¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÒ ÓÒØØØÒØ ÔÐÙ× ÐÐ ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÕÙÙ
ÑÓÒØÖÖ ÐÐ ÓÓÓÖÖÒÒÒ ´Ó٠гÙÒÒÒÓÖÑÑØص Ù ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò
××ÖÖÖ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
1/2
º
ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ ÐÐ ÓÖÑÑ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ÒÓÑÑÑÑ
ÓÖÑÑ ÒÓÖÑÑÐÐ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÒÒ ÔÔ× ÐÐ ÓÖÑÑ ÒÒØØØÐÐ
E p ¸ ÔÓÙÖÚÙ ÕÙ³³ÐÐÐ ×ÓÓØ ÔÔÔÖÖ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ xº
ÆÓØÓÒ׸ Ò ÓÙØÖÖ¸ ÕÙÙ ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÒÒØØØРг³³³³ г³ÕÙÙØØÓÒ
ÒÒÖÖÐÐ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ´¾ººµ ×ÔÓ×× ÙÜ ÖÖ× ÐÐÐÐÖØØ ´´ÕÙÙØØÓÒ
Ù ×××ÓÒÒ ÓÖÖÖÖ ØØÒÒÒ× ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×Ø Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖº ÆÓÙ× ÚÓÒ× Ò×× ÖÖÖÙÙØ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ÖÖ×
ÐÐÐÐÖØØ ÙÜ ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÙÒÒ ××ÙÐи ÖÖÖÖ Ð³³ÐÐÑÑÒÒØØÓÒ ØØÕÙÙ ÓÒÒÒÒ
×ÙÖ Ð³³ÐÐÑÑÒÒØØÓÒ ÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ×××ÓÒÒÒ ¨
x ³ÓÖÖÖÖ ÒÒÒÖÖÖÙÖ ÐÙÙ
ÐÐ ÖÖÚ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ˙
xº
ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ Ò ÐÐ ØØÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ −
k
2μμ 2
c
A
3
0 г³ÕÙÙØØÓÒ ³³Ñ¹
ÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¿µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ A 0 (T ) ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ A 0 (T ) =
ae
(k/μ)T
´ÓÓ a ×Ø ÙÒ ØØÙÖ ÕÙÙ ×Ø ØÖÖ× ÜÜÜØØÑÑÒØ ÐÐ ×ÓÐÙ¹
ØØÓÒ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º½½µ ÓÓØØÒÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ××ÙÐ ÐÐ ÑÓÓÓ ÐÐÒØ Ø × Ø
ÓÒ××ÖÚº ij³³ØØÓÒ Ù ØØÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ
¾º¾¿µ ÔÓÙÖ Ø ×³ÓÔÔÓ××Ö ÐÐ ÖÓÓ×××ÒÒÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A 0 (t) Ù ÓÙÖ× Ù
ØØÑÔ× ´×××ÒÒ ÒÒÒÒØØص Ø ÓÒÒÙÙظ ØØÖÑѸ ÙÒÒ ××ØÙÖÖØØÓÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ º
¾º¿ºº ÓÖÑÑ ÒÓÒÒÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ijÙÒÒÚÖ××ÐÐØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¿µ ÔÖÖÒÒ ØÓÙØ ×ÓÒ ××Ò×
Ò ÔÖÓÓÓÓÓÒØ Ø Ø Ò Ó Ù Ú ÙÜ ÚÖÖÖÖÐк ºÒ ÔÓ××ÒØ A 0 = AA 0
√
2
Ø τ = kT /μ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒÒ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ØØ
ÒÓÒÒÕÙÙ
dA
dτ
= A − A
3
´¾º¾¾µ
Ö ØÓÙ× ÐÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÔÔÝ××ÕÙÙ× Ù ×Ý×ØØÑÑ ØÙÙÙÙº
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ³ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ V (A) = −A
2 /2 + A
4 /4¸
ÕÙÙ ÔÔÖÑÑØ ÖÖÖÓÖÑÙÐÐÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÒÒÕÙÙ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¾µ
ÓÑÑÑ
dA
dτ
= −
∂V (A)
∂A
.
´¾º¾¾µ
Ò× ÐÐ Ù × ÖÖØÙÖÖ× ÑÙÐØØÔÐÐ× Ø ÔÓÙÖ ÖÖ ÔÔÔÖÖÖØÖÖ ÜÔÐÐÐÐØØÑÑÒØ Ð
ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÐÐ ×ØØÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ ÖÖØØÕÙÙ ³³Ò×ØØØØÐÐØظ ×ÙÙ¹
×ØØØÙÓÒ× A ÔÔÖ A/
√
Ø τ ÔÔÖ ττº ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ò×× ÙÒÒ ÒÓÙÚÐÐÐ ÜÔÖÖ×××ÓÒ
ÄÄ Ø ÕÙÙ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖ ØØÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ××× Ð³³ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ò³³×Ø ÔÔ×
ÙÒÒ ÖÖÖÐÐ ÒÒÖÖÐк ÁÐ ÔÔÙØ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ ØØÖÑÑ ×ÙÙÚÚÒØ ´ÓÙ ÙÒ ÙØÖÖ ØØÖÑÑ ³ÓÖÖÖÖ
ÔÐÙ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÑÑ A 5 ÕÙÙ ÓÒÒÙÙ×× ÐÐ ××ØÙÖÖØØÓÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖº
Ò× ÖØØØÒ× ÑÓÓÓÐÐ׸ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ò× ÐÐ ÑÑÑÑ ××Ò× ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ
ÐÐÒÒÒÒÖÖº × ÑÓÓÓÐÐ× ×ÓÒØ × Ó Ù Ú ÒØ ÑÑÒÒ× ÖÖÖÖ × ××ÒÒÙÐÐÖÖØØ× Ò ØØÑÔ× ÒÒº
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÒ ÓÒØØØÒØ ÔÐÙ× ÐÐ ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÕÙÙ
ÑÓÒØÖÖ ÐÐ ÓÓÓÖÖÒÒÒ ´Ó٠гÙÒÒÒÓÖÑÑØص Ù ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò
××ÖÖÖ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
1/2
º
ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ ÐÐ ÓÖÑÑ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ÒÓÑÑÑÑ
ÓÖÑÑ ÒÓÖÑÑÐÐ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÒÒ ÔÔ× ÐÐ ÓÖÑÑ ÒÒØØØÐÐ
E p ¸ ÔÓÙÖÚÙ ÕÙ³³ÐÐÐ ×ÓÓØ ÔÔÔÖÖ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ xº
ÆÓØÓÒ׸ Ò ÓÙØÖÖ¸ ÕÙÙ ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÒÒØØØРг³³³³ г³ÕÙÙØØÓÒ
ÒÒÖÖÐÐ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ´¾ººµ ×ÔÓ×× ÙÜ ÖÖ× ÐÐÐÐÖØØ ´´ÕÙÙØØÓÒ
Ù ×××ÓÒÒ ÓÖÖÖÖ ØØÒÒÒ× ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×Ø Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖº ÆÓÙ× ÚÓÒ× Ò×× ÖÖÖÙÙØ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ÖÖ×
ÐÐÐÐÖØØ ÙÜ ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÙÒÒ ××ÙÐи ÖÖÖÖ Ð³³ÐÐÑÑÒÒØØÓÒ ØØÕÙÙ ÓÒÒÒÒ
×ÙÖ Ð³³ÐÐÑÑÒÒØØÓÒ ÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ×××ÓÒÒÒ ¨
x ³ÓÖÖÖÖ ÒÒÒÖÖÖÙÖ ÐÙÙ
ÐÐ ÖÖÚ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ˙
xº
ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ Ò ÐÐ ØØÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ −
k
2μμ 2
c
A
3
0 г³ÕÙÙØØÓÒ ³³Ñ¹
ÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¿µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ A 0 (T ) ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ A 0 (T ) =
ae
(k/μ)T
´ÓÓ a ×Ø ÙÒ ØØÙÖ ÕÙÙ ×Ø ØÖÖ× ÜÜÜØØÑÑÒØ ÐÐ ×ÓÐÙ¹
ØØÓÒ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º½½µ ÓÓØØÒÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ××ÙÐ ÐÐ ÑÓÓÓ ÐÐÒØ Ø × Ø
ÓÒ××ÖÚº ij³³ØØÓÒ Ù ØØÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ
¾º¾¿µ ÔÓÙÖ Ø ×³ÓÔÔÓ××Ö ÐÐ ÖÓÓ×××ÒÒÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A 0 (t) Ù ÓÙÖ× Ù
ØØÑÔ× ´×××ÒÒ ÒÒÒÒØØص Ø ÓÒÒÙÙظ ØØÖÑѸ ÙÒÒ ××ØÙÖÖØØÓÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ º
¾º¿ºº ÓÖÑÑ ÒÓÒÒÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ijÙÒÒÚÖ××ÐÐØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¿µ ÔÖÖÒÒ ØÓÙØ ×ÓÒ ××Ò×
Ò ÔÖÓÓÓÓÓÒØ Ø Ø Ò Ó Ù Ú ÙÜ ÚÖÖÖÖÐк ºÒ ÔÓ××ÒØ A 0 = AA 0
√
2
Ø τ = kT /μ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒÒ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ØØ
ÒÓÒÒÕÙÙ
dA
dτ
= A − A
3
´¾º¾¾µ
Ö ØÓÙ× ÐÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÔÔÝ××ÕÙÙ× Ù ×Ý×ØØÑÑ ØÙÙÙÙº
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ³ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ V (A) = −A
2 /2 + A
4 /4¸
ÕÙÙ ÔÔÖÑÑØ ÖÖÖÓÖÑÙÐÐÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÒÒÕÙÙ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¾µ
ÓÑÑÑ
dA
dτ
= −
∂V (A)
∂A
.
´¾º¾¾µ
Ò× ÐÐ Ù × ÖÖØÙÖÖ× ÑÙÐØØÔÐÐ× Ø ÔÓÙÖ ÖÖ ÔÔÔÖÖÖØÖÖ ÜÔÐÐÐÐØØÑÑÒØ Ð
ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÐÐ ×ØØÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ ÖÖØØÕÙÙ ³³Ò×ØØØØÐÐØظ ×ÙÙ¹
×ØØØÙÓÒ× A ÔÔÖ A/
√
Ø τ ÔÔÖ ττº ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ò×× ÙÒÒ ÒÓÙÚÐÐÐ ÜÔÖÖ×××ÓÒ
ÄÄ Ø ÕÙÙ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖ ØØÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ××× Ð³³ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ò³³×Ø ÔÔ×
ÙÒÒ ÖÖÖÐÐ ÒÒÖÖÐк ÁÐ ÔÔÙØ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ ØØÖÑÑ ×ÙÙÚÚÒØ ´ÓÙ ÙÒ ÙØÖÖ ØØÖÑÑ ³ÓÖÖÖÖ
ÔÐÙ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÑÑ A 5 ÕÙÙ ÓÒÒÙÙ×× ÐÐ ××ØÙÖÖØØÓÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖº
Ò× ÖØØØÒ× ÑÓÓÓÐÐ׸ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ò× ÐÐ ÑÑÑÑ ××Ò× ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ
ÐÐÒÒÒÒÖÖº × ÑÓÓÓÐÐ× ×ÓÒØ × Ó Ù Ú ÒØ ÑÑÒÒ× ÖÖÖÖ × ××ÒÒÙÐÐÖÖØØ× Ò ØØÑÔ× ÒÒº