¾º ÁÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ ÙÜ ÙÖÖÖØØÓÒ× ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ
¾¾
ÖÓÓ×××ÒÒÒ ××ÓÓÓÓ ØØÖÑÑ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ |1/ω 2 | =
m/μº
ij³ÖÖÙÑÑÒØ ω 1 ×ظ ÕÙÙÒØ ÐÙÙ¸ ÔÖÓÔÓÖØØÓÒÒÒÐ ÐÐ ×ØØÒÒÒ ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ Ù
××ÙÙÐ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ Ð ×Ø ÓÒÒ ÒÒÒÒØØØ ´´´´ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ
Ù ØØÖÑÑ e
ω1t
µ¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ×Ø ÒÒÒÒØØØ ´ = −
c−0
c ¸ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ c Ù ÖÖ××ÓÖØ ×Ø
×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ ×× ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖÔÓ× 0 µº
Ò Ö Ú ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖ××ÓÖØ ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ×× ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù
ÖÖÔÓ× c < < 0 ¸ г³ÖÖÙÑÑÒØ ω 1 ×Ø ÔÓ××ØØظ Ø ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×ÙÙÙØ ÙÒÒ ÖÓÓ×××ÒÒÒ
ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ ÐÐ ØØÑÔ× ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ e
ω1t
×Ø ÐÓÖ× Ð³ÓÖÖÖÖ
1/ω 1 ∼ 1// ØØÑÔ× ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ÚÚÚÒØ ÓÒÒ ÔÐÙ× Ò ÔÐÙ× ÐÐÒØ
ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÖØØÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ´ → 0µº
ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ ÒÒØ ÐÐ ÖÖÐÐÒØØ×××ÑÑÒØ ÖÖØØÕÙÙ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ
ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÖÖÐÐÒØØØ ÐÐÐ ÚÚÚÒØ ³³ÙØØÒØ ÔÐÙ× ÐÐÒØØ
ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×³³ÔÔÖÓÓÓÓ Ù ××ÙÙÐ ÖÖØØÕÙÙº
¾º¿º¿ ÐÐÑÑÒÒØØÓÒ ØØÕÙÙ × ÑÓÓÓ× ÖÖÔÔÔÔ×
ÖÖÖÙÙØØÓÒ Ù ÒÓÑÖÖ ÖÖ× ÐÐÐÐÖØØ
ij³ØÙÙÙ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ÒÓÙ×
ÔÔÖÑÑ× ³ÙÒÒ ÔÔÖظ ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ × ØØØ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× Ø ³³ÙØÖÖ
ÔÔÖظ ÐÐ× ÑÓÓÓ× ÖÖÔÓÒ×× Ù ×Ý×ØØÑÑ × ÔÔØØØØ× ÔÔÖØÙÖ¹
ØØÓÒ׺ Ò×׸ ÐÐ ÑÓÓÓ ω 2 ÙÒ ÑÓÓÓ ×ØØØÐÐ Ø ÖÖÔÔÔÔ ´´´´ÖÓÓ×××ÒÒÒ
ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒµ ÐÓÖ× ÕÙÙ ÐÐ ÑÓÓÓ ω 1 ´´ÚÚÚ > 0µ
ÙÒ ÑÓÓÓ Ò×ØØØÐÐ ÓÒØ ÐÐ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ ×ÙÙÙØ ÙÒ ÖÖÐÐÒØØ×××ÑÑÒØ
ÖÖØØÕÙÙ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙº
Ò×׸ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ׸ ÐÐ ÑÓÓÓ ×ØØØÐи ÓÒØ Ð ³ Ú ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÖÖÔÔÔÔ¸ ׳³¹
ÚÚÒÓÙÙظ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÑÓÓÓ ÐÐÒØ ÔÔÖ×××ØØ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ø ÓÒÒ
Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ¸ ÔÔÖ ÐÐ× ÑÓÓÓ× ÐÐÒØ׺ ØØØ ××ØÙÙØØÓÒ ×Ø ×ÓÙÚÚÒØ
ÖÖÒÒÓÒØÖÖÖ Ò× Ð³³ØÙÙÙ × ×Ý×ØØÑÑ× ÝÒÒÑÑÕÙÙ׸ ÕÙÙ ÐÐØØ ÖÖÒÒÒÑÑÒØ
ÐÐÙÖ ÒÒÐÝ×׺ Ò Ø¸ ÑÑÑÑ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× ØÙÙÙÙ× ÓÑÔÓÖØØÒØ Ù Ò Ò Ó Ñ ¹
ÖÖ ÐÐÚÚ ÑÓÓÓ× ´ÓÙ ÖÖ× ÐÐÐÐÖØص¸ ××ÙÐ× ÐÐ× ÕÙÙÐÕÙÙ× ÑÓÓÓ× ÐÐÒØ×
ÔÔÖ×××ØØÒØ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÐÐ× ÙØÖÖ× ÑÓÓÓ× ÖÖÔÔÔÔ× ×ÓÒØ Ò××
×××ÖÚÚ× ÙÜ ÑÓÓÓ× ÐÐÒØ׺ ÍÒ ÒÓÑÑÖÖ ÖÖ×ØÖÖÖÒØ ÖÖ×
ÐÐÐÐÖØØ ÖÖØ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ØØÚº ij³ÐÐÑÑÒÒØØÓÒ × ÑÓÓÓ× ÖÖÔÔÔÔ× Ù
ÔÖÓÓØ × ÑÓÓÓ× ÐÐÒØ ×Ø ÒÓÑÑÑÑ ÐÐÑÑÒÒØØÓÒ ØØÕÙÙ ÐÐ× ÑÓÓÓ× ÖÖÔÔÔÔ×
׳³³³ÔØØÒØ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ × ÑÓÓÓ× ÐÐÒØ׺
ÄÄ ØØÖÑÑ ØØÕÙÙ¸ ÙØØÐÐ×× Ò ØØØÖÑÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ¸ ×Ø ××Ù Ù ØØÖÑÑ ÖÖÖ ØÓ׸
ÕÙÙ ×××ÒÒÒÒ ÍÒ ×Ý×ØØÑÑ ×ÙÙÙØ ÙÒÒ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ ØØÕÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ¸ Ù
ÓÙÖ× ØØØ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ¸ Ð ×Ø ØØØÖÑÑÕÙÙÑÑÒØ ×ÓÐÐ Ù ÑÑÐÐÐÙ ÜØØÖÖÖÙÖº ÁÐ ÔÔÙØ Ò××
ÒÒÒÖ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÑÑÑÑÒÒÕÙ٠г³ÜØØÖÖÖÙÖ ÑÑÑ× ØÓÙØ ×Ø ÔÖÓ××ÖÖØ
´ÔÔÖÓÓ× ØØ× ØØÕÙÙ×µº ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ÔÔÖÓÓ× ×ÓÒØ ÓÒÒÙÙØÖÖÖÖ× ÐÐÙÖ¸ ÙÒÒ
ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ ÔÔÙØ ÒÒÓÖÖ ØÖÖ ÓÒ××××ÖÖÖ ÓÑÑÑ ØØÕÙÙ ×× ÐÐР׳³³³³ØÙÙ ØÖÖ× ÖÖÔÔÔÔ¹
ÑÑÒظ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÐÓÖ×ÕÙ³³ÙÙÙÒ Ò³³ Ù ÐÐ ØØÑÔ× ×× ÖÖÖÐÐ××Ö Ù ÓÙÖ×
ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ ÓÒ××××ÖÖÖº ³³×Ø Ò× Ø ×ÔÖÖØ ÕÙ³³Ð ×Ø Ø Ù×××× Ð Ò Ó Ø Ó Ò
³³³³³³³ØØØØØØ ÐÐ ÑÓÓÓ ω 2 ׳³³³ÔØØ ØÖÖ× ÖÖÔÔÔÔÑÑÒØ ´ÓÒ Ø ØØÕÙÙÑÑÒص Ù
ÑÓÓÓ ÐÐÒغ
¾¾
ÖÓÓ×××ÒÒÒ ××ÓÓÓÓ ØØÖÑÑ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ |1/ω 2 | =
m/μº
ij³ÖÖÙÑÑÒØ ω 1 ×ظ ÕÙÙÒØ ÐÙÙ¸ ÔÖÓÔÓÖØØÓÒÒÒÐ ÐÐ ×ØØÒÒÒ ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ Ù
××ÙÙÐ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ Ð ×Ø ÓÒÒ ÒÒÒÒØØØ ´´´´ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ
Ù ØØÖÑÑ e
ω1t
µ¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ×Ø ÒÒÒÒØØØ ´ = −
c−0
c ¸ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ c Ù ÖÖ××ÓÖØ ×Ø
×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ ×× ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖÔÓ× 0 µº
Ò Ö Ú ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖ××ÓÖØ ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ×× ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù
ÖÖÔÓ× c < < 0 ¸ г³ÖÖÙÑÑÒØ ω 1 ×Ø ÔÓ××ØØظ Ø ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×ÙÙÙØ ÙÒÒ ÖÓÓ×××ÒÒÒ
ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ ÐÐ ØØÑÔ× ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ e
ω1t
×Ø ÐÓÖ× Ð³ÓÖÖÖÖ
1/ω 1 ∼ 1// ØØÑÔ× ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ÚÚÚÒØ ÓÒÒ ÔÐÙ× Ò ÔÐÙ× ÐÐÒØ
ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÖØØÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ´ → 0µº
ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ ÒÒØ ÐÐ ÖÖÐÐÒØØ×××ÑÑÒØ ÖÖØØÕÙÙ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ
ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÖÖÐÐÒØØØ ÐÐÐ ÚÚÚÒØ ³³ÙØØÒØ ÔÐÙ× ÐÐÒØØ
ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×³³ÔÔÖÓÓÓÓ Ù ××ÙÙÐ ÖÖØØÕÙÙº
¾º¿º¿ ÐÐÑÑÒÒØØÓÒ ØØÕÙÙ × ÑÓÓÓ× ÖÖÔÔÔÔ×
ÖÖÖÙÙØØÓÒ Ù ÒÓÑÖÖ ÖÖ× ÐÐÐÐÖØØ
ij³ØÙÙÙ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ÒÓÙ×
ÔÔÖÑÑ× ³ÙÒÒ ÔÔÖظ ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ × ØØØ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× Ø ³³ÙØÖÖ
ÔÔÖظ ÐÐ× ÑÓÓÓ× ÖÖÔÓÒ×× Ù ×Ý×ØØÑÑ × ÔÔØØØØ× ÔÔÖØÙÖ¹
ØØÓÒ׺ Ò×׸ ÐÐ ÑÓÓÓ ω 2 ÙÒ ÑÓÓÓ ×ØØØÐÐ Ø ÖÖÔÔÔÔ ´´´´ÖÓÓ×××ÒÒÒ
ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒµ ÐÓÖ× ÕÙÙ ÐÐ ÑÓÓÓ ω 1 ´´ÚÚÚ > 0µ
ÙÒ ÑÓÓÓ Ò×ØØØÐÐ ÓÒØ ÐÐ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ ×ÙÙÙØ ÙÒ ÖÖÐÐÒØØ×××ÑÑÒØ
ÖÖØØÕÙÙ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙº
Ò×׸ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ׸ ÐÐ ÑÓÓÓ ×ØØØÐи ÓÒØ Ð ³ Ú ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÖÖÔÔÔÔ¸ ׳³¹
ÚÚÒÓÙÙظ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÑÓÓÓ ÐÐÒØ ÔÔÖ×××ØØ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ø ÓÒÒ
Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ¸ ÔÔÖ ÐÐ× ÑÓÓÓ× ÐÐÒØ׺ ØØØ ××ØÙÙØØÓÒ ×Ø ×ÓÙÚÚÒØ
ÖÖÒÒÓÒØÖÖÖ Ò× Ð³³ØÙÙÙ × ×Ý×ØØÑÑ× ÝÒÒÑÑÕÙÙ׸ ÕÙÙ ÐÐØØ ÖÖÒÒÒÑÑÒØ
ÐÐÙÖ ÒÒÐÝ×׺ Ò Ø¸ ÑÑÑÑ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× ØÙÙÙÙ× ÓÑÔÓÖØØÒØ Ù Ò Ò Ó Ñ ¹
ÖÖ ÐÐÚÚ ÑÓÓÓ× ´ÓÙ ÖÖ× ÐÐÐÐÖØص¸ ××ÙÐ× ÐÐ× ÕÙÙÐÕÙÙ× ÑÓÓÓ× ÐÐÒØ×
ÔÔÖ×××ØØÒØ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÐÐ× ÙØÖÖ× ÑÓÓÓ× ÖÖÔÔÔÔ× ×ÓÒØ Ò××
×××ÖÚÚ× ÙÜ ÑÓÓÓ× ÐÐÒØ׺ ÍÒ ÒÓÑÑÖÖ ÖÖ×ØÖÖÖÒØ ÖÖ×
ÐÐÐÐÖØØ ÖÖØ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ØØÚº ij³ÐÐÑÑÒÒØØÓÒ × ÑÓÓÓ× ÖÖÔÔÔÔ× Ù
ÔÖÓÓØ × ÑÓÓÓ× ÐÐÒØ ×Ø ÒÓÑÑÑÑ ÐÐÑÑÒÒØØÓÒ ØØÕÙÙ ÐÐ× ÑÓÓÓ× ÖÖÔÔÔÔ×
׳³³³ÔØØÒØ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ × ÑÓÓÓ× ÐÐÒØ׺
ÄÄ ØØÖÑÑ ØØÕÙÙ¸ ÙØØÐÐ×× Ò ØØØÖÑÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ¸ ×Ø ××Ù Ù ØØÖÑÑ ÖÖÖ ØÓ׸
ÕÙÙ ×××ÒÒÒÒ ÍÒ ×Ý×ØØÑÑ ×ÙÙÙØ ÙÒÒ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ ØØÕÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ¸ Ù
ÓÙÖ× ØØØ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ¸ Ð ×Ø ØØØÖÑÑÕÙÙÑÑÒØ ×ÓÐÐ Ù ÑÑÐÐÐÙ ÜØØÖÖÖÙÖº ÁÐ ÔÔÙØ Ò××
ÒÒÒÖ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÑÑÑÑÒÒÕÙ٠г³ÜØØÖÖÖÙÖ ÑÑÑ× ØÓÙØ ×Ø ÔÖÓ××ÖÖØ
´ÔÔÖÓÓ× ØØ× ØØÕÙÙ×µº ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ÔÔÖÓÓ× ×ÓÒØ ÓÒÒÙÙØÖÖÖÖ× ÐÐÙÖ¸ ÙÒÒ
ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ ÔÔÙØ ÒÒÓÖÖ ØÖÖ ÓÒ××××ÖÖÖ ÓÑÑÑ ØØÕÙÙ ×× ÐÐР׳³³³³ØÙÙ ØÖÖ× ÖÖÔÔÔÔ¹
ÑÑÒظ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÐÓÖ×ÕÙ³³ÙÙÙÒ Ò³³ Ù ÐÐ ØØÑÔ× ×× ÖÖÖÐÐ××Ö Ù ÓÙÖ×
ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ ÓÒ××××ÖÖÖº ³³×Ø Ò× Ø ×ÔÖÖØ ÕÙ³³Ð ×Ø Ø Ù×××× Ð Ò Ó Ø Ó Ò
³³³³³³³ØØØØØØ ÐÐ ÑÓÓÓ ω 2 ׳³³³ÔØØ ØÖÖ× ÖÖÔÔÔÔÑÑÒØ ´ÓÒ Ø ØØÕÙÙÑÑÒص Ù
ÑÓÓÓ ÐÐÒغ