¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÖÖÖÖÖÖ Ð³³ÐÐÐÒÒÑÑÒØ ÓÖÖÓÒÒÒ × ÑÓÑÑÒØ× ÑÑÑÒÒØØÕÙÙ׺ ÄÄ ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÒØÖÖ
ÐÐ ÔÔÔ×× ÙØØ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ´ÔÔÔ×× ×ÓÖÖÓÒÒÒÒµ Ø ÐÐ ÔÔÔ×× ××× ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ
´ÔÔÔ×× ÓÖÖÓÒÒÒÒµ ׳³³³³ØÙÙ ÙÒÒ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ÖÖØØÕÙÙ T = T c º È ÓÙÖ T < T c ´´Ø
T ×××Þ ÔÖÓÓ T c µ¸ г³³ÑÑÒØØØØÓÒ M ∼ ±
√
T c − T º º Ò × ¸ Ð Ú ÖÖÖÖÐÐ x Ò×
ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÓÙÙ ÐÐ ÖÖÐÐ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ³ÓÖÖÖÖ M º ÄÄ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø
г³ÒÒÐÓÓÙÙ T − T c º ij³ÒÒÖÖÖÖ ÄÄÒÒÒÙ ÐÐ ØÖÖÒ××ØØÓÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ
ÔÔÖ E ∼ M
2
+ M
4
º
¾º¿ ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ× ÝÒÒÑÑÕÙÙ×
ÂÙ×ÕÙ³³ ÔÖÖ××ÒØ Ò Ó Ù × Ò ³ ÚÓÒ× ÓÒ××××ÖÖ ÕÙÙ ÐÐ× ØØØ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× × ×Ý×¹
ØØÑÑ× ÝÒÒÑÑÕÙÙ׺ ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× Ò× ÐÐ ØØÑÔ× Ø¸ ÑÑÑÑ
×× ÙÒ ØØØ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ÒÒÐ ×Ø Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÚÚÖ× Ø ØØØ ÖÖÕÙÙ× ÙÒ
ÖØØØÒ ØØÑÔ× ÕÙÙ ÔÔÒÒ × ÖÖÒØ× ÑÑÑÑÒÒ×ÑÑ× ÑÑ× Ò Ù ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ
ÐÐ ÖÖÖØØÓÒ Ò ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸ ÐÐ ÚÚ××Ó××ØØ Ò Øغµº Ò ÓÙØÖÖ¸ Ù¹
ÐÐ Ù ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ¸ ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÔÖÖ××ÒØØÒØ Ô Ö ¹
ÓÓ× × Ó×××ÐÐÐØØÓÒ× ÔÔÖÑÑÒÒÒØØ× ÔÐÙ× ÓÙ ÑÓÓÒ× ÓÑÔÐÐÜÜ׸ ÑÑÑÑ
ÚÚÒØÙÙÐÐÐÑÑÒØ ×ÙÖ ×
ÄÄ ××ÑÔÐÐÐÐØØ Ù ×Ý×ØØÑÑ ØÙÙÙÙ Ò× ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑØ
ÐÐ× ÒÓØØÓÒ× Ð³³×ÔÔÔØ ØØÑÔÓÖÖÐ × ×Ý×ØØÑÑ× ÝÒÒÑÑÕÙÙ× Ø
ÓÒÒ ÐÐÙÖ ÚÓÐÙØØÓÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙº
ij³ÕÙÙØØÓÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÖÖ××ÓÖØ ØÙÙÙÙÙ Ò× ÔÔØÖÖ ×Ø
ÓÓØØÒÙÙ ÔÔÖØØÖ ÐÐ ÐÓÓ ÆÆÛØÓÒ
m¨ x + μ ˙
x +
∂E p (x)
∂x
= 0 ,
´¾ººµ
ÓÓ m Ø μ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒØ ÐÐ ÑÑ××× ×Ù×ÔÔÒÒÙÙ Ù ÖÖ××ÓÖØ Ø ÐÐ
ÖÓØØØÑÑÒØ Ù ÑÓÙÚ ÓÙÐÐ××××× ÐÐ ÑÑ××× ÐÐ ÐÓÒÒ
ÐÐ ØØØØ ÄÄ ÖÒÒÒÖ ØØÖÑÑ
∂Ep(x)
∂x
г³ÕÙÙØØÓÒ ¹¹¹××Ù× ´´ÕÙÙØØÓÒ
¾ººµ Ò³³×Ø ÙØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÓÖÖÖ F ÕÙÙ ÖÖÚ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÒÒÒÖÑÓÒÒÕÙÙ E p (x)¸
F = −∂E p (x)/∂xº ÄÄ× ØØØ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× ÕÙÙ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ØÙÙÙÙ× ×ÓÒØ ÔÐÙ×
ÔÔÔÐÐ× × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙº × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ÓÒØ
ÓÓØØÒÙ× ÔÔÖØØÖ × ÕÙÙØØÓÒ× ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ Ò ÔÓ××ÒØ ˙
x = 0¸
¨
x = 0¸ ÕÙÙ ÑÔÐÐÕÙÙ ÕÙÙ ∂E p /∂x = 0º
ü ÔÔÖØØÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐРгÓÖÖÖÖ Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ¸ ÓÒ ÓÓØØØÒØ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ÙÙÚÒØ×
x 0 = 0 x 0 = ± 0
√
2
´¾ººµ
ÖÖ×ÙÐØØØ ×Ø ××Ù ÐÐ ØØØÓÖÖÖ ÄÄÒÒÒÙº ÄÄ ØØØÓÖÖÖ ÄÄÒÒÒÙ ÖÖ×ÙÐØØ ³ÙÒÒ
ÑÑØØÓÒ ØØ ÑÓÝÒ¸ ÓÓ ÕÙÙ ÑÑÒØ ×Ø ×ÙÔÔÓ×× ÒÒ ÚÓÓÖ ÕÙÙ ÐÐ ÑÓÝÝÒÒÒ ×
ÙØÖÖ× ØØØ ÒÒÒÐÐÐÐ Ò×× ÐÐ× ÓÖÖÖÐÐØØÓÒ× ÐÐ× ÙÙØÙÙØØÓÒ×
× ÑÑÒØ׸ ÕÙÙ ×Ø Ù×ØØØØ Ò× ÙÒ ÖØØØÒ ÒÓÑÖÖ ×Ý×ØØÑÑ׸ ÑÑÑ× ÚÚÚÒØ Ø Ò ÚÚÐÐÐÐ
Ò× ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× ÓÓ ÐÐ× ÓÖÖÖÐÐØØÓÒ× ×ÓÒØ ÔÖÖÔÓÒÒÒÖÖÒØØ׺
ÄÄ ÓÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ´ÔÓÐÝÒÒÑÑ ÓÑÓÓÓÒÒ ÖÖ ¾µ г³ÒÒÖÖÖÖ ×Ø ×ÓÙÚÒØ ÔÔÔÐÐÐ
ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ ÖÑÓÒÒÕÙÙº Ò× ÒÓØÖÖ ×¸ Ep(x) Ò³³×Ø ÔÔ× ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ Ò x¸ Ò×× ÔÓØØÒØØØÐ
×Ø Ø ÒÒÒÖÑÓÒÒÕÙÙº
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÖÖÖÖÖÖ Ð³³ÐÐÐÒÒÑÑÒØ ÓÖÖÓÒÒÒ × ÑÓÑÑÒØ× ÑÑÑÒÒØØÕÙÙ׺ ÄÄ ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÒØÖÖ
ÐÐ ÔÔÔ×× ÙØØ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ´ÔÔÔ×× ×ÓÖÖÓÒÒÒÒµ Ø ÐÐ ÔÔÔ×× ××× ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ
´ÔÔÔ×× ÓÖÖÓÒÒÒÒµ ׳³³³³ØÙÙ ÙÒÒ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ÖÖØØÕÙÙ T = T c º È ÓÙÖ T < T c ´´Ø
T ×××Þ ÔÖÓÓ T c µ¸ г³³ÑÑÒØØØØÓÒ M ∼ ±
√
T c − T º º Ò × ¸ Ð Ú ÖÖÖÖÐÐ x Ò×
ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÓÙÙ ÐÐ ÖÖÐÐ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ³ÓÖÖÖÖ M º ÄÄ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø
г³ÒÒÐÓÓÙÙ T − T c º ij³ÒÒÖÖÖÖ ÄÄÒÒÒÙ ÐÐ ØÖÖÒ××ØØÓÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ
ÔÔÖ E ∼ M
2
+ M
4
º
¾º¿ ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ× ÝÒÒÑÑÕÙÙ×
ÂÙ×ÕÙ³³ ÔÖÖ××ÒØ Ò Ó Ù × Ò ³ ÚÓÒ× ÓÒ××××ÖÖ ÕÙÙ ÐÐ× ØØØ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× × ×Ý×¹
ØØÑÑ× ÝÒÒÑÑÕÙÙ׺ ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× Ò× ÐÐ ØØÑÔ× Ø¸ ÑÑÑÑ
×× ÙÒ ØØØ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ÒÒÐ ×Ø Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÚÚÖ× Ø ØØØ ÖÖÕÙÙ× ÙÒ
ÖØØØÒ ØØÑÔ× ÕÙÙ ÔÔÒÒ × ÖÖÒØ× ÑÑÑÑÒÒ×ÑÑ× ÑÑ× Ò Ù ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ
ÐÐ ÖÖÖØØÓÒ Ò ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸ ÐÐ ÚÚ××Ó××ØØ Ò Øغµº Ò ÓÙØÖÖ¸ Ù¹
ÐÐ Ù ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ¸ ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÔÖÖ××ÒØØÒØ Ô Ö ¹
ÓÓ× × Ó×××ÐÐÐØØÓÒ× ÔÔÖÑÑÒÒÒØØ× ÔÐÙ× ÓÙ ÑÓÓÒ× ÓÑÔÐÐÜÜ׸ ÑÑÑÑ
ÚÚÒØÙÙÐÐÐÑÑÒØ ×ÙÖ ×
ÄÄ ××ÑÔÐÐÐÐØØ Ù ×Ý×ØØÑÑ ØÙÙÙÙ Ò× ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑØ
ÐÐ× ÒÓØØÓÒ× Ð³³×ÔÔÔØ ØØÑÔÓÖÖÐ × ×Ý×ØØÑÑ× ÝÒÒÑÑÕÙÙ× Ø
ÓÒÒ ÐÐÙÖ ÚÓÐÙØØÓÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙº
ij³ÕÙÙØØÓÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÖÖ××ÓÖØ ØÙÙÙÙÙ Ò× ÔÔØÖÖ ×Ø
ÓÓØØÒÙÙ ÔÔÖØØÖ ÐÐ ÐÓÓ ÆÆÛØÓÒ
m¨ x + μ ˙
x +
∂E p (x)
∂x
= 0 ,
´¾ººµ
ÓÓ m Ø μ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒØ ÐÐ ÑÑ××× ×Ù×ÔÔÒÒÙÙ Ù ÖÖ××ÓÖØ Ø ÐÐ
ÖÓØØØÑÑÒØ Ù ÑÓÙÚ ÓÙÐÐ××××× ÐÐ ÑÑ××× ÐÐ ÐÓÒÒ
ÐÐ ØØØØ ÄÄ ÖÒÒÒÖ ØØÖÑÑ
∂Ep(x)
∂x
г³ÕÙÙØØÓÒ ¹¹¹××Ù× ´´ÕÙÙØØÓÒ
¾ººµ Ò³³×Ø ÙØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÓÖÖÖ F ÕÙÙ ÖÖÚ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÒÒÒÖÑÓÒÒÕÙÙ E p (x)¸
F = −∂E p (x)/∂xº ÄÄ× ØØØ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× ÕÙÙ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ØÙÙÙÙ× ×ÓÒØ ÔÐÙ×
ÔÔÔÐÐ× × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙº × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ÓÒØ
ÓÓØØÒÙ× ÔÔÖØØÖ × ÕÙÙØØÓÒ× ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ Ò ÔÓ××ÒØ ˙
x = 0¸
¨
x = 0¸ ÕÙÙ ÑÔÐÐÕÙÙ ÕÙÙ ∂E p /∂x = 0º
ü ÔÔÖØØÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐРгÓÖÖÖÖ Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ¸ ÓÒ ÓÓØØØÒØ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ÙÙÚÒØ×
x 0 = 0 x 0 = ± 0
√
2
´¾ººµ
ÖÖ×ÙÐØØØ ×Ø ××Ù ÐÐ ØØØÓÖÖÖ ÄÄÒÒÒÙº ÄÄ ØØØÓÖÖÖ ÄÄÒÒÒÙ ÖÖ×ÙÐØØ ³ÙÒÒ
ÑÑØØÓÒ ØØ ÑÓÝÒ¸ ÓÓ ÕÙÙ ÑÑÒØ ×Ø ×ÙÔÔÓ×× ÒÒ ÚÓÓÖ ÕÙÙ ÐÐ ÑÓÝÝÒÒÒ ×
ÙØÖÖ× ØØØ ÒÒÒÐÐÐÐ Ò×× ÐÐ× ÓÖÖÖÐÐØØÓÒ× ÐÐ× ÙÙØÙÙØØÓÒ×
× ÑÑÒØ׸ ÕÙÙ ×Ø Ù×ØØØØ Ò× ÙÒ ÖØØØÒ ÒÓÑÖÖ ×Ý×ØØÑÑ׸ ÑÑÑ× ÚÚÚÒØ Ø Ò ÚÚÐÐÐÐ
Ò× ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× ÓÓ ÐÐ× ÓÖÖÖÐÐØØÓÒ× ×ÓÒØ ÔÖÖÔÓÒÒÒÖÖÒØØ׺
ÄÄ ÓÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ´ÔÓÐÝÒÒÑÑ ÓÑÓÓÓÒÒ ÖÖ ¾µ г³ÒÒÖÖÖÖ ×Ø ×ÓÙÚÒØ ÔÔÔÐÐÐ
ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ ÖÑÓÒÒÕÙÙº Ò× ÒÓØÖÖ ×¸ Ep(x) Ò³³×Ø ÔÔ× ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ Ò x¸ Ò×× ÔÓØØÒØØØÐ
×Ø Ø ÒÒÒÖÑÓÒÒÕÙÙº