¼
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
¿º¾ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ÓÙ×¹¹ÖÖØØÕÙÙ Ø ÑÙÐØØ×ØØØØÐÐØØ
ÊÊÚÚÒÓÒ× Ò× ØØØ ×××ØØÓÒ × ÑÓÓÓÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× ÖÖ×ÔÔÔØØÒØ ÔÔÖÖÖÖØع
ÑÑÒØ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÖÓÓØع¹¹ÙÙ ´´ÕÙÙÚÚÐÐÒÒÒ ÒØÖÖ A Ø −A Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙµ¸ ÔÓÙÖ ÒÒ ÓÒ××××ÖÖÖ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÕÙÙ × ØØÖÑÑ×
Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÑÔÔÔÖÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Aº
ÈÓÙÖ ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÐÐ ×××ÒÒ Ù ØØÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³Ñ¹
ÔÐÐØÙÙÙ ´ØØÖÑÑ Ò A г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ¾º¾¾µ µ×Ø ÓÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ×ØØÒÒÒ
Ù ××ÙÙÐ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ò ××ÓÙ× Ù ××ÙÙÐ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÐÐ ×××ÒÒ ×Ø
ÒÒÒÒØØظ Ø Ù¹¹¹××Ù× Ù ××ÙÙÐ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÐÐ ×××ÒÒ × Ø Ô Ó × Ø º Ä ÒÒÒ¹
ÑÑÒØ ×××ÒÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÑÑÖÕÙÙ ÐРг³Ò×ØØØØÐÐØØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÙÐÐÐ ´A = 0µº × ÖÖ×ÙÐØØØ× ×ÓÒØ Ø × × Ù × ¸
Ò ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØظ г³ØÙÙÙ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ Ò ××ÓÙ×
Ù ××ÙÙи ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A = 0 ×Ø ×ØØØÐÐ Ù¹¹¹××Ù× Ù ××ÙÙи ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A = 0
×Ø Ò×ØØØÐÐ Ø ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÚÚÖ× ÙÒ ÒÓÙÚÐ ØØØ ÓÒØ ÐÐ ×ØØØÙØ ´ÓÓØØÒØØÓÒ
³ÙÒ ÒÓÙÚÐ ØØØ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ÓÙ ÒÓÒµ ×Ø ØØÖÑÑÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ××ØÙÖÖØØÓÒ ÓÙ ÐÐ
ÖÓÓ×××ÒÒÒ × ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙº
ÈÓÙÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ØÖÖÖØØ Ù ÔÔØÖÖ ÔÖÖÖÖÖÖÒظ ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ Ù
ØØÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´ØØÖÑÑ Ò A
3
µ µµ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´¾º¾¾µ µ×Ø ÒÒÒÒØØØ
ÕÙÙ ÑÔÐÐÕÙÙ ÙÒÒ ××ØÙÖÖØØÓÒ¸ ØØ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ г³Ò×ØØØØÐÐØØ ÔÓÙÖ ØØØØÒÒÖÖ
ÙÒ ÒÓÙÚÐ ØØØ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖº
³³ÙØÖÖ× ×Ý×ØØÑÑ× ×ÓÒØ Ù ÓÒØÖÖÖÖÖ ÖÖÖØØÖÖ××× ÔÔÖ ÙÒ ÓÓÓÓÓÓÒØ ÔÓ××ØØØ
Ù ØØÖÑÑ ÙÙÙÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´ÚÓÓÖ¸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ
¿ººº¾ ¹¹ÔÖÖ×µ µ ÓÖ¸ Ù¹¹¹ÐÐ Ù ××ÙÙÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ´ > 0µ¸ ÙÒ ØØÖÑÑ ÙÙÙÕÙÙ
ÔÓ××ØØØ ´+A
3 > 0µ µµÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÑÔÐÐÕÙÙ ÙÒÒ ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒ ØØ
ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A ÖÓÓØ Ò×× ´´´××ÒÒÒ
××ØÙÖÖØØÓÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖµº ÆÓØÓÒ× ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÙÙÕÙÙ
´dA/dτ = A + A
3
µ ÔÓ××××× ÓÑÑÑ ÔÓÓÒØ× ÜÜ× A = 0 Ø A = ±
√
− Ð × × Ù Ü
ÖÒÒÒÖÖ× ×ÓÐÙØØÓÒ× Ò³³ÜÜ×ØØÒØ Õ Ù Ô Ó Ù Ö < 0º ÁÐ ×Ø ××ÑÔÐÐ ÚÓÓÖ ÕÙÙ A = 0
×Ø ×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ < 0 Ø Ò×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ > 0¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ A = ±
√
− ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ×
Ò×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× ÖÖÖØØÖÖ××× ÔÔÖ ÙÒ ÓÓÓÓÓÓÒØ ÔÓ××ØØØ Ù ØØÖÑÑ Ù¹
ÕÙÙ ´ÚÓÓÖ ÐÐ ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÙÖÖ ¿ººµº ÁÐ Ò³³ÜÜ×ØØ Ò××
ÙÙÙÒÒ ×ØØØÐÐ ÙÒÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ A = 0 Ò×׸ гÓÖÖÖÖ
ÙÙÙÕÙÙ¸ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÒÒ ØÖÓÙÚÚ ÔÔ× ÒÓÙÚÐ ØØØ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖº ÈÓÙÖ ØÙÙÙÙÖ
г³ÚÓÐÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑѸ Ð ×Ø ÐÓÖ× ÒÒÒÒ××××ÖÖ ³³ÒÒÐÝ××Ö ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÙÒ ÓÖÖÖÖ
×ÙÔÔÖÖÖÙÖ Ø ÓÒÒ ÔÓÙÖ×ÙÙÚÖÖ ÐÐ Ú ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ
г³ÑÔÐÐØÙÙÙ A ÙÜ ÓÖÖÖÖ× ×ÙÙÚÒØ× ÔÓÙÖ ØÖÓÙÚÚÖ × ØØÖÑÑ× ³ÓÖÖÖÖ
×ÙÔÔÖÖÖÙÖ ×××ÒØ Ø Ó Ò ØÖÖ Ð³³ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ø ÙÙÙÕÙÙ º
ÅÅÑÑ ×× ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÔÔÖÖÖÖØØ ×Ø ×ØÖÙÙØÙÖÖÐÐÐÑÑÒØ Ò×ØØØÐи ÓÒ××××ÖÓÒ׸ Ò ÔÖÖÑÑÑÖÖ
Ò×ØØÒÒÒ Ø ÔÔÖ ×ÓÙÙÙ ××ÑÔÐÐÐÐØظ ÐÐ× ÑÓÓÓÐÐ× Ø× ÔÔÖÖÖÖØ׸ ÕÙÙØØØ ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØØ
ÐÐ ØØÖÑÑ Ð³³ÜÜÑÔÐÐ ÐÐ ×××ØØÓÒ ÔÖÖÖÖÖÖÒØغ
ÁÐ ×ÙÙØ ³³ÒÒÐÝ××Ö ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ××ÓÓÓÓ¸ V (A) = −A 2 /2 − A 4 /4 ÖÖÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÑÑܹ
ÑÙÑ ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚ ÑÑÒÒÑÙѵ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V (A) ÙÒ ØØØ Ò×ØØØÐÐ ´ÖÖ×ÔÔÔ¹
ØØÚÑÑÒظ ×ØØØÐеº
ÒÓÑÖÖÙÜ ×Ý×ØØÑÑ× ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ×ÓÒØ Ò Ø ÖÖÖØØÖÖ××× ÔÔÖ Ð³³ÜÜ×ØØÒÒÒ ØØÖÑÑ× ÒÓÒ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ´A 3 ¸ A 5 ¸ ºººµ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÕÙÙ ÖÖÐÐÒØØ×××ÒØ ÐÐ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
¿º¾ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ÓÙ×¹¹ÖÖØØÕÙÙ Ø ÑÙÐØØ×ØØØØÐÐØØ
ÊÊÚÚÒÓÒ× Ò× ØØØ ×××ØØÓÒ × ÑÓÓÓÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× ÖÖ×ÔÔÔØØÒØ ÔÔÖÖÖÖØع
ÑÑÒØ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÖÓÓØع¹¹ÙÙ ´´ÕÙÙÚÚÐÐÒÒÒ ÒØÖÖ A Ø −A Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙµ¸ ÔÓÙÖ ÒÒ ÓÒ××××ÖÖÖ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÕÙÙ × ØØÖÑÑ×
Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÑÔÔÔÖÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Aº
ÈÓÙÖ ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÐÐ ×××ÒÒ Ù ØØÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³Ñ¹
ÔÐÐØÙÙÙ ´ØØÖÑÑ Ò A г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ¾º¾¾µ µ×Ø ÓÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ×ØØÒÒÒ
Ù ××ÙÙÐ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ò ××ÓÙ× Ù ××ÙÙÐ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÐÐ ×××ÒÒ ×Ø
ÒÒÒÒØØظ Ø Ù¹¹¹××Ù× Ù ××ÙÙÐ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÐÐ ×××ÒÒ × Ø Ô Ó × Ø º Ä ÒÒÒ¹
ÑÑÒØ ×××ÒÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÑÑÖÕÙÙ ÐРг³Ò×ØØØØÐÐØØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÙÐÐÐ ´A = 0µº × ÖÖ×ÙÐØØØ× ×ÓÒØ Ø × × Ù × ¸
Ò ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØظ г³ØÙÙÙ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ Ò ××ÓÙ×
Ù ××ÙÙи ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A = 0 ×Ø ×ØØØÐÐ Ù¹¹¹××Ù× Ù ××ÙÙи ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A = 0
×Ø Ò×ØØØÐÐ Ø ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÚÚÖ× ÙÒ ÒÓÙÚÐ ØØØ ÓÒØ ÐÐ ×ØØØÙØ ´ÓÓØØÒØØÓÒ
³ÙÒ ÒÓÙÚÐ ØØØ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ÓÙ ÒÓÒµ ×Ø ØØÖÑÑÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ××ØÙÖÖØØÓÒ ÓÙ ÐÐ
ÖÓÓ×××ÒÒÒ × ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙº
ÈÓÙÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ØÖÖÖØØ Ù ÔÔØÖÖ ÔÖÖÖÖÖÖÒظ ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ Ù
ØØÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´ØØÖÑÑ Ò A
3
µ µµ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´¾º¾¾µ µ×Ø ÒÒÒÒØØØ
ÕÙÙ ÑÔÐÐÕÙÙ ÙÒÒ ××ØÙÖÖØØÓÒ¸ ØØ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ г³Ò×ØØØØÐÐØØ ÔÓÙÖ ØØØØÒÒÖÖ
ÙÒ ÒÓÙÚÐ ØØØ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖº
³³ÙØÖÖ× ×Ý×ØØÑÑ× ×ÓÒØ Ù ÓÒØÖÖÖÖÖ ÖÖÖØØÖÖ××× ÔÔÖ ÙÒ ÓÓÓÓÓÓÒØ ÔÓ××ØØØ
Ù ØØÖÑÑ ÙÙÙÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´ÚÓÓÖ¸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ
¿ººº¾ ¹¹ÔÖÖ×µ µ ÓÖ¸ Ù¹¹¹ÐÐ Ù ××ÙÙÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ´ > 0µ¸ ÙÒ ØØÖÑÑ ÙÙÙÕÙÙ
ÔÓ××ØØØ ´+A
3 > 0µ µµÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÑÔÐÐÕÙÙ ÙÒÒ ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒ ØØ
ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A ÖÓÓØ Ò×× ´´´××ÒÒÒ
××ØÙÖÖØØÓÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖµº ÆÓØÓÒ× ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÙÙÕÙÙ
´dA/dτ = A + A
3
µ ÔÓ××××× ÓÑÑÑ ÔÓÓÒØ× ÜÜ× A = 0 Ø A = ±
√
− Ð × × Ù Ü
ÖÒÒÒÖÖ× ×ÓÐÙØØÓÒ× Ò³³ÜÜ×ØØÒØ Õ Ù Ô Ó Ù Ö < 0º ÁÐ ×Ø ××ÑÔÐÐ ÚÓÓÖ ÕÙÙ A = 0
×Ø ×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ < 0 Ø Ò×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ > 0¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ A = ±
√
− ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ×
Ò×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× ÖÖÖØØÖÖ××× ÔÔÖ ÙÒ ÓÓÓÓÓÓÒØ ÔÓ××ØØØ Ù ØØÖÑÑ Ù¹
ÕÙÙ ´ÚÓÓÖ ÐÐ ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÙÖÖ ¿ººµº ÁÐ Ò³³ÜÜ×ØØ Ò××
ÙÙÙÒÒ ×ØØØÐÐ ÙÒÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ A = 0 Ò×׸ гÓÖÖÖÖ
ÙÙÙÕÙÙ¸ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÒÒ ØÖÓÙÚÚ ÔÔ× ÒÓÙÚÐ ØØØ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖº ÈÓÙÖ ØÙÙÙÙÖ
г³ÚÓÐÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑѸ Ð ×Ø ÐÓÖ× ÒÒÒÒ××××ÖÖ ³³ÒÒÐÝ××Ö ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÙÒ ÓÖÖÖÖ
×ÙÔÔÖÖÖÙÖ Ø ÓÒÒ ÔÓÙÖ×ÙÙÚÖÖ ÐÐ Ú ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ
г³ÑÔÐÐØÙÙÙ A ÙÜ ÓÖÖÖÖ× ×ÙÙÚÒØ× ÔÓÙÖ ØÖÓÙÚÚÖ × ØØÖÑÑ× ³ÓÖÖÖÖ
×ÙÔÔÖÖÖÙÖ ×××ÒØ Ø Ó Ò ØÖÖ Ð³³ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ø ÙÙÙÕÙÙ º
ÅÅÑÑ ×× ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÔÔÖÖÖÖØØ ×Ø ×ØÖÙÙØÙÖÖÐÐÐÑÑÒØ Ò×ØØØÐи ÓÒ××××ÖÓÒ׸ Ò ÔÖÖÑÑÑÖÖ
Ò×ØØÒÒÒ Ø ÔÔÖ ×ÓÙÙÙ ××ÑÔÐÐÐÐØظ ÐÐ× ÑÓÓÓÐÐ× Ø× ÔÔÖÖÖÖØ׸ ÕÙÙØØØ ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØØ
ÐÐ ØØÖÑÑ Ð³³ÜÜÑÔÐÐ ÐÐ ×××ØØÓÒ ÔÖÖÖÖÖÖÒØغ
ÁÐ ×ÙÙØ ³³ÒÒÐÝ××Ö ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ××ÓÓÓÓ¸ V (A) = −A 2 /2 − A 4 /4 ÖÖÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÑÑܹ
ÑÙÑ ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚ ÑÑÒÒÑÙѵ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V (A) ÙÒ ØØØ Ò×ØØØÐÐ ´ÖÖ×ÔÔÔ¹
ØØÚÑÑÒظ ×ØØØÐеº
ÒÓÑÖÖÙÜ ×Ý×ØØÑÑ× ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ×ÓÒØ Ò Ø ÖÖÖØØÖÖ××× ÔÔÖ Ð³³ÜÜ×ØØÒÒÒ ØØÖÑÑ× ÒÓÒ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ´A 3 ¸ A 5 ¸ ºººµ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÕÙÙ ÖÖÐÐÒØØ×××ÒØ ÐÐ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ