ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ØÙÙÙÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× Ù ×Ý×ØØÑÑ Ò
ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ø ÚÓÝÓÒ× ×× ÐÐ ××Ò× ÚÚÖÖÖØØÓÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ò¹
ÙÙº ÈÖØÓÒ× ³ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÒÒØØØÐÐ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ØØÐ ÕÙÙ −1/4 < < < −3/16º
Ò× ØØØ ÔÐÐÐÐ ÚÚÐÐÙÖ׸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÙÐÐÐ A = 0 ×Ø ÔÐÙ× ×Øع
Ðи ººº ×ÓÒ ÔÓØØÒØØØÐ ×Ø ÔÐÙ× ÔÖÓÓÓÒÒ¸ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A = A 2 º
ÇÖ¸ ÐÐ ××ØÙÙØØÓÒ ×³³ÒÚÚÖ×× ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÐÐÐÐ ÚÚÐÐÙÖ× ÒÒÒ ÔÔÖ −3/16 < < < 0¸
ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V (A 2 ) ×Ø ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÔÐÙ× ÔÖÓÓÓÒÒ ÕÙÙ V (0) ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ
¿ººµº ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ø ÔÙÙ× ÜÜÜÜÜ −3/16¸
ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ØÖÖÒ××ØØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A = 0 ×ØØØÐÐ ÚÚÖ× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A = A 2
ÔÐÙ× ÖÖÒÒÒ ×ØØØØÐÐØغ ÇÖ¸ ÑÑÑÑÒÓÒ× ÙÒÒ ÐÐÐ ÐÓÓÓÓ ÒÒØØØÐÐÑÑÒØ Ø Ò A = 0 Ø
ÙÙÑÑÒØÓÒ× ÐÐ ÚÐÐÙÖ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ù×ÕÙ³³ ÐÐ ÚÐÐÙÖ −3/16¸ ÐÐй¹¹ Ò Ø ÒÒ
ÕÙÙØØØÖÖ ÔÔ× ×ÔÓÒØØÒÒÑÑÒØ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ A = 0¸ ÕÙÙ ÙÒ ÑÑÒÒÑÙÑ ÖÖ¹
ÐÐØØظ ÔÓÙÖ ÐÐÐÖ ÚÖ× A 2 ¸ Ù ÑÑÒÒÑÙÑ ×ÓÐÙ¸ ÑÑÑÑ Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ
ÔÔØØØØ× ÙÙØÙÙØØÓÒ× ÒÒØÙÖÖÐÐÐ׸ ØØÐÐÐ× ÕÙÙ¸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÐÐÐ× ×Ù×××ØØØ× ÔÔÖ
ÙÒ ÔÔØØØ ×ÓÙÙÙ Ú ÁÐ ×Ø Ò Ø ØÖÖ× ÔÖÓÓÓÓÐÐ ÕÙÙ ÐÐ ÐÐÐ ÖÖ×ØØ Ò A = 0¸
Ù×ÕÙ³³ ÕÙÙ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ Ò A = 0 ÚÚÚÒÒÒ ÙÒ ÑÑÜÜÑÙѸ ÕÙÙ ×× ÖÖÖÐÐ××
ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÔÓ××ØØØ ÐÓÖ׸ Ò Ø ÔÓÙÖ × ÚÚÐÐÙÖ׸ ÐÐ ×ÓÐÙ¹
ØØÓÒ Ò A = 0 Ò×ØØØÐи Ø ÐÐ ÐÐÐ ØÓÑ ÚÖ× Ð³ÙÒ × ÙÜ ÑÑÒÒÑÑ×
Ù ÔÓØØÒØØØÐ Ò A = A 2+ ÓÙ A 2− ÓÓ ÐÐÐ ÑÑÙÖÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØØ ÚÚÐÐÙÖ > 0º
ÅÅÅÒØØÒÒÒظ ÔÔÖØØÖ ³ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÔÓ××ØØÚÚ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ¸ ÔÖÓÓÖÖ×¹
××ÚÚÑÑÒØ × Ú ÐÐÙÖ ÔÓÙÖ ØÙÙÙÙÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× ÐÐ ÐÐÐ
ÖÖ×ØØ Ò A = A 2 Ù×ÕÙ³³ ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ØØØØØÒÒ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ −3/16¸ Ú ÐÐÙÖ
Ù¹¹¹ÐÐ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÐÐ ÐÐÐ ÖÖØÓÑ Ò A = 0 Ò×׸ ÐÓÖ× ÐÐ Ù
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ¸ Ð ×ÓÐÙØØÓÒ× A = A 2 ÚÚÖ× A = 0 ×× ÔÖÓÓÙÙØ ÔÓÙÖ
= −3/16 ÐÓÖ× ÕÙÙ¸ ÔÓÙÖ Ð³³ÜÔÔÖÖÖÒÒÒ ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ Ð³³ÙÙÑÑÒØع
ØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÔÔÖØØÖ ³ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÒÒÒÒØØÚ¸ ÐÐ ÒÒÒÑÑÒØ ×ÓÐÙØØÓÒ×
´´´ A = 0 ÚÚÖ× A = A 2 µ ׳³ØØØØ ÖÖÖÐÐ×× ÔÓÙÖ = 0º ij³ÚÓÐÙØØÓÒ × ×ÓÐÙØØÓÒ× Ò
ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ò³³×Ø Ò×× ÔÔ× ÖÖÚÚÖ×××Ðк
ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ ÐÐ ÔÐÙ×××ÙÖ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØÐÐ× A = A 2 Ø A = 0
ÔÓÙÖ × ÚÐÐÙÖ× Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ØØÐÐÐ× ÕÙÙ −1/4 < < < 0 ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿ººµ¸ ÒÒØ
ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÙÒ ÓÑÑÑÒÒ ÑÑØØ×ØØØØÐÐØغ ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÒØ Ð Ô Ó Ø Ò ØØØÐ
×Ø ÐÐ ÔÐÙ× ÔÖÓÓÓÒÒ ×Ø ØØ ×ØØØÐи ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐРг³ÙØÖÖ
ÑÑÒÒÑÙÑ ×Ø ØØ ÑÑØØ×ØØØÐк Ä Ó Ö × Õ Ù −1/4 < < < −3/16¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A = 0 ×Ø
×ØØØÐÐ Ø A 2 ×Ø ÑÑØØ×ØØØÐÐ ÐÐ ÕÙÙÐÐÐÐÐØØÓÒ ×³³ÒÚÚÖ×× Ò× Ð³³ÒØØÖÚÐÐÐ −3/16 <
< 0¸ ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A = 0 ÑÑØØ×ØØØÐÐ ÐÓÖ× ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A 2
ÚÚÚÒØ ×ØØØÐк ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÓÒØ ÐÐ ÑÑÑÑ ÔÖÓÓÓÒÒÒÙÖ ÔÓØØÒØØØи
ÐÐÐ× ×ÓÒØ ÕÙÙÐÐÐÐÐ× ×ØØØÐÐ׺ ÁÒ×××ØÓÒ× ×ÙÖ ÐÐ Ø ÕÙÙ ÔÔÖ ×ØØØØÐÐØØ ÒÓÙ×
ÒØØÒÒÓÒ× ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÖ¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÕÙÙ ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ× Ò ÖÖÖÖÖÖ
ÔÔØØØØ× ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ׺ Ò Ø¸ Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒÒ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×××Þ ÓÖØØ
ØØÐÐÐ ÙÒ ÓÙÔ ÔÔÔÔ Ò× ÐÐ ÐÐÐ ÔÓÙÖ ÔÓÙÖ×ÙÙÚÖÖ Ð³³ÒÒÐÓÓÓÓ ÔÖÖÖÖÖÖÒØظ ÐÐ ÐÐÐ
ÔÔÙØ ØÖÖ ÐÓÓÓÓ Ð³³ØØØ ÑÑØØ×ØØØÐÐ ÚÚÖ× Ð³³ØØØ ×ØØØÐк ÈÓÙÖ ØÙÙÖ
гÓÔÔÖÖØØÓÒ Ð³³ÒÚÚÖ×׸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÔÖÓÓÓØØÖ ÐÐ ÐÐРг³ØØØ ×ØØØÐÐ ÚÚÖ× Ð³³ØØØ
ÑÑØØ×ØØØÐи Ð ×Ø Ò ÖÖÚÒÒ ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÓÙÖÒÒÖ ÙÒÒ ÔÐÙ× ÖÖÒÒÒ ÒÒÖÖÖÖ¸
³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÙÒ ÓÙÔ ÔÔÔÔ ÔÐÙ× ÓÖØ ´´´´ØØ× Ð³³ÜÔÔÖÖÖÒÒÒ ÔÔÒ×××
Ò ×× ÖÖÖÖÖÖÒØ Ø ÐÐ ÙÖÖ ¿ººµº ij³ØØØ ×ØØØÐÐ ×Ø Ò×× ÔÐÙ× ÖÖ×××ØØÒØ ÕÙ٠г³ØØØ
ØÙÙÙÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× Ù ×Ý×ØØÑÑ Ò
ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ø ÚÓÝÓÒ× ×× ÐÐ ××Ò× ÚÚÖÖÖØØÓÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ò¹
ÙÙº ÈÖØÓÒ× ³ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÒÒØØØÐÐ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ØØÐ ÕÙÙ −1/4 < < < −3/16º
Ò× ØØØ ÔÐÐÐÐ ÚÚÐÐÙÖ׸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÙÐÐÐ A = 0 ×Ø ÔÐÙ× ×Øع
Ðи ººº ×ÓÒ ÔÓØØÒØØØÐ ×Ø ÔÐÙ× ÔÖÓÓÓÒÒ¸ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A = A 2 º
ÇÖ¸ ÐÐ ××ØÙÙØØÓÒ ×³³ÒÚÚÖ×× ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÐÐÐÐ ÚÚÐÐÙÖ× ÒÒÒ ÔÔÖ −3/16 < < < 0¸
ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V (A 2 ) ×Ø ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÔÐÙ× ÔÖÓÓÓÒÒ ÕÙÙ V (0) ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ
¿ººµº ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ø ÔÙÙ× ÜÜÜÜÜ −3/16¸
ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ØÖÖÒ××ØØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A = 0 ×ØØØÐÐ ÚÚÖ× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A = A 2
ÔÐÙ× ÖÖÒÒÒ ×ØØØØÐÐØغ ÇÖ¸ ÑÑÑÑÒÓÒ× ÙÒÒ ÐÐÐ ÐÓÓÓÓ ÒÒØØØÐÐÑÑÒØ Ø Ò A = 0 Ø
ÙÙÑÑÒØÓÒ× ÐÐ ÚÐÐÙÖ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ù×ÕÙ³³ ÐÐ ÚÐÐÙÖ −3/16¸ ÐÐй¹¹ Ò Ø ÒÒ
ÕÙÙØØØÖÖ ÔÔ× ×ÔÓÒØØÒÒÑÑÒØ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ A = 0¸ ÕÙÙ ÙÒ ÑÑÒÒÑÙÑ ÖÖ¹
ÐÐØØظ ÔÓÙÖ ÐÐÐÖ ÚÖ× A 2 ¸ Ù ÑÑÒÒÑÙÑ ×ÓÐÙ¸ ÑÑÑÑ Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ
ÔÔØØØØ× ÙÙØÙÙØØÓÒ× ÒÒØÙÖÖÐÐÐ׸ ØØÐÐÐ× ÕÙÙ¸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÐÐÐ× ×Ù×××ØØØ× ÔÔÖ
ÙÒ ÔÔØØØ ×ÓÙÙÙ Ú ÁÐ ×Ø Ò Ø ØÖÖ× ÔÖÓÓÓÓÐÐ ÕÙÙ ÐÐ ÐÐÐ ÖÖ×ØØ Ò A = 0¸
Ù×ÕÙ³³ ÕÙÙ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ Ò A = 0 ÚÚÚÒÒÒ ÙÒ ÑÑÜÜÑÙѸ ÕÙÙ ×× ÖÖÖÐÐ××
ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÔÓ××ØØØ ÐÓÖ׸ Ò Ø ÔÓÙÖ × ÚÚÐÐÙÖ׸ ÐÐ ×ÓÐÙ¹
ØØÓÒ Ò A = 0 Ò×ØØØÐи Ø ÐÐ ÐÐÐ ØÓÑ ÚÖ× Ð³ÙÒ × ÙÜ ÑÑÒÒÑÑ×
Ù ÔÓØØÒØØØÐ Ò A = A 2+ ÓÙ A 2− ÓÓ ÐÐÐ ÑÑÙÖÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØØ ÚÚÐÐÙÖ > 0º
ÅÅÅÒØØÒÒÒظ ÔÔÖØØÖ ³ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÔÓ××ØØÚÚ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ¸ ÔÖÓÓÖÖ×¹
××ÚÚÑÑÒØ × Ú ÐÐÙÖ ÔÓÙÖ ØÙÙÙÙÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× ÐÐ ÐÐÐ
ÖÖ×ØØ Ò A = A 2 Ù×ÕÙ³³ ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ØØØØØÒÒ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ −3/16¸ Ú ÐÐÙÖ
Ù¹¹¹ÐÐ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÐÐ ÐÐÐ ÖÖØÓÑ Ò A = 0 Ò×׸ ÐÓÖ× ÐÐ Ù
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ¸ Ð ×ÓÐÙØØÓÒ× A = A 2 ÚÚÖ× A = 0 ×× ÔÖÓÓÙÙØ ÔÓÙÖ
= −3/16 ÐÓÖ× ÕÙÙ¸ ÔÓÙÖ Ð³³ÜÔÔÖÖÖÒÒÒ ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ Ð³³ÙÙÑÑÒØع
ØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÔÔÖØØÖ ³ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÒÒÒÒØØÚ¸ ÐÐ ÒÒÒÑÑÒØ ×ÓÐÙØØÓÒ×
´´´ A = 0 ÚÚÖ× A = A 2 µ ׳³ØØØØ ÖÖÖÐÐ×× ÔÓÙÖ = 0º ij³ÚÓÐÙØØÓÒ × ×ÓÐÙØØÓÒ× Ò
ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ò³³×Ø Ò×× ÔÔ× ÖÖÚÚÖ×××Ðк
ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ ÐÐ ÔÐÙ×××ÙÖ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØÐÐ× A = A 2 Ø A = 0
ÔÓÙÖ × ÚÐÐÙÖ× Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ØØÐÐÐ× ÕÙÙ −1/4 < < < 0 ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿ººµ¸ ÒÒØ
ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÙÒ ÓÑÑÑÒÒ ÑÑØØ×ØØØØÐÐØغ ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÒØ Ð Ô Ó Ø Ò ØØØÐ
×Ø ÐÐ ÔÐÙ× ÔÖÓÓÓÒÒ ×Ø ØØ ×ØØØÐи ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐРг³ÙØÖÖ
ÑÑÒÒÑÙÑ ×Ø ØØ ÑÑØØ×ØØØÐк Ä Ó Ö × Õ Ù −1/4 < < < −3/16¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A = 0 ×Ø
×ØØØÐÐ Ø A 2 ×Ø ÑÑØØ×ØØØÐÐ ÐÐ ÕÙÙÐÐÐÐÐØØÓÒ ×³³ÒÚÚÖ×× Ò× Ð³³ÒØØÖÚÐÐÐ −3/16 <
< 0¸ ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A = 0 ÑÑØØ×ØØØÐÐ ÐÓÖ× ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A 2
ÚÚÚÒØ ×ØØØÐк ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÓÒØ ÐÐ ÑÑÑÑ ÔÖÓÓÓÒÒÒÙÖ ÔÓØØÒØØØи
ÐÐÐ× ×ÓÒØ ÕÙÙÐÐÐÐÐ× ×ØØØÐÐ׺ ÁÒ×××ØÓÒ× ×ÙÖ ÐÐ Ø ÕÙÙ ÔÔÖ ×ØØØØÐÐØØ ÒÓÙ×
ÒØØÒÒÓÒ× ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÖ¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÕÙÙ ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ× Ò ÖÖÖÖÖÖ
ÔÔØØØØ× ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ׺ Ò Ø¸ Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒÒ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×××Þ ÓÖØØ
ØØÐÐÐ ÙÒ ÓÙÔ ÔÔÔÔ Ò× ÐÐ ÐÐÐ ÔÓÙÖ ÔÓÙÖ×ÙÙÚÖÖ Ð³³ÒÒÐÓÓÓÓ ÔÖÖÖÖÖÖÒØظ ÐÐ ÐÐÐ
ÔÔÙØ ØÖÖ ÐÓÓÓÓ Ð³³ØØØ ÑÑØØ×ØØØÐÐ ÚÚÖ× Ð³³ØØØ ×ØØØÐк ÈÓÙÖ ØÙÙÖ
гÓÔÔÖÖØØÓÒ Ð³³ÒÚÚÖ×׸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÔÖÓÓÓØØÖ ÐÐ ÐÐРг³ØØØ ×ØØØÐÐ ÚÚÖ× Ð³³ØØØ
ÑÑØØ×ØØØÐи Ð ×Ø Ò ÖÖÚÒÒ ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÓÙÖÒÒÖ ÙÒÒ ÔÐÙ× ÖÖÒÒÒ ÒÒÖÖÖÖ¸
³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÙÒ ÓÙÔ ÔÔÔÔ ÔÐÙ× ÓÖØ ´´´´ØØ× Ð³³ÜÔÔÖÖÖÒÒÒ ÔÔÒ×××
Ò ×× ÖÖÖÖÖÖÒØ Ø ÐÐ ÙÖÖ ¿ººµº ij³ØØØ ×ØØØÐÐ ×Ø Ò×× ÔÐÙ× ÖÖ×××ØØÒØ ÕÙ٠г³ØØØ