¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÓÓ a Ø b ×ÓÒØ × ³³ÒØØØÖÖØØÓÒº
ij³ÚÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ x 1 (t) Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× Ò×× Ù ×××ÒÒ
г³ÖÖÙÑÑÒØ ω1 2 × ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ׺ ÇÖ¸ ÐÐ ×××ÒÒ Ð³³ÖÖÙÑÑÒØ ω 2 ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ×
ÒÒÒÒØØØ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ¾º½¿µ¸ ¸¸ ÕÙÙ ÓÒÒÒ ÐÐÐÙ ÙÒÒ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ
ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ Ò x 0 Ò×× ÜÜÐÙ××ÚÑÑÒØ Ø Ð Ú ÐÐÙÖ
г³ÖÖÙÑÑÒØ ω 1 Ø ÓÒÒ¸ ¸Ò ÖÒÒÒÖÖ Ò×ØØÒÒÒ¸ ¸Ù ×××ÒÒ ÐÐ ÖÖÚ ×××ÓÒÒÒ
г³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ E
p Ò x 0 ´´ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ ÐÐ ÓÙÖÖÙÖÖ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ
ÔÓØØÒØØØÐÐÐ Ò x 0 µº ÙÜ ×ÓÒØ ÐÓÖ× ÓÒ××××ÖÖÖ
´´µ ×ÓÓØ E
p > 0 Ø ÓÒÒ ω 1 < 0 x 1 (t) ÖÓÓØ Ù ÓÙÖ×
Ù ØØÑÔ× Ø x 0 ×Ø ÓÒÒ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐÐ
´´´µ ×ÓÓØ E
p < 0 Ø ÓÒÒ ω 1 > 0 x 1 (t) ÖÓÓØ ÓÑÑÑ
e
ω1t
Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× Ø ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ x 0 ×Ø ÓÒÒ Ò×ØØØÐк
ÄÄ× ÖÖ×ÙÐØØØ× ¹¹¹××Ù׸ ××Ù× Ð³³ÒÒÐÝ×× ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑѸ ÓÖÖÓ¹
ÓÖÖÒØ Ò×× ÔÔÖÖÖÖØØÑÑÒØ ÐÐ× ÖÖ×ÙÐØØØ× ÓÒÒÒ× ×ÙÖ Ð³³ÒÒÐÝ×× ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ ÐÐ
ÓÒÒÒÚÚØØ E p ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ¾º½º½µº Ò×׸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ³ÙÒ ÔÖÓÓ¹
ÐÐÑÑ Ò ØØÖÑÑ× ³ÙÒÒ ÒÒÖÖÖÖ ×Ø ÙÒ ÖÖÖÓÙÖ× Ð³³ÒÒÐÝ×× ×ØØØØÐÐØØ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÝÒÒÑÑÕÙ٠׳³ÑÔÓ×׺
¾º¿º¾ ÊÊÐÐÒØØ×××ÑÑÒØ ÖÖØØÕÙÙ
ij³ÚÓÐÙØØÓÒ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÔÔÐÐÕÙÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÖÖ××ÓÖØ ØÙÙÙÙ Ò× ÔÔØÖÖ Ò ÖÒÒÒÖÖ Ò×ØØÒÒÒ ÐÐ
×××ÓÒÒÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º½¿µ Ò x 0 Ò ÖÖÚÒØ Ø Ù Ü
ÓÓ× ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ x г³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ÜÔÖÖÑÑÑ Ò ÓÒÒØØÓÒ ÐÐ ×ØØÒÒÒ
Ù ××ÙÙÐ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
E
p =
k
2
−2 + 3
x
2
0
l 2
c
´¾º½½µ
×ÓÓظ ÔÓÙÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ Ò x 0 = 0
E
p = −kk.
´¾º½½µ
Ò ÖÖÔÓÖØØÒØ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ¹¹¹××Ù× ÐÐ ×××ÓÒÒÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒ¹
ØØØÐÐÐ Ò x 0 = 0 Ò× ÐÐ× ÖÖÙÑÑÒØ× w1 2 ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º½¿µ × ØØÖÑÑ× ÜÔÓÒÒÒØØØÐ×
ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ x 1 (t)¸ ¸Ø Ò ×× ÔÐÐÐÐÒØ ØÓÙÙÓÙÖ× Ò× × ÓÒÒÒØØÓÒ× ÖÓØØع
ÑÑÒØ Ø Ó Ö Ø ´ μ
2
+ 4mkk > 0µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× w1 2 = μ/2m
−1 ±
1 + 4mkk/μ 2
º
Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÖØØÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ´ → 0µ¸ ÒÓÙ×
ÔÓÙÚÓÒ× ØÙÙÖ ÙÒ ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ Ì Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖ Ò ÔÓÙÖ
ÓÓØØÒÒÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ×ÙÙÚÒØØ × ÖÖÙÑÑÒØ× w1 2
ω 1
k
μ
Ø ω 2 −
μ
m
.
´¾º½½µ
ij³ÖÖÙÑÑÒØ ω 2 ×Ø ÙÒÒ ÓÒ×ØØÒØØ ÒÒÒÒØØÚÚ¸ ÒÒÒÕÙÙÒØ ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ e
ω2t
ÖÓÓØ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ÐÐ ØØÑÔ× ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ÐÐ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÓÓ a Ø b ×ÓÒØ × ³³ÒØØØÖÖØØÓÒº
ij³ÚÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ x 1 (t) Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× Ò×× Ù ×××ÒÒ
г³ÖÖÙÑÑÒØ ω1 2 × ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ׺ ÇÖ¸ ÐÐ ×××ÒÒ Ð³³ÖÖÙÑÑÒØ ω 2 ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ×
ÒÒÒÒØØØ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ¾º½¿µ¸ ¸¸ ÕÙÙ ÓÒÒÒ ÐÐÐÙ ÙÒÒ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ
ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ Ò x 0 Ò×× ÜÜÐÙ××ÚÑÑÒØ Ø Ð Ú ÐÐÙÖ
г³ÖÖÙÑÑÒØ ω 1 Ø ÓÒÒ¸ ¸Ò ÖÒÒÒÖÖ Ò×ØØÒÒÒ¸ ¸Ù ×××ÒÒ ÐÐ ÖÖÚ ×××ÓÒÒÒ
г³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ E
p Ò x 0 ´´ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ ÐÐ ÓÙÖÖÙÖÖ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ
ÔÓØØÒØØØÐÐÐ Ò x 0 µº ÙÜ ×ÓÒØ ÐÓÖ× ÓÒ××××ÖÖÖ
´´µ ×ÓÓØ E
p > 0 Ø ÓÒÒ ω 1 < 0 x 1 (t) ÖÓÓØ Ù ÓÙÖ×
Ù ØØÑÔ× Ø x 0 ×Ø ÓÒÒ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐÐ
´´´µ ×ÓÓØ E
p < 0 Ø ÓÒÒ ω 1 > 0 x 1 (t) ÖÓÓØ ÓÑÑÑ
e
ω1t
Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× Ø ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ x 0 ×Ø ÓÒÒ Ò×ØØØÐк
ÄÄ× ÖÖ×ÙÐØØØ× ¹¹¹××Ù׸ ××Ù× Ð³³ÒÒÐÝ×× ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑѸ ÓÖÖÓ¹
ÓÖÖÒØ Ò×× ÔÔÖÖÖÖØØÑÑÒØ ÐÐ× ÖÖ×ÙÐØØØ× ÓÒÒÒ× ×ÙÖ Ð³³ÒÒÐÝ×× ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ ÐÐ
ÓÒÒÒÚÚØØ E p ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ¾º½º½µº Ò×׸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ³ÙÒ ÔÖÓÓ¹
ÐÐÑÑ Ò ØØÖÑÑ× ³ÙÒÒ ÒÒÖÖÖÖ ×Ø ÙÒ ÖÖÖÓÙÖ× Ð³³ÒÒÐÝ×× ×ØØØØÐÐØØ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÝÒÒÑÑÕÙ٠׳³ÑÔÓ×׺
¾º¿º¾ ÊÊÐÐÒØØ×××ÑÑÒØ ÖÖØØÕÙÙ
ij³ÚÓÐÙØØÓÒ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÔÔÐÐÕÙÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÖÖ××ÓÖØ ØÙÙÙÙ Ò× ÔÔØÖÖ Ò ÖÒÒÒÖÖ Ò×ØØÒÒÒ ÐÐ
×××ÓÒÒÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º½¿µ Ò x 0 Ò ÖÖÚÒØ Ø Ù Ü
ÓÓ× ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ x г³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ÜÔÖÖÑÑÑ Ò ÓÒÒØØÓÒ ÐÐ ×ØØÒÒÒ
Ù ××ÙÙÐ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
E
p =
k
2
−2 + 3
x
2
0
l 2
c
´¾º½½µ
×ÓÓظ ÔÓÙÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ Ò x 0 = 0
E
p = −kk.
´¾º½½µ
Ò ÖÖÔÓÖØØÒØ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ¹¹¹××Ù× ÐÐ ×××ÓÒÒÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒ¹
ØØØÐÐÐ Ò x 0 = 0 Ò× ÐÐ× ÖÖÙÑÑÒØ× w1 2 ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º½¿µ × ØØÖÑÑ× ÜÔÓÒÒÒØØØÐ×
ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ x 1 (t)¸ ¸Ø Ò ×× ÔÐÐÐÐÒØ ØÓÙÙÓÙÖ× Ò× × ÓÒÒÒØØÓÒ× ÖÓØØع
ÑÑÒØ Ø Ó Ö Ø ´ μ
2
+ 4mkk > 0µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× w1 2 = μ/2m
−1 ±
1 + 4mkk/μ 2
º
Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÖØØÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ´ → 0µ¸ ÒÓÙ×
ÔÓÙÚÓÒ× ØÙÙÖ ÙÒ ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ Ì Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖ Ò ÔÓÙÖ
ÓÓØØÒÒÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ×ÙÙÚÒØØ × ÖÖÙÑÑÒØ× w1 2
ω 1
k
μ
Ø ω 2 −
μ
m
.
´¾º½½µ
ij³ÖÖÙÑÑÒØ ω 2 ×Ø ÙÒÒ ÓÒ×ØØÒØØ ÒÒÒÒØØÚÚ¸ ÒÒÒÕÙÙÒØ ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ e
ω2t
ÖÓÓØ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ÐÐ ØØÑÔ× ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ÐÐ