¿¿
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
г³ÑÔÐÐØÙÙÙ Aº ÌÓÙØ ³³³ÓÖÖ¸ ÒÓØÓÒ× ÕÙ³³ ÔÔÖØØÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ × Ü¹
ØÖÖÑÑ P ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿ººµ Ø ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÙÐÐÐ ´A = 0µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒÒ
ÚÚÐÐÙÖ Ð³³ÜØÖÖÑÙÑ ÐÐ Ù ØØÖÑÑ Ù ×Ý×ØØÑÑ ν ´P (0) = νµ µ
ØØØ ÚÚÐÐÙÖ P (0) ×Ø ÔÐÙ× ÔÓ××ØØÚÚ ÔÙÙ×ÕÙÙ ν ×Ø ÖÖÖØØÑÑÒØ ÔÖÓÔÓÖØØÓÒÒÒÐ
Ð Ó Ö f ÓÖÖÖÒØØØ ÚÖ× ÐÐ× x ÔÓ××ØØØ׺ ÊÊÊÊÖÖÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÐÐ ÓÑÔÓÖØØÑÑÒØ
× ÜØÖÖÑÑ P (A) Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÔÓÓÒØ A = 0º ÌÓÙÙÓÙÖ× Ò ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ
г³ÕÙÙØØÓÒ ¿ºº ¹¹¹××Ù׸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ׸ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ A ÔÔØØØظ ÙÒÒ Ü¹
ÔÖÖ×××ÓÒ ÔÔÖÓÓ × ÜØÖÖÑÑ ÓÑÑÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ØØÖÑÑ ÔÐÙ× ÐÐ ÔÙÙ×××ÒÒÒ
Ò A¸ × Ó Ø P (A) ∼ A Ð Ö Ú P (A) Ò ÔÓÓÒØ ×Ø ÓÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ ¸
ÕÙÙ ÑÔÐÐÕÙÙ ÕÙÙ P (A) ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÖÓÓ×××ÒØØ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÔÓÓÒØ
ÔÓÙÖ > 0 Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÖÓÓ×××ÒØØ ÐÓÖ×ÕÙÙ < 0º ÒÒÒ¸ ÐÐ ÓÑÔÓÖØØÑÑÒØ
×ÝÑÔØÓØØÕÙÙ P (A) ÚÖ× ÐÐ× ÖÖÒÒÒ× ÑÔÐÐØÙÙÙ× ×Ø ÒÒÒÕÙÙ ÔÔÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ
× ÜØÖÖÑÑ ÓÑÑÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ØØÖÑÑ ÔÐÙ× ÓÖØØ ÔÙÙ×××ÒÒÒ Ò A¸ ×ÓÓØ
ØØÐÐÐ ÕÙÙ P (A) ∼ −A
3
¸ ÕÙÙ ØØÒÒ ÚÚÖ× −∞ ÔÓÙÖ A → +∞ Ø ÚÖ× +∞ ÔÓÙÖ
A → −∞º
ijÓÓØØØ ØØÒØ Ø Ò Ó Ñ ÖÖÖ Ø ÐÐ× ÜØÖÖÑÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V (A)
Ù ×Ý×ØØÑѸ ÔÓÙÖ×ÙÙÚÓÒ× ÒÓØÖÖ ÒÒÐÝ×× Ò ÙÜ ×¸ ××ÐÓÒ ÐÐ ×××ÒÒ
Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ = −( c − 0 )// c º
´´µ < 0¸ ×ÓÓØ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖ××ÓÖØ ÐÐ ÚÚÖØØØØÐÐ ×Ø ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ
ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖ××ÓÖØ Ù ÖÖÔÓ× ´ c > > 0 µº ÓÑÔØØ ØØÒ٠г³ÕÙÙØØÓÒ
¿ºº¸ P (A) ×Ø ÐÓÖ× ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ØÓÙÙÓÙÖ× ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÚ
P ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ A ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ× ÒÒÒÒØØÚÚ ´dP/dA = − 3A
2 < 0µº
ÓÑÔØØ ØØÒÙ × ÐÐÑÑÒØ× ÚÓÕÙÙ× ¹¹ÚÒØ ×ÙÖ ÐÐ ÓÑÔÓÖØØÑÑÒØ ÒÒÖÖÐ
ÐÐ ÓÙÖÖÖ P (A)¸ Ð Ò ÓÙÐÐ ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ P = 0 ÔÓ××××× ÙÒÒ ××ÙÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ ÖÖÖÐÐÐ ÔÓÙÖ ÐÐ× A > 0 ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¾µº
´´´µ > 0¸ ×ÓÓØ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖ××ÓÖØ ÐÐ ÚÚÖØØØØÐÐ ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ÐÐ
ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖ××ÓÖØ Ù ÖÖÔÓ× ´ c < < 0 µº Ò× ×¸ ÐÐ ÖÖÚ × Ü¹
ØÖÖÑѸ ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ dP/dA = − 3A
2
¸ ׳³ÒÒÙÐÐ Ò ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÔÔÖØ Ø
³³ÙØÖÖ Ð³ÓÖÖÖÖÒÒ A = 0¸ ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒØ Ø Ò A = ±
/3¸ ÕÙÙ ØÖÖÖÙÙØ
ÔÔÖ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ÑÑÒÒÑÙÑ ÐÓÓÓÐ ÔÓÙÖ P (A) Ò A = −
/3 Ø ÙÒ
ÑÑÜÜÑÙÑ ÐÓÓÓÐ ÔÓÙÖ P (A) Ò A = +
/3 ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¿µº
´´´º½µ A > 0. ÓÑÔØØ ØØÒÙ × ÐÐÑÑÒØ× ÓÓØØÒÙ× ×ÙÖ ÐÐ
ÒÒÖÖÐ ÐÐ ÓÙÖÖÖ P (A)¸ Ð ÓÙÐÐ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ Ù ÑÑÜÜÑÙÑ ÐÓÓÓÐ
ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ P = 0 ÔÓ××××× ÙÒÒ ××ÙÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÖÖÖÐÐÐ ÔÓÙÖ ÐÐ× ÑÔÐÐØÙÙÙ×
ÔÓ××ØØÚ× A > 0¸ Ø ÕÙÙÐÐÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ ÙØØÙÖ Ù ÑÑÜÜÑÙÑ ÐÓÓÓк
´´´º¾µ A < 0. ÈÖ ÓÒØÖÖ¸ ÔÓÙÖ ÐÐ× ÑÔÐÐØÙÙÙ× ÒÒÒÒØØÚÚ× A < 0¸ г³ÕÙÙØØÓÒ
P = 0 ÔÔÙØÚÓÓÖ ÞÞÖÓ ÓÙ ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ׸ ××ÐÓÒ ÐÐ ÔÖÓÓÓÒÒÒÙÖ Ù ÑÑÒÒÑÙÑ
ÐÓÓÓк Ò Ø¸ ×× ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÑÑÒÒÑÙÑ ÐÓÓÓÐ ×Ø ÔÓ××ØØÚ¸ ÐÐ ÓÙÖÖÖ P (A)
ÒÒ ÓÙÔÔ ÔÔ× Ð³³ÜÜ ³ÓÖÖÖÖÒÒ × ÑÔÐÐØÙÙÙ׸ Ø ÓÒÒ P (A) ÒÒ ×³³ÒÒÙÐÐ
ÔÔ× ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¿¿µº Ò ÖÖÚÚÒÒ¸ ×× ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÑÑÒÒÑÙÑ ÐÓÓÓÐ ×Ø
ÒÒÒÒØØÚ¸ ÐÐ ÓÙÖÖÖ P (A) Ò ÙÜ ÔÓÓÒØ× Ð³³ÜÜ × ÑÔÐÐØÙÙÙ׸
ÕÙÙ ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒ ÙÜ ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÔÓ××××ÐÐ× ÔÓÙÖ ÒÒÙÐÐÖ P º ÄÄ ××ÙÙÐ
ÖÖØØÕÙÙ ÔÔ××××× ³ÙÒ ØÝÔÔ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÙØÖÖ ×× ÔÖÓÓÙÙØ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ
ÑÑÒÒÑÙÑ ÐÓÓÓи ÖÖÖØØÖÖ×× ÔÔÖ ÙÒÒ ÖÖÚ Ò ÙÐÐи ׳³ÒÒÙÐÐ ÐÙÙ Ù××× Ò
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
г³ÑÔÐÐØÙÙÙ Aº ÌÓÙØ ³³³ÓÖÖ¸ ÒÓØÓÒ× ÕÙ³³ ÔÔÖØØÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ × Ü¹
ØÖÖÑÑ P ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿ººµ Ø ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÙÐÐÐ ´A = 0µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒÒ
ÚÚÐÐÙÖ Ð³³ÜØÖÖÑÙÑ ÐÐ Ù ØØÖÑÑ Ù ×Ý×ØØÑÑ ν ´P (0) = νµ µ
ØØØ ÚÚÐÐÙÖ P (0) ×Ø ÔÐÙ× ÔÓ××ØØÚÚ ÔÙÙ×ÕÙÙ ν ×Ø ÖÖÖØØÑÑÒØ ÔÖÓÔÓÖØØÓÒÒÒÐ
Ð Ó Ö f ÓÖÖÖÒØØØ ÚÖ× ÐÐ× x ÔÓ××ØØØ׺ ÊÊÊÊÖÖÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÐÐ ÓÑÔÓÖØØÑÑÒØ
× ÜØÖÖÑÑ P (A) Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÔÓÓÒØ A = 0º ÌÓÙÙÓÙÖ× Ò ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ
г³ÕÙÙØØÓÒ ¿ºº ¹¹¹××Ù׸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ׸ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ A ÔÔØØØظ ÙÒÒ Ü¹
ÔÖÖ×××ÓÒ ÔÔÖÓÓ × ÜØÖÖÑÑ ÓÑÑÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ØØÖÑÑ ÔÐÙ× ÐÐ ÔÙÙ×××ÒÒÒ
Ò A¸ × Ó Ø P (A) ∼ A Ð Ö Ú P (A) Ò ÔÓÓÒØ ×Ø ÓÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ ¸
ÕÙÙ ÑÔÐÐÕÙÙ ÕÙÙ P (A) ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÖÓÓ×××ÒØØ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÔÓÓÒØ
ÔÓÙÖ > 0 Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÖÓÓ×××ÒØØ ÐÓÖ×ÕÙÙ < 0º ÒÒÒ¸ ÐÐ ÓÑÔÓÖØØÑÑÒØ
×ÝÑÔØÓØØÕÙÙ P (A) ÚÖ× ÐÐ× ÖÖÒÒÒ× ÑÔÐÐØÙÙÙ× ×Ø ÒÒÒÕÙÙ ÔÔÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ
× ÜØÖÖÑÑ ÓÑÑÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ØØÖÑÑ ÔÐÙ× ÓÖØØ ÔÙÙ×××ÒÒÒ Ò A¸ ×ÓÓØ
ØØÐÐÐ ÕÙÙ P (A) ∼ −A
3
¸ ÕÙÙ ØØÒÒ ÚÚÖ× −∞ ÔÓÙÖ A → +∞ Ø ÚÖ× +∞ ÔÓÙÖ
A → −∞º
ijÓÓØØØ ØØÒØ Ø Ò Ó Ñ ÖÖÖ Ø ÐÐ× ÜØÖÖÑÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V (A)
Ù ×Ý×ØØÑѸ ÔÓÙÖ×ÙÙÚÓÒ× ÒÓØÖÖ ÒÒÐÝ×× Ò ÙÜ ×¸ ××ÐÓÒ ÐÐ ×××ÒÒ
Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ = −( c − 0 )// c º
´´µ < 0¸ ×ÓÓØ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖ××ÓÖØ ÐÐ ÚÚÖØØØØÐÐ ×Ø ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ
ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖ××ÓÖØ Ù ÖÖÔÓ× ´ c > > 0 µº ÓÑÔØØ ØØÒ٠г³ÕÙÙØØÓÒ
¿ºº¸ P (A) ×Ø ÐÓÖ× ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ØÓÙÙÓÙÖ× ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÚ
P ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ A ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ× ÒÒÒÒØØÚÚ ´dP/dA = − 3A
2 < 0µº
ÓÑÔØØ ØØÒÙ × ÐÐÑÑÒØ× ÚÓÕÙÙ× ¹¹ÚÒØ ×ÙÖ ÐÐ ÓÑÔÓÖØØÑÑÒØ ÒÒÖÖÐ
ÐÐ ÓÙÖÖÖ P (A)¸ Ð Ò ÓÙÐÐ ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ P = 0 ÔÓ××××× ÙÒÒ ××ÙÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ ÖÖÖÐÐÐ ÔÓÙÖ ÐÐ× A > 0 ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¾µº
´´´µ > 0¸ ×ÓÓØ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖ××ÓÖØ ÐÐ ÚÚÖØØØØÐÐ ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ÐÐ
ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖ××ÓÖØ Ù ÖÖÔÓ× ´ c < < 0 µº Ò× ×¸ ÐÐ ÖÖÚ × Ü¹
ØÖÖÑѸ ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ dP/dA = − 3A
2
¸ ׳³ÒÒÙÐÐ Ò ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÔÔÖØ Ø
³³ÙØÖÖ Ð³ÓÖÖÖÖÒÒ A = 0¸ ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒØ Ø Ò A = ±
/3¸ ÕÙÙ ØÖÖÖÙÙØ
ÔÔÖ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ÑÑÒÒÑÙÑ ÐÓÓÓÐ ÔÓÙÖ P (A) Ò A = −
/3 Ø ÙÒ
ÑÑÜÜÑÙÑ ÐÓÓÓÐ ÔÓÙÖ P (A) Ò A = +
/3 ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¿µº
´´´º½µ A > 0. ÓÑÔØØ ØØÒÙ × ÐÐÑÑÒØ× ÓÓØØÒÙ× ×ÙÖ ÐÐ
ÒÒÖÖÐ ÐÐ ÓÙÖÖÖ P (A)¸ Ð ÓÙÐÐ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ Ù ÑÑÜÜÑÙÑ ÐÓÓÓÐ
ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ P = 0 ÔÓ××××× ÙÒÒ ××ÙÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÖÖÖÐÐÐ ÔÓÙÖ ÐÐ× ÑÔÐÐØÙÙÙ×
ÔÓ××ØØÚ× A > 0¸ Ø ÕÙÙÐÐÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ ÙØØÙÖ Ù ÑÑÜÜÑÙÑ ÐÓÓÓк
´´´º¾µ A < 0. ÈÖ ÓÒØÖÖ¸ ÔÓÙÖ ÐÐ× ÑÔÐÐØÙÙÙ× ÒÒÒÒØØÚÚ× A < 0¸ г³ÕÙÙØØÓÒ
P = 0 ÔÔÙØÚÓÓÖ ÞÞÖÓ ÓÙ ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ׸ ××ÐÓÒ ÐÐ ÔÖÓÓÓÒÒÒÙÖ Ù ÑÑÒÒÑÙÑ
ÐÓÓÓк Ò Ø¸ ×× ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÑÑÒÒÑÙÑ ÐÓÓÓÐ ×Ø ÔÓ××ØØÚ¸ ÐÐ ÓÙÖÖÖ P (A)
ÒÒ ÓÙÔÔ ÔÔ× Ð³³ÜÜ ³ÓÖÖÖÖÒÒ × ÑÔÐÐØÙÙÙ׸ Ø ÓÒÒ P (A) ÒÒ ×³³ÒÒÙÐÐ
ÔÔ× ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¿¿µº Ò ÖÖÚÚÒÒ¸ ×× ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÑÑÒÒÑÙÑ ÐÓÓÓÐ ×Ø
ÒÒÒÒØØÚ¸ ÐÐ ÓÙÖÖÖ P (A) Ò ÙÜ ÔÓÓÒØ× Ð³³ÜÜ × ÑÔÐÐØÙÙÙ׸
ÕÙÙ ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒ ÙÜ ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÔÓ××××ÐÐ× ÔÓÙÖ ÒÒÙÐÐÖ P º ÄÄ ××ÙÙÐ
ÖÖØØÕÙÙ ÔÔ××××× ³ÙÒ ØÝÔÔ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÙØÖÖ ×× ÔÖÓÓÙÙØ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ
ÑÑÒÒÑÙÑ ÐÓÓÓи ÖÖÖØØÖÖ×× ÔÔÖ ÙÒÒ ÖÖÚ Ò ÙÐÐи ׳³ÒÒÙÐÐ ÐÙÙ Ù××× Ò