ
A
2
2 = −4 > 0.
´¿º½½µ
Ò ÙØØÐÐ××ÒØ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× A 2 Ù ×Ý×ØØÑÑ Ò ÓÒÒ¹
ØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ¿ººµ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× A 0 Ø
A 2 ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ× ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ¸ ÒÓØØØ
= −3/16º
ÈÓÙÖ ÐÐ ÓÑÑÑÒÒ −1/4 < < < <
¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A 0 ×Ø ×ØØØÐÐ Ø ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A 2
×Ø ÑÑØØ×ØØØÐÐ ÐÐ ÓÒÒÐÙ××ÓÒ ×³³ÒÚÚÖ×× ÔÓÙÖ ÐÐ ÓÑÑÑÒÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ØØÐ ÕÙÙ
< < < 0º ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× Ú Ò× ÐÐ ×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ ¿ººº½¸ г³Ò¹
ØØÖÔÖÖØØØØÓÒ ÓÑÑØÖÖÕÙÙ ×ÓÙ×¹ØØÒÒÙÙ ÔÔÖ ÐÐ ÖÓÓØØ =
ØÖÖÖÖÖ Ò× ÐÐ ¹
ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ Ø ÒÓÑÑÑÑ ÔÐÐØØØÙ ÅÅÜÛÐÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¾¾µ¸
ÔÔÖ ÒÒÐÓÓÓÓ Ú ÐÐ ÓÒ×ØÖÙÙØØÓÒ ØÙÙÙ ÔÔÖ ÐÐ ××××ÒØØØÕÙÙ Ó××××× ÂÂÑÑ×
ÐÐÖÖ ÅÅÜÛÛÐÐ ´½½¿½¹½½½½µ Ò× ÐÐ × ÖØØØÒÒ× ØÖÖÒ××ØØÓÒ× ÔÔÔ×× ´ØØÐÐÐ
ÐÐ ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÐÐÕÙÙÙÙ¹¹¹Þ¸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐеº
¿º¾º½ ÅÅØØ×ØØØØÐÐØØ Ø ÖÖÐÐ × ÙÙØÙÙØØÓÒ×
ÄÄ× ØÖÖÒ××ØØÓÒ× ÔÔÔ×× ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ØØØÖÑÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ ´´Ù××ÓÒ¸ ÙÐÐй
ØØÓÒ¸ ×ÙÙÐÐÑÑØØÓÒµ¸ ØØ× ØÖÖÒ××ØØÓÒ× Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖ¸ ×ÓÒØ Ð³³ÒÒÐÓÓÙÙ ¹
ÙÖÖÖØØÓÒ× ×ÓÙ×¹¹ÖÖØØÕÙÙ× Ð³³ÜÜ×ØØÒÒÒ ÙÙØÙÙØØÓÒ× ØØØÖÑÑÕÙÙ× ÓÙ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ
³³ÑÔÙÖÖØØ× Ù ×××Ò ÐÐ ÑÑØØØÖÖ ×ÓÒØ ÐÐ× ØØÙÖ× ÐÐ ØÖÖÒ××ØØÓÒ
ÔÔÔ×× ××Ò× × ÔÔÖØÙÖÖÖØØÙÖ׸ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÙÖÖÖØ ÕÙÙÐÕÙÙ ÙÐØØ
ØÖÖÒ××ØØÖ ×ÔÓÒØØÒÒÑÑÒØ ³ÙÒ ØØØ ÑÑØØ×ØØØÐÐ ÚÚÖ× ÙÒ ØØØ ×ØØØÐк
ÈÈÖ ÜÜÑÔÐи ÙÒÒ Ù ÐÐÕÙÙÙÙ ÔÙÖÖ ÔÐÐÐÐÐ Ò× ÙÒ ÓÒÒÒÐÐØØÙÖ ÔÓÖØØ ÙÒÒ
ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ÔÐÙ×××ÙÖ× ÖÖ× Ò ××ÓÙ× 0
◦
×× ØÖÖÒ××ÓÖÑÑ ÐÐÑÑÒØ
Ò ÐÐÐÐ ½¼ º Ò ³³ÙØÖÖ× ØØÖÑÑ׸ Ò× × ÓÒÒÒØØÓÒ× ÐÐ× ÔÙÖÖØØ Ø ××Ò×
ÙÙÙÒÒ ÙÙØÙÙØØÓÒ ³³ÙÙÙÒÒ ×ÓÖØظ г³³Ù ÐÐÕÙÙÙÙ ÜÔÓ××× × ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ×
ÒÒÒÒØØÚÚ× ´´Ò Ù 0
◦
µ ÖÖ×ØØ Ð³³ØØØ ÐÐÕÙÙÙÙ ÑÑÑÑ ×× ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ØØØÖ¹
ÑÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ ½½ ÐÐ ÐÐÐÐ ³³³Ù ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ØØØÖÑÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ
½¼ ÅÅÅ׸ ÑÑÑÑ ÐÐ ØÖÖ× ÐÐ ÖÖ ³³ÑÔÙÖÖØØ ÑÑ× Ò× Ð³³³Ù ÔÓØØØÐÐ ×ÙÙØ ÓÖÑÑÖ ×
ÐÐÐÓÒ× Ò× ÐÐ ÐÐÐÓÒ× ³ÙÒ ÖÖÖÖÖÖÖÖÖØØÙÖ
½½ ÁÐ ÜÜ×ØØ ÔÓØØÒØØØÐ× ØØØÖÑÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ׸ ØØÐÐÐ× Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÒØØÖÒÒ¸ г³ÒÒÖÖÖÖ ÐÐÐÖÖ¸
г³ÒØØØÐÔÔÔ Ó٠г³ÒØØØÐÔÔÔ ÐÐÐÖÖ × Ð× ÓÒØ ÔÓÙÖ ÑÑÒ××ÓÒ ÐÐÐ ³ÙÒÒ ÒÒÖÖÖÖ Ø ×ÓÒØ
ÒÒÐÓÓÙÙ× Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ Ò ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÔÙÙ×ÕÙ³³Ð× ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ Ù
×Ý×ØØÑÑ Ø ×ÓÒØ ÑÑÒÒÑÑÙÜ Ð³³ÕÙÙÐÐÐÖÖº