¾º ÁÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ ÙÜ ÙÖÖÖØØÓÒ× ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ
¾¾
ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÐÐÙ×ØÖÖ Ò×× ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ x 1 ÒÒ ÔÔ× ××ÔÔÖÖ¹
ÑÑÒØ Ù ØØÑÔ× t Ø ÐÐ ×ØØÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ ÖÖØØÕÙÙ ÑÑÑ× ÙÒÒÕÙÙÑÑÒØ Ø Ð Ù Ö
ÔÖÓÓÙÙØ T º
ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ÜÔÖÖ×××ÓÒ× ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ x 1 (t) ´´ÕÙÙØØÓÒ× ¾º½½ Ø
¾º¾½µ ÒÒ ×ÓÒØ ×ÓÐÙØØÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÕÙÙ Ò× ÙÒÒ ÔÔÖÓÜÜÑÑØØÓÒ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º½½µº Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ÐÐ ÓÒ×ØØÒØØ a ÒÒ ÔÔÙØ ØÖÖ
ØØÖÑÑÒÒÒ ÙÒÒ ÑÙÐØØÔÐÐÐÐØØÓÒ a ÔÔÖ ÙÒÒ ÖÖÖØÖÖÖÖÖ ×Ø
×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾½º ÔÐÙ׸ ÔÓÙÖ > 0¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÖÓÓØ
ØØØÐÐÐÑÑÒØ Ò× ÐÐ ØØÑÔ׸ Ø Ð³³ÔÔÖÓÜÜÑÑØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ××× ÐÐÑÑØØ× ÔÓÙÖ
× ØØÑÔ× ÖÖÐÐØØÚÑÑÒØ ÐÓÒÒ× x 1 ÚÚÚÒØ ØØÐÐÐÑÑÒØ ÖÖÒÒ ÕÙ³³Ð ÒÒ ××ÖÖ ÔÐÙ×
ÐÐÐÐØØÑÑ ³³³ÒÓÖÖÖ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÒÒÖÖÕÙÙ ÐРݹ
ÒÒÑÑÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµº ÆÆÆÒÑÓÓÒ׸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÓÒ×ØØØÙÙ ÙÒÒ ÓÒÒÒ
ÔÓÙÖ ÐÐ× ØØÑÔ× ÓÙÖØ× ÐÐ× Ø× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÙÖÓÒØ Ò×× ÔÓÙÖ
ÙÒÒÕÙÙ ÖÖÐÐ ØØÖÑÑÒÒÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ a(T )º
¾º¿ºº ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÆÓÙ× ÒÓÙ× ÔÖÓÔÓ×ÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÖÖ××× Ù ×Ý×ØØÑÑ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ¸ ØÓÙØ Ò ×× ÖÖ×ØÖÖÖÖÒÒÒØ
г³ØÙÙÙ × ×ÓÐÙØØÓÒ× Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÖØØÕÙÙ = 0º Ò Ø¸
ÐÐ ×ØÖÖØØØØØ ÒÒÖÖÐÐ ÓÒ×××ØØ ØÓÙÙÓÙÖ× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÔÔÖØ Ò
ÔÙÙ×××ÒÒÒ ³ÙÒ ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ´´´´ µ Ø ÙÙÖÖ ÓÖÖÖÖ ÔÔÖ ÓÖÖÖÖ ÐÐ×
ÙØØÓÒ׺ ËÓÙÚÒظ ÙÒÒ ×ÙÔÔÓ×× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò ××ÖÖÖ ³ÙÒÒ
ÖØØØÒÒ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÔÓ××ØØÚÚ Ù ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ º ØØÒØ ÓÒÒÒ ÕÙ٠г³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ ×× ÓÑÑÑ
1/2
¸ Ð ×Ø ÒÒØÙÖÖÐ
ÖÖÖ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÓÑÔÐÐØØ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ Ò ××ÖÖÖ×
1/2
¸ × Ó Ø Ø
x(t) =
1/2 A 0 (T ) + A 1 (T ) + ...
´¾º¾¾µ
ÓÓ ÐÐ× ÓÒÒØØÓÒ× A 0 (T )¸ A 1 (T )¸ ººº ÓÓÚÒØ ØÖÖ ØØÖÑÑÒÒÒ× ÓÑÑÑ ×ÓÐÙØØÓÒ
г³ÕÙÙØØÓÒ ÒÒÖÖÐÐ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµº
ÓÑÔØØ ØØÒÙ Ù Ð Ö Ú ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ x Ò ÓÒÒØØÓÒ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÐÐÒØØ T
´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¼µ¸ ÐÐ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ x¸ ÔÖÓÔÓÖØØÓÒÒÒÐÐÐ
5/2
´¨ x =
5/2 dx/dT µ¸ ×Ø ÒÒÒÐÐÐÐÐÐÐÐ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÒÒÖÖÐÐ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÐÐ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ x ××ѹ
ÔÐÐÑÑÒØ ÔÖÓÔÓÖØØÓÒÒÒÐÐÐ
3/2
´ ˙
x =
3/2 dx/dT µº ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ гÓÖÖÖÖ
г³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ E p ×Ø ÓÒÒÒ ÔÔÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ Ò
ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ××ÙÙÐ Ú Ð³ÓÖÖÖÖ x
4
´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµº
Ò ÒÒÒÒØØÒØ Ð Ú Ò ××ÖÖÖ
1/2
´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¾µ Ò× Ð³³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ÒÒÖÖÐÐ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖµ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ¸ ÒÓÙ×
ÓÓØØÒÓÒ× Ð³ÓÖÖÖÖ
3/2
гÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×ÙÙÚÒØØ
dA 0
dT
=
k
μ
A 0 −
k
2μμ 2
c
A
3
0 .
´¾º¾¿µ
¾¾
ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÐÐÙ×ØÖÖ Ò×× ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ x 1 ÒÒ ÔÔ× ××ÔÔÖÖ¹
ÑÑÒØ Ù ØØÑÔ× t Ø ÐÐ ×ØØÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ ÖÖØØÕÙÙ ÑÑÑ× ÙÒÒÕÙÙÑÑÒØ Ø Ð Ù Ö
ÔÖÓÓÙÙØ T º
ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ÜÔÖÖ×××ÓÒ× ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ x 1 (t) ´´ÕÙÙØØÓÒ× ¾º½½ Ø
¾º¾½µ ÒÒ ×ÓÒØ ×ÓÐÙØØÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÕÙÙ Ò× ÙÒÒ ÔÔÖÓÜÜÑÑØØÓÒ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º½½µº Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ÐÐ ÓÒ×ØØÒØØ a ÒÒ ÔÔÙØ ØÖÖ
ØØÖÑÑÒÒÒ ÙÒÒ ÑÙÐØØÔÐÐÐÐØØÓÒ a ÔÔÖ ÙÒÒ ÖÖÖØÖÖÖÖÖ ×Ø
×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾½º ÔÐÙ׸ ÔÓÙÖ > 0¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÖÓÓØ
ØØØÐÐÐÑÑÒØ Ò× ÐÐ ØØÑÔ׸ Ø Ð³³ÔÔÖÓÜÜÑÑØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ××× ÐÐÑÑØØ× ÔÓÙÖ
× ØØÑÔ× ÖÖÐÐØØÚÑÑÒØ ÐÓÒÒ× x 1 ÚÚÚÒØ ØØÐÐÐÑÑÒØ ÖÖÒÒ ÕÙ³³Ð ÒÒ ××ÖÖ ÔÐÙ×
ÐÐÐÐØØÑÑ ³³³ÒÓÖÖÖ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÒÒÖÖÕÙÙ ÐРݹ
ÒÒÑÑÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµº ÆÆÆÒÑÓÓÒ׸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÓÒ×ØØØÙÙ ÙÒÒ ÓÒÒÒ
ÔÓÙÖ ÐÐ× ØØÑÔ× ÓÙÖØ× ÐÐ× Ø× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÙÖÓÒØ Ò×× ÔÓÙÖ
ÙÒÒÕÙÙ ÖÖÐÐ ØØÖÑÑÒÒÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ a(T )º
¾º¿ºº ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÆÓÙ× ÒÓÙ× ÔÖÓÔÓ×ÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÖÖ××× Ù ×Ý×ØØÑÑ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ¸ ØÓÙØ Ò ×× ÖÖ×ØÖÖÖÖÒÒÒØ
г³ØÙÙÙ × ×ÓÐÙØØÓÒ× Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÖØØÕÙÙ = 0º Ò Ø¸
ÐÐ ×ØÖÖØØØØØ ÒÒÖÖÐÐ ÓÒ×××ØØ ØÓÙÙÓÙÖ× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÔÔÖØ Ò
ÔÙÙ×××ÒÒÒ ³ÙÒ ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ´´´´ µ Ø ÙÙÖÖ ÓÖÖÖÖ ÔÔÖ ÓÖÖÖÖ ÐÐ×
ÙØØÓÒ׺ ËÓÙÚÒظ ÙÒÒ ×ÙÔÔÓ×× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò ××ÖÖÖ ³ÙÒÒ
ÖØØØÒÒ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÔÓ××ØØÚÚ Ù ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ º ØØÒØ ÓÒÒÒ ÕÙ٠г³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ ×× ÓÑÑÑ
1/2
¸ Ð ×Ø ÒÒØÙÖÖÐ
ÖÖÖ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÓÑÔÐÐØØ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ Ò ××ÖÖÖ×
1/2
¸ × Ó Ø Ø
x(t) =
1/2 A 0 (T ) + A 1 (T ) + ...
´¾º¾¾µ
ÓÓ ÐÐ× ÓÒÒØØÓÒ× A 0 (T )¸ A 1 (T )¸ ººº ÓÓÚÒØ ØÖÖ ØØÖÑÑÒÒÒ× ÓÑÑÑ ×ÓÐÙØØÓÒ
г³ÕÙÙØØÓÒ ÒÒÖÖÐÐ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµº
ÓÑÔØØ ØØÒÙ Ù Ð Ö Ú ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ x Ò ÓÒÒØØÓÒ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÐÐÒØØ T
´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¼µ¸ ÐÐ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ x¸ ÔÖÓÔÓÖØØÓÒÒÒÐÐÐ
5/2
´¨ x =
5/2 dx/dT µ¸ ×Ø ÒÒÒÐÐÐÐÐÐÐÐ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÒÒÖÖÐÐ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÐÐ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ x ××ѹ
ÔÐÐÑÑÒØ ÔÖÓÔÓÖØØÓÒÒÒÐÐÐ
3/2
´ ˙
x =
3/2 dx/dT µº ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ гÓÖÖÖÖ
г³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ E p ×Ø ÓÒÒÒ ÔÔÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ Ò
ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ××ÙÙÐ Ú Ð³ÓÖÖÖÖ x
4
´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµº
Ò ÒÒÒÒØØÒØ Ð Ú Ò ××ÖÖÖ
1/2
´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾¾µ Ò× Ð³³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ÒÒÖÖÐÐ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖµ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ¸ ÒÓÙ×
ÓÓØØÒÓÒ× Ð³ÓÖÖÖÖ
3/2
гÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×ÙÙÚÒØØ
dA 0
dT
=
k
μ
A 0 −
k
2μμ 2
c
A
3
0 .
´¾º¾¿µ