¿º ÄÄ× ÙØÖÖ× ÙÖÖÖØØÓÒ× ÒÒÖÖÕÙÙ×
¿¿
´ÖÖÖÖÖ ÔÓÓÒØ× ÜÜ׸ ÒÒÐÝ×× ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÙØÓÙÖ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ׸
ÒÒÒÑÑÒØ× ÚÖÖÖÖÐÐ× Ø ÖÖÖÖÖ × ×ÓÐÙØØÓÒ× Ò ××ÖÖÖ
г³ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÓÑÔÐÐØØ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
Ù ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÖÖÖÖظ ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¾µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ù
×Ý×ØØÑÑ ÑÔÔÖÖÖÖØ ×ÙÙÚÚÒØØ
dA
dτ
= A − A
3
+ ν
´¿º¾µ
ÓÓ τ = k(t)/ν Ø ν = ¯
f /( c k)¸ ¸ ÚÚÚ ¯
f = f //
3/2
º
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ¸ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÖÖ×ÙÐØØظ ÒÓÙ× ÑÔÐÐÐÐØØÑÑÒØ ×ÙÔÔÓ×× ÕÙÙ
ÐÐ ÓÖÖÖ f ØØØØ ×ÙÙ××ÑÑÑÒØ ×××ÒÒÒÒÒØØÚÚ ÔÓÙÖ ÒØØÖÚÒÒÖ Ð³ÓÖÖÖÖ ÓÑÑÒÒÒØ
Ò× Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑѸ ÕÙÙ ÑÔÓ×× ÕÙÙ f ×ÓÓØ Ð³ÓÖÖÖÖ
¾
3/2
º ØØØ ÝÔÓØØØ×× f ∼
3/2
¸ ³ÙÒÒ ÔÔÖظ Ù×ØØØØ ÐÐ ÓÓÓÖÖÒÒÒ Ð³³ÖÖÖØ
Ù Ú Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÑÔÔÖÖÖÖØ Ð³ÓÖÖÖÖ
´´ÕÙÙØØÓÒ ¿º½µ¸ ÔÙÙ×ÕÙÙ ØÓÙ× ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÓÒ××××ÖÖ× ×ÓÒØ Ò×× Ù ÑÑÑÑ ÓÖÖÖÖ¸
ظ ³³ÙØÖÖ ÔÔÖظ ××ÙÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÒÓÙÚÚÚÙ ØØÖÑÑ ν¸ Ð³³ÑÔÔÖÖÖÖØØÓÒ Ù ×Ý×¹
ØØÑѸ ÒØØÖÚÚÚÒØ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿º½µ Ù ÑÑÑÑ ÓÖÖÖÖ
Ò ÙÜ ÙØÖÖ× ØØÖÑÑ× ¿ º ÁÐ ÜÜ×ØØ ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ V (A) ØØÐ ÕÙÙ
dA/dτ = −∂V/∂A¸ ÙÕÙÙÐ ÖÖÚ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A Ù ×Ý×ØØÑÑ ÖÖÖÐ
´´ÕÙÙØØÓÒ ¿ººµ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
V (A) = −
A
2
2
+
A
4
4
− νA.
´¿º¿µ
ØØØ ÔÔÖÑÑØ Ð³³³³ÒØØØØØØØÓÒ × ØØØ× ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ
Ò ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÒØ Ð × P Ù ÔÓØØÒØØØÐ V ××ØØ××××××ÒØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÙÙÙÕÙÙ
×ÙÙÚ
P (A) ≡ A − A
3
+ ν = −
∂V
∂A
= 0,
´¿ººµ
ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÙÒ ÑÑÜÜÑÙÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V ÙÒ ØØØ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ
Ò×ØØØÐи ØØÒÒÒ× ÕÙ³ÙÒ ÑÑÒÒÑÙÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÙÒ ØØØ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ
×ØØØÐк ÓÒ ÒÒÖÖÐи ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÙÙÙÕÙÙ ÔÓ××××× ÙÜ ØÝÔÔ× ×ÓÐÙØØÓÒ
×ÓÓØ ÐÐ× ¿ ÖÖÖÖÒÒ× ×ÓÒØ Ø × Ò Ó Ñ ÖÖ× ÖÖÖÐ׸ ×ÓÓØ ÙÒÒ ××ÙÐÐ ÖÖÖÖÒÒ ×Ø ÙÒ ÒÓÑÖÖ ÖÖÖÐ
Ø ÐÐ× ÙÜ ÙØÖÖ× ×ÓÒØ × ÒÓÑÑÖÖ× ÓÑÔÐÐÜÜ× ººº ÙÒÒ ÔÔÖØØØ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ
ÒÓÒ ÒÙÐÐк
ËËÒ× ÖÖ×ÓÙÙÖÖ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÙÙÙÕÙÙ¸ ÓÔØÓÒ× ÙÒ ÖÖÖ×ÓÒ¹
ÒÒÑÑÒØ ××ÑÔÐÐ ÓÒÒÒ ×ÙÖ × ÖÖÙÑÑÒØ× ÔÔÝ××ÕÙÙ× Ø ×ÙÖ Ð³³ÒÒÐÝ×× × ÔÖÓÔÖÖÖØØ×
Ø Ù ×ÝÑÔØÓØØÕÙÙ ÐÐ × ÜØÖÖÑÑ P (A) Ò ÓÒÒØØÓÒ
¾ ÈÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÖÖ×ÙÐØØظ ÒÓÙ× ÖÖÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ x(t) Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ
ÙÖÖÖØØÓÒ ´ = 0µ ×Ø ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ³ÙÒÒ ××ÖÖÖ ³ÙÒÒ ÔÙÙ×××ÒÒÒ Ò 1/2 ¸ Ú ÓÓÖ
ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¾º
¿ Ò× Ð³³ÝÔÓØØØ×× ÓÓ Ð³ÓÖÖÖÖ ÐÐ ÓÖÖÖ f ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖ 3/2 ¸ ÐÐ ØØÖÑÑ ³³ÑÔÔÖÖÖÖØØÓÒ ν
ÔÔÔÖÖÖØ ÒÒØÙÖÖÐÐÐÑÑÒØ ÙÒ ÓÖÖÖÖ ÔÐÙ× Ò× ÐÐ ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ Ø Ì Ð³³ÒÒÖÖÖÖ
ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ÑÑÑ× ÒÓÙ× ÚÚÖÖÓÒ׸ ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØظ ÕÙÙ ÐÐ ÕÙÙÐÐØØØØØ × ×ÓÐÙØØÓÒ× Ù
×Ý×ØØÑÑ ÑÔÔÖÖÖÖØ ÒÒ ÔÔ׸ Ò Ò ÓÑÔØظ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ù ØØÖÑÑ ³³ÑÔÔÖÖÖÖØØÓÒ
νº
¿¿
´ÖÖÖÖÖ ÔÓÓÒØ× ÜÜ׸ ÒÒÐÝ×× ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÙØÓÙÖ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ׸
ÒÒÒÑÑÒØ× ÚÖÖÖÖÐÐ× Ø ÖÖÖÖÖ × ×ÓÐÙØØÓÒ× Ò ××ÖÖÖ
г³ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÓÑÔÐÐØØ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
Ù ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÖÖÖÖظ ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¾µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ù
×Ý×ØØÑÑ ÑÔÔÖÖÖÖØ ×ÙÙÚÚÒØØ
dA
dτ
= A − A
3
+ ν
´¿º¾µ
ÓÓ τ = k(t)/ν Ø ν = ¯
f /( c k)¸ ¸ ÚÚÚ ¯
f = f //
3/2
º
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ¸ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÖÖ×ÙÐØØظ ÒÓÙ× ÑÔÐÐÐÐØØÑÑÒØ ×ÙÔÔÓ×× ÕÙÙ
ÐÐ ÓÖÖÖ f ØØØØ ×ÙÙ××ÑÑÑÒØ ×××ÒÒÒÒÒØØÚÚ ÔÓÙÖ ÒØØÖÚÒÒÖ Ð³ÓÖÖÖÖ ÓÑÑÒÒÒØ
Ò× Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑѸ ÕÙÙ ÑÔÓ×× ÕÙÙ f ×ÓÓØ Ð³ÓÖÖÖÖ
¾
3/2
º ØØØ ÝÔÓØØØ×× f ∼
3/2
¸ ³ÙÒÒ ÔÔÖظ Ù×ØØØØ ÐÐ ÓÓÓÖÖÒÒÒ Ð³³ÖÖÖØ
Ù Ú Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÑÔÔÖÖÖÖØ Ð³ÓÖÖÖÖ
´´ÕÙÙØØÓÒ ¿º½µ¸ ÔÙÙ×ÕÙÙ ØÓÙ× ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÓÒ××××ÖÖ× ×ÓÒØ Ò×× Ù ÑÑÑÑ ÓÖÖÖÖ¸
ظ ³³ÙØÖÖ ÔÔÖظ ××ÙÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÒÓÙÚÚÚÙ ØØÖÑÑ ν¸ Ð³³ÑÔÔÖÖÖÖØØÓÒ Ù ×Ý×¹
ØØÑѸ ÒØØÖÚÚÚÒØ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿º½µ Ù ÑÑÑÑ ÓÖÖÖÖ
Ò ÙÜ ÙØÖÖ× ØØÖÑÑ× ¿ º ÁÐ ÜÜ×ØØ ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ V (A) ØØÐ ÕÙÙ
dA/dτ = −∂V/∂A¸ ÙÕÙÙÐ ÖÖÚ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A Ù ×Ý×ØØÑÑ ÖÖÖÐ
´´ÕÙÙØØÓÒ ¿ººµ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
V (A) = −
A
2
2
+
A
4
4
− νA.
´¿º¿µ
ØØØ ÔÔÖÑÑØ Ð³³³³ÒØØØØØØØÓÒ × ØØØ× ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ
Ò ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÒØ Ð × P Ù ÔÓØØÒØØØÐ V ××ØØ××××××ÒØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÙÙÙÕÙÙ
×ÙÙÚ
P (A) ≡ A − A
3
+ ν = −
∂V
∂A
= 0,
´¿ººµ
ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÙÒ ÑÑÜÜÑÙÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V ÙÒ ØØØ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ
Ò×ØØØÐи ØØÒÒÒ× ÕÙ³ÙÒ ÑÑÒÒÑÙÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÙÒ ØØØ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ
×ØØØÐк ÓÒ ÒÒÖÖÐи ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÙÙÙÕÙÙ ÔÓ××××× ÙÜ ØÝÔÔ× ×ÓÐÙØØÓÒ
×ÓÓØ ÐÐ× ¿ ÖÖÖÖÒÒ× ×ÓÒØ Ø × Ò Ó Ñ ÖÖ× ÖÖÖÐ׸ ×ÓÓØ ÙÒÒ ××ÙÐÐ ÖÖÖÖÒÒ ×Ø ÙÒ ÒÓÑÖÖ ÖÖÖÐ
Ø ÐÐ× ÙÜ ÙØÖÖ× ×ÓÒØ × ÒÓÑÑÖÖ× ÓÑÔÐÐÜÜ× ººº ÙÒÒ ÔÔÖØØØ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ
ÒÓÒ ÒÙÐÐк
ËËÒ× ÖÖ×ÓÙÙÖÖ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÙÙÙÕÙÙ¸ ÓÔØÓÒ× ÙÒ ÖÖÖ×ÓÒ¹
ÒÒÑÑÒØ ××ÑÔÐÐ ÓÒÒÒ ×ÙÖ × ÖÖÙÑÑÒØ× ÔÔÝ××ÕÙÙ× Ø ×ÙÖ Ð³³ÒÒÐÝ×× × ÔÖÓÔÖÖÖØØ×
Ø Ù ×ÝÑÔØÓØØÕÙÙ ÐÐ × ÜØÖÖÑÑ P (A) Ò ÓÒÒØØÓÒ
¾ ÈÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÖÖ×ÙÐØØظ ÒÓÙ× ÖÖÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ x(t) Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ
ÙÖÖÖØØÓÒ ´ = 0µ ×Ø ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ³ÙÒÒ ××ÖÖÖ ³ÙÒÒ ÔÙÙ×××ÒÒÒ Ò 1/2 ¸ Ú ÓÓÖ
ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¾º
¿ Ò× Ð³³ÝÔÓØØØ×× ÓÓ Ð³ÓÖÖÖÖ ÐÐ ÓÖÖÖ f ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖ 3/2 ¸ ÐÐ ØØÖÑÑ ³³ÑÔÔÖÖÖÖØØÓÒ ν
ÔÔÔÖÖÖØ ÒÒØÙÖÖÐÐÐÑÑÒØ ÙÒ ÓÖÖÖÖ ÔÐÙ× Ò× ÐÐ ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ Ø Ì Ð³³ÒÒÖÖÖÖ
ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ÑÑÑ× ÒÓÙ× ÚÚÖÖÓÒ׸ ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØظ ÕÙÙ ÐÐ ÕÙÙÐÐØØØØØ × ×ÓÐÙØØÓÒ× Ù
×Ý×ØØÑÑ ÑÔÔÖÖÖÖØ ÒÒ ÔÔ׸ Ò Ò ÓÑÔØظ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ù ØØÖÑÑ ³³ÑÔÔÖÖÖÖØØÓÒ
νº