¿º ÄÄ× ÙØÖÖ× ÙÖÖÖØØÓÒ× ÒÒÖÖÕÙÙ×
½
ÈÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×Ø ×ÙÔÔÓ×× ÔÔÖÖÖÖØ ´´ÕÙÙÚÚÐÐÒÒÒ ÒØÖÖ A Ø −Aµ¸ ÐÐ ØØÖÑÑ
ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ³ÓÖÖÖÖ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ ´´ººº ×ÙÙÚ ÐÐ ØØÖÑÑ ÙÙÙÕÙÙµ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×Ø ³ÓÖÖÖÖ ÒÕ ´´Ò A
5
µ ×ÙÔÔÓ×ÓÒ× ÔÐÙ× ÕÙ³³Ð ××× Ò× ÐÐ ××Ò×
³ÙÒ ÖÖÐÐÒØØ×××ÑÑÒØ ÐÐ ÖÓÓ×××ÒÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ´××ØÙÖÖØØÓÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ÚÓÓÖ
г³ÜÜÑÔÐÐ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÔÔÖÖÖÖØ Ú Ò× ÐÐ ×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ ¿ººº¾ µ¸
ÐÐ ØØÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ³ÓÖÖÖÖ ×Ø ÒÒÒÒØØØ Ø Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙ٠׳³³ÖÖØ
ÓÑÑÑ
dA
dτ
= A + A
3
− A
5
= −
dV
dA
.
´¿ººµ
ÍÒÒ ÓÓ× Ð³³ÒØØØÖÖØØÓÒ ØÙÙÙ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V (A) ×ÙÙÚÒØ Ø
V (A) = −
A
2
2
−
A
4
4
+
A
6
6
.
´¿ººµ
ÄÄ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× Ù ×Ý×ØØÑÑ ÙÜ ÜØÖÖÑÑ× Ù ÔÓ¹
ØØÒØØØÐ V º ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÙÐÐÐ A 0 = 0 ÜÜ×ØØ ØÓÙÙÓÙÖ׸ ÐÐ× ÙØÖÖ×
ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ××ØØ××ÓÒØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
A
4
− A
2
− = 0
´¿ººµ
ÔÓÙÖ ×ÓÐÙØØÓÒ
A
2
=
1 ±
√
1 + 4
2
.
´¿ººµ
ÓÑÑÑ ÐÐ ÖÖÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´A
2
µ ×Ø ÖÖÖи ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÓØ ÚÚÖÖÖÖÖ
ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ > −1/4º ÔÐÙ׸ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ A
2 > 0 ÑÔÓ×× ÕÙÙ
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ú ÐÐ ×××ÒÒ − ÚÚÒØ ÐÐ ÖÖÖÖÒÒ ÒÒ ÔÔÙØ ÜÜ×ØØÖ ÕÙÙ ÔÓÙÖ < 0º
ÈÙÙ×ÕÙ³ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ³ÓÖÖÖÖ ÒÕ ÔÓ××××× ØÓÙÙÓÙÖ× ÙÒÒ¸ ØÖÓÓ׸ ÓÙ ÒÕ ×ÓÐÙØØÓÒ×
ÖÖÖÐÐÐ׸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ø
ÐÐÙÖ× ÓÑÑÑÒÒ× ³³ÜÜ×ØØÒÒÒ
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
< −
1
4 ,
A 0 = 0
−
1
4 < < < 0, A 0 = 0, A 1± = ±
1−
√ 1+4
2
1/2
,
Ø A 2± = ±
1+
√
1+4
2
1/2
,
> 0,
A 0 = 0, A 2± = ±
1+
√ 1+4
2
1/2
.
⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
´¿ººµ
× Ò×ØØØØÐÐØØ׺ ÁÐ ÜÜ×ØØ ÔÐÙ×××ÙÖ× ÑÓÓÓÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× ÔÓÙÖ ÐÐ×ÕÙÙÐ× ØÓÙ× ÐÐ×
ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÙÒÒ ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ø ÒÓÒ ÔÔ× ÔÔ× ÐÐÙÖ
××ØÙÖÖØØÓÒ ¿¿¿ × ÑÓÓÓÐÐ× ×ÓÒØ ÐÓÖ× ×ÝÑÔØÓÑÑØØÕÙÙ× ³ÙÒÒ ××ÒÒÙÐÐÖÖØØ Ò ØØÑÔ× ÒÒº
ij³ÜÜÖÖÖÖÖ ÔÖÓÔÓ×× Ò× ÐÐ ×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ ¿ººº¿ ÚÓÙ× ÒÚÚØØ ØÙÙÙÙÖ ÐÐ ÑÑÑÑ ×Ý×ØØÑÑ Ñѹ
ÒÒÕÙÙ Ò ÙÒ ØØÖÑÑ ³³ÑÔÔÖÖÖÖØØÓÒº
Ò ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØØ ÒÓÙ× ÙÖÖÓÒ× ÔÙ ÖÖÖÖ
dA
dτ
= 1 A + 2 A 3 − 3 A 5 º º Ò Ò Ú × Ò Ø Ô Ö 3
ÐÐ× ÙÜ ÑÑÑÑÖÖ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
dA
dτ =
1
3
A +
2
3
A 3 − A 5 ¸ ¸ Ú τ = τ τ 3 º
Ò ÒÒ×××ÒØ A = A ( 2 // 3 ) 1/2 ¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖ ÒÒÐÐÑÑÒØ
dA
dτ = A + A 3 − A 5 ¸
Ú =
1
3
(
2
3
) −2 ¸ ¸ Ø τ = τ (
2
3
) 2 º Ò ³³ÙØÖÖ× ØØÖÑÑ׸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖ×ØÖÖÖÒÒÖÖ Ð³³ØÙÙÙ
ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÙÒÒÕÙÙ ´ÔÓÙÖÚÙ ÕÙÙ ÐÐ× ×××ÒÒ× 2 Ø 3 ×ÓÓÓÒØ ÜÜ׸ ÓÑÑÑ ÒÓÙ× Ð³³ÚÓÒ×
×ÙÔÔÓ××µº
½
ÈÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×Ø ×ÙÔÔÓ×× ÔÔÖÖÖÖØ ´´ÕÙÙÚÚÐÐÒÒÒ ÒØÖÖ A Ø −Aµ¸ ÐÐ ØØÖÑÑ
ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ³ÓÖÖÖÖ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ ´´ººº ×ÙÙÚ ÐÐ ØØÖÑÑ ÙÙÙÕÙÙµ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×Ø ³ÓÖÖÖÖ ÒÕ ´´Ò A
5
µ ×ÙÔÔÓ×ÓÒ× ÔÐÙ× ÕÙ³³Ð ××× Ò× ÐÐ ××Ò×
³ÙÒ ÖÖÐÐÒØØ×××ÑÑÒØ ÐÐ ÖÓÓ×××ÒÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ´××ØÙÖÖØØÓÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ÚÓÓÖ
г³ÜÜÑÔÐÐ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÔÔÖÖÖÖØ Ú Ò× ÐÐ ×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ ¿ººº¾ µ¸
ÐÐ ØØÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ³ÓÖÖÖÖ ×Ø ÒÒÒÒØØØ Ø Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙ٠׳³³ÖÖØ
ÓÑÑÑ
dA
dτ
= A + A
3
− A
5
= −
dV
dA
.
´¿ººµ
ÍÒÒ ÓÓ× Ð³³ÒØØØÖÖØØÓÒ ØÙÙÙ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V (A) ×ÙÙÚÒØ Ø
V (A) = −
A
2
2
−
A
4
4
+
A
6
6
.
´¿ººµ
ÄÄ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× Ù ×Ý×ØØÑÑ ÙÜ ÜØÖÖÑÑ× Ù ÔÓ¹
ØØÒØØØÐ V º ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÙÐÐÐ A 0 = 0 ÜÜ×ØØ ØÓÙÙÓÙÖ׸ ÐÐ× ÙØÖÖ×
ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ××ØØ××ÓÒØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
A
4
− A
2
− = 0
´¿ººµ
ÔÓÙÖ ×ÓÐÙØØÓÒ
A
2
=
1 ±
√
1 + 4
2
.
´¿ººµ
ÓÑÑÑ ÐÐ ÖÖÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´A
2
µ ×Ø ÖÖÖи ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÓØ ÚÚÖÖÖÖÖ
ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ > −1/4º ÔÐÙ׸ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ A
2 > 0 ÑÔÓ×× ÕÙÙ
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ú ÐÐ ×××ÒÒ − ÚÚÒØ ÐÐ ÖÖÖÖÒÒ ÒÒ ÔÔÙØ ÜÜ×ØØÖ ÕÙÙ ÔÓÙÖ < 0º
ÈÙÙ×ÕÙ³ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ³ÓÖÖÖÖ ÒÕ ÔÓ××××× ØÓÙÙÓÙÖ× ÙÒÒ¸ ØÖÓÓ׸ ÓÙ ÒÕ ×ÓÐÙØØÓÒ×
ÖÖÖÐÐÐ׸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ø
ÐÐÙÖ× ÓÑÑÑÒÒ× ³³ÜÜ×ØØÒÒÒ
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
< −
1
4 ,
A 0 = 0
−
1
4 < < < 0, A 0 = 0, A 1± = ±
1−
√ 1+4
2
1/2
,
Ø A 2± = ±
1+
√
1+4
2
1/2
,
> 0,
A 0 = 0, A 2± = ±
1+
√ 1+4
2
1/2
.
⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
´¿ººµ
× Ò×ØØØØÐÐØØ׺ ÁÐ ÜÜ×ØØ ÔÐÙ×××ÙÖ× ÑÓÓÓÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× ÔÓÙÖ ÐÐ×ÕÙÙÐ× ØÓÙ× ÐÐ×
ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÙÒÒ ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ø ÒÓÒ ÔÔ× ÔÔ× ÐÐÙÖ
××ØÙÖÖØØÓÒ ¿¿¿ × ÑÓÓÓÐÐ× ×ÓÒØ ÐÓÖ× ×ÝÑÔØÓÑÑØØÕÙÙ× ³ÙÒÒ ××ÒÒÙÐÐÖÖØØ Ò ØØÑÔ× ÒÒº
ij³ÜÜÖÖÖÖÖ ÔÖÓÔÓ×× Ò× ÐÐ ×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ ¿ººº¿ ÚÓÙ× ÒÚÚØØ ØÙÙÙÙÖ ÐÐ ÑÑÑÑ ×Ý×ØØÑÑ Ñѹ
ÒÒÕÙÙ Ò ÙÒ ØØÖÑÑ ³³ÑÔÔÖÖÖÖØØÓÒº
Ò ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØØ ÒÓÙ× ÙÖÖÓÒ× ÔÙ ÖÖÖÖ
dA
dτ
= 1 A + 2 A 3 − 3 A 5 º º Ò Ò Ú × Ò Ø Ô Ö 3
ÐÐ× ÙÜ ÑÑÑÑÖÖ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
dA
dτ =
1
3
A +
2
3
A 3 − A 5 ¸ ¸ Ú τ = τ τ 3 º
Ò ÒÒ×××ÒØ A = A ( 2 // 3 ) 1/2 ¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖ ÒÒÐÐÑÑÒØ
dA
dτ = A + A 3 − A 5 ¸
Ú =
1
3
(
2
3
) −2 ¸ ¸ Ø τ = τ (
2
3
) 2 º Ò ³³ÙØÖÖ× ØØÖÑÑ׸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖ×ØÖÖÖÒÒÖÖ Ð³³ØÙÙÙ
ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÙÒÒÕÙÙ ´ÔÓÙÖÚÙ ÕÙÙ ÐÐ× ×××ÒÒ× 2 Ø 3 ×ÓÓÓÒØ ÜÜ׸ ÓÑÑÑ ÒÓÙ× Ð³³ÚÓÒ×
×ÙÔÔÓ××µº