¾º ÁÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ ÙÜ ÙÖÖÖØØÓÒ× ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ
¾¾
Ù ÔÓØØÒØØØÐ V (A) = −A
2 /2 + A
4 /4 Ø ÙÒÒ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
dA
dτ
= A − A
3 .
´¾º¾¾µ
ØØØ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÒØØØÒØ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ
×ÓÙ× ÓÖÑÑ ÑÑÒ××ÓÒÒÒÒ Ø ÔÔÖÑÑØ Ò×× ×× ÖÖÖÖÖÖÖ ÐÐ ×ØØÒÒÒ
Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØغ
ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÓÖÑÙÐÐÖ ÐÐ× ØØØ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ ÔÔÖ ÐÐ× ØÖÓÓ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ÙÙÚÒØØ× A = 0 Ø A = ±
√
¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ Ù ØØÑÔ× ÓÓØØÒÙÙ Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º½½µ
ÔÖÖÒÒ ÐÐ ÓÖÑÑ A = ae
τ
º
Ò×׸ ÐÐ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ÚÖ× ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÙÖÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ
ÔÔÖØØÖ A = 0 ÚÚÖÖÖ ÓÑÑÑ
√
¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ ØØÑÔ× ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÔÒÒÒÒØØ Ù ØØÑÔ× ÚÚÖÖÖ ÓÑÑÑ
−1
º Ò ÓÙØÖÖ¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ×
ÓÒÒÐÙÖÖ × ÜÔÖÖ×××ÓÒ× ÕÙÙ A = 0 ×Ø ×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ < 0 Ø
Ò×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ > 0 ÐÐ ÔÔÖØØ ×ØØØØÐÐØØ ×Ø ÓÑÔÔÔÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ
ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ׸ A = ±
√
¸ ×ÓÙ× ÓÖÑÑ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÓÙÖÖº
¾º¿ºº ØØÖÖÖØØÙÖ× ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
ij³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¾µ¸ Ò ÕÙÙ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ÔÓ××××× ÙÒÒ
×ÓÐÙØØÓÒ ÜÜÜØغ ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÓÓØØÒÙÙ Ò ÖÖÑÑÖÕÙÙÒØ ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÒ¹
ÕÙÙ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¾µ ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÖÖÖÖÖØØ ÓÑÑÑ
dA
A(1 − A 2 )
=
dA
A
+
1
2
dA
(1 − A)
−
1
2
dA
(1 + A)
= dτ.
´¾º¾¾µ
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ×³³ÒØØØÖÖ ÑÑÑÑÑÑØØÑÑÒØ ÔÓÙÖ ÓÙÖÒÒÖ
A
|1 − A 2 |
=
A i
|1 − A 2
i |
e
τ
´¾º¾¾µ
ÓÓ A i ×Ø ÙÒÒ ÓÒ×ØØÒØØ ³³ÒØØØÖÖØØÓÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÒØØØÐÐ
´´ τ = 0µº
ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÖÖÔÖÖ××ÒØØØ ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ¾ºº ÔÓÙÖ ÐÐÙ×ØÖÖÖ ÐÐ ÓÑÔÓÖØع
ÑÑÒØ ØØÑÔÓÖÖÐ ØÖÖÒ××ØÓÓÖÖ ³³ØØØØÒÒÖÖ Ð³³ØØØ ÒÒÐ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ A = +1 ÓÙ
A = −1º ij³ØØØ ÒÒÐ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ×× ÐÐй¹¹ ×Ø ÔÓ××ØØÚ Ð
×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÐÐ ×Ø A = 1¸ ¸ Ø Ø Ò Ú Ö× A = −1 Ò× ÐÐ × ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ
¾ººµº
ÄÄ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× A = 1 Ø A = −1 ÓÒ×ØØØÙÙÒØ Ø Ù Ü ØØÖÖÖØØÙÖ× ÔÓ××××ÐÐ×
ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙº ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖ ØØÖÖÖØØÙÖ ÔÓ××××× Ð³³ÒØØÖÚÚÐÐÐ [0, ∞] ÓÑÑÑ ×××Ò
³³ØØÖÖÖØØÓÒ¸ ÒÒ ÓÑÑÑ Ð³³Ò××ÑÑÐÐ × ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× ÓÙØØ×××ÒØ Ø Ð
×ÓÐÙØØÓÒ A = 1¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ ×××Ò Ù ÙÜÜÜÑÑ ØØÖÖÖØØÙÖ ×Ø ÓÒÒÒ ÔÔÖ
г³ÒØØÖÚÐÐÐ [−∞, 0] × ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ׺
ÆÓØÓÒ× ÒÒÒ ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× A = ±1 ×ÓÒØ ÕÙÙÚ ÕÙÙÚÚÐÐÒÒÒ
ÕÙÙ ÖÖÖÖØØ ××ÑÔÐÐÑÑÒØ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ A → −A г³ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÒÒÕÙÙ
´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¾µº
¾¾
Ù ÔÓØØÒØØØÐ V (A) = −A
2 /2 + A
4 /4 Ø ÙÒÒ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
dA
dτ
= A − A
3 .
´¾º¾¾µ
ØØØ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÒØØØÒØ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ
×ÓÙ× ÓÖÑÑ ÑÑÒ××ÓÒÒÒÒ Ø ÔÔÖÑÑØ Ò×× ×× ÖÖÖÖÖÖÖ ÐÐ ×ØØÒÒÒ
Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØغ
ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÓÖÑÙÐÐÖ ÐÐ× ØØØ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ ÔÔÖ ÐÐ× ØÖÓÓ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ÙÙÚÒØØ× A = 0 Ø A = ±
√
¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ Ù ØØÑÔ× ÓÓØØÒÙÙ Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º½½µ
ÔÖÖÒÒ ÐÐ ÓÖÑÑ A = ae
τ
º
Ò×׸ ÐÐ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ÚÖ× ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÙÖÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ
ÔÔÖØØÖ A = 0 ÚÚÖÖÖ ÓÑÑÑ
√
¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ ØØÑÔ× ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÔÒÒÒÒØØ Ù ØØÑÔ× ÚÚÖÖÖ ÓÑÑÑ
−1
º Ò ÓÙØÖÖ¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ×
ÓÒÒÐÙÖÖ × ÜÔÖÖ×××ÓÒ× ÕÙÙ A = 0 ×Ø ×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ < 0 Ø
Ò×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ > 0 ÐÐ ÔÔÖØØ ×ØØØØÐÐØØ ×Ø ÓÑÔÔÔÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ
ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ׸ A = ±
√
¸ ×ÓÙ× ÓÖÑÑ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÓÙÖÖº
¾º¿ºº ØØÖÖÖØØÙÖ× ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
ij³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¾µ¸ Ò ÕÙÙ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ÔÓ××××× ÙÒÒ
×ÓÐÙØØÓÒ ÜÜÜØغ ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÓÓØØÒÙÙ Ò ÖÖÑÑÖÕÙÙÒØ ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÒ¹
ÕÙÙ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¾µ ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÖÖÖÖÖØØ ÓÑÑÑ
dA
A(1 − A 2 )
=
dA
A
+
1
2
dA
(1 − A)
−
1
2
dA
(1 + A)
= dτ.
´¾º¾¾µ
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ×³³ÒØØØÖÖ ÑÑÑÑÑÑØØÑÑÒØ ÔÓÙÖ ÓÙÖÒÒÖ
A
|1 − A 2 |
=
A i
|1 − A 2
i |
e
τ
´¾º¾¾µ
ÓÓ A i ×Ø ÙÒÒ ÓÒ×ØØÒØØ ³³ÒØØØÖÖØØÓÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÒØØØÐÐ
´´ τ = 0µº
ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÖÖÔÖÖ××ÒØØØ ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ¾ºº ÔÓÙÖ ÐÐÙ×ØÖÖÖ ÐÐ ÓÑÔÓÖØع
ÑÑÒØ ØØÑÔÓÖÖÐ ØÖÖÒ××ØÓÓÖÖ ³³ØØØØÒÒÖÖ Ð³³ØØØ ÒÒÐ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ A = +1 ÓÙ
A = −1º ij³ØØØ ÒÒÐ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ×× ÐÐй¹¹ ×Ø ÔÓ××ØØÚ Ð
×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÐÐ ×Ø A = 1¸ ¸ Ø Ø Ò Ú Ö× A = −1 Ò× ÐÐ × ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ
¾ººµº
ÄÄ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× A = 1 Ø A = −1 ÓÒ×ØØØÙÙÒØ Ø Ù Ü ØØÖÖÖØØÙÖ× ÔÓ××××ÐÐ×
ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙº ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖ ØØÖÖÖØØÙÖ ÔÓ××××× Ð³³ÒØØÖÚÚÐÐÐ [0, ∞] ÓÑÑÑ ×××Ò
³³ØØÖÖÖØØÓÒ¸ ÒÒ ÓÑÑÑ Ð³³Ò××ÑÑÐÐ × ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× ÓÙØØ×××ÒØ Ø Ð
×ÓÐÙØØÓÒ A = 1¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ ×××Ò Ù ÙÜÜÜÑÑ ØØÖÖÖØØÙÖ ×Ø ÓÒÒÒ ÔÔÖ
г³ÒØØÖÚÐÐÐ [−∞, 0] × ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ׺
ÆÓØÓÒ× ÒÒÒ ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× A = ±1 ×ÓÒØ ÕÙÙÚ ÕÙÙÚÚÐÐÒÒÒ
ÕÙÙ ÖÖÖÖØØ ××ÑÔÐÐÑÑÒØ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ A → −A г³ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÒÒÕÙÙ
´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¾µº