¾º ÁÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ ÙÜ ÙÖÖÖØØÓÒ× ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ
¾½
ØØÒØ ÓÒÒÒ ÕÙÙ x
2
×Ø ÑÙÐØØÔÐÐÐ ÔÔÖ ¸ ÐÐ ØØÖÑÑ Ò x
4
¸ ÕÙÙ ×Ø ÔÖÖÓÖÖ
ÔÐÙ× ÐÐ ×× x ×Ø ÔÔØØظ ÚÚÚÒØ Ù ÑÑÑÑ ÓÖÖÖÖ ÖÖÒÒÒÙÖ ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ
ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙº Ò Ø¸ ³³ÔÖÖ× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× ÐÓÖ×ÕÙÙ
ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖ××ÓÖØ ÐÐ ÚÚÖØØØØÐÐ ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖÔÓ× Ù
ÖÖ××ÓÖØ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ¸ ÓÒ ÓÓØØØÒØ Õ Ù x 0 ∼
√
Ò×׸ ÐÐ× ÙÜ ØØÖÑÑ× ÖÖØØÒÙ×
Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ¹¹¹××Ù× ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ ×ÓÒØ ØÓÙ× ÙÜ
Ù ÑÑÑÑ ÓÖÖÖÖ
2
º
ij³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÑÑ×ÙÖÖÒØ Ð
×ØØÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ ÓÒ×ØØØÙÙ ÙÒÒ ÓÖÑÑ ÒÒÖÖÕÙÙ
ØÓÙØ ×Ý×ØØÑÑ Ù ×××Ò ÙÕÙÙÐ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ÔÔÖÖ ×× ×ØØØØÐÐØØ Ù ÔÖÓÓØ
³ÙÒÒ ÙØÖÖ ×ÓÐÙØØÓÒ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖº ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ³³ÙØÖÖ× ÓÖÑÑ× ÒÒÖÖÕÙÙ× ¹
ÙÖÖÖØØÓÒ× ÚÓÒØ Ø Ø Ö Ò ØÖÓÓÙÙØØ× Ù ÙÖ Ø ÑÑ×ÙÖÖº ÇÒ ÔÔÖÐÐÖÖ ÔÐÙ× ÒÒÖÖÐй
ÑÑÒØ Ø ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ Ù ÐÐÐÙ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ¸ ÔÓÙÖ ÑÑØØÖÖ Ð³³³³³ÒØ ×ÙÖ ÐÐ Ø
ÕÙÙ ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× ØÝÔÔ ÒÒ ×ÓÒØ ÔÔ× ØÓÙ× ÖÖØ× ÔÔÖ ÙÒÒ ÒÒÖÖÖÖ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙº
Ò×׸ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ x¸ ÕÙÙ ×××ÒÒ ÙÒÒ ÔÓ××ØØÓÒ Ò ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸ ÔÔÙØ ÖÖÔÖÖ××Ò¹
ØØÖ ³³ÙØÖÖ× ÕÙÙÒØØØØ× ÔÔÝ××ÕÙÙ× Ò× ³³ÙØÖÖ× ×Ý×ØØÑÑ׺ Ò× ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ×
ÖÖÖÖØØÓÒ¹¹¹¹Ù××ÓÒ ÑÑÕÙÙ׸ x ×× ÖÖÖÖÖÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ³ÙÒÒ ³ÙÒÒ
ÓÙ Ò× ³³ÙØÖÖ× ×Ý×ØØÑÑ׸ x ×Ø ÐÐ ÚÚØØ××× ³ÙÒ ÙÙÙÙ Ò ÓÒ¹
ÚÚÚØØÓÒ¸ Øغ ÄÄ ×Ý×ØØÑÑ ÐÐ× ÑÑÑÑÒÒ×ÑÑ× ÔÔÝ××ÕÙÙ× ÐÐÑÑÒظ ÑÑÑ× ÐÐ
ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ¸
ÒÓÑÑÑÑ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ¾º¿ººµ¸ ÖÖ×ØØ ÒØØÕÙÙ ³³×Ø
ØØØ ÒÒÖÖÖÖØØ × ÕÙÙØØÓÒ× ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÕÙÙ ÒÒØ Ð³ÙÒÒÚÚÖ××ÐÐØØ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ
× ÔÓÓÒØ× ÙÖÖÖØØÓÒº
¾º¾ ÒÒÐÓÓÓÓ ÒØÖÖ ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ
Ø ÙÒÒ ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÔÔÔ×× Ù ÙÜÜÜÑÑ ÓÖÖÖÖ
ij³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
´´´×ØØÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ ÙÖÖÖØØÓÒµ ×Ø Ò Ø ××ÑÑÐÐÐÖÖ ÙÒÒ ÒÒÖÖÖÖ ÐÐÐÖÖ ØÝÔÔ
ÄÄÒÒÒÙ ÙÒÒ ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÔÔÔ×× Ù ×××ÓÒÒ ÓÖÖÖÖº ÄÄ ØÖÖÒ××ØØÓÒ Ö¹
ÖÓÑÑÑÒÒØØÕÙÙ ×Ø ÙÒ ÜÜÑÔÐÐ ÐÐ×××ÕÙÙ ³ÙÒÒ ØÖÖÒ××ØØÓÒ ×××ÓÒÒ ÓÖÖÖÖº
ÒÓÑÑÖÖÙÜ ÓÖÔ× ×ÓÐÐÐÐ× ×ÓÒØ ÔÓØØÒØØØÐÐÐÑÑÒØ ÑÑÑÒÒØØÕÙÙ× Ð× ÔÓ×××××ÒØ Ò
ÒÒÖÖÐ ÙÒÒ ÒÙÐÐÐ ÙØØ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ¸ ÑÑÑ× ÐÐй¹¹ ÕÙÙÙÖØ ÙÒÒ
ÚÐÐÙÖ ÒÒÒ Ò ××ÓÙ× ³ÙÒÒ ÖØØØÒÒ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖº × ÓÖÔ× ÓÒØ ÐÐ ÔÖÓÔÖÖÖØØ
³³ÚÓÓÖ Ò ÐÐÙÖ ×××Ò ÔÔØØØ× ´ÓÙ ÑÓÑÑÒØ× ÑÑÑÒÒØØÕÙÙ×µ ÔÓÖØØ× ÔÔÖ
ÐÐ× ØÓÑÑ׺ ü ÙØØ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ¸ г³³³ØØØØÓÒ ØØØÖÑÑÕÙÙ ÒÒÙÙØ ÙÒ ×ÓÖÖÖÖ ×
ÑÓÑÑÒØ× ÑÑÑÒÒØØÕÙÙ׸ ÕÙÙ ÖÖ×ÙÐØØ Ò ÙÒÒ ÐÓÓÓÐÐ ÒÙÐÐк ü ×××
ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ¸ г³ÒØØÖÖÖØØÓÒ ÒØÖÖ × ÔÔØØØ× ÓÖØØ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ×
г³³³ØØØØÓÒ ØØØÖÑÑÕÙÙº ÄÄ× ÑÑÒØ× ×³³ÐÐÐÒÒÒØ ÐÓÖ× Ò× ÙÒÒ ÑÑÑÑ ÖÖÖØØÓÒ¸
ÕÙÙ ÓÒÒÒÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÙÒÒ ÑÑÒØØØØÓÒ ÑÑÑÖÓ××ÓÔÔÕÙÙº ÁР׳³³³Ø
³ÙÒÒ ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÔÔÔ×× ÔÔÔÐÐÐ ÖÖÓÑÑÑÒÒØØÕÙÙ º ij³³ÑÑÒØØØØÓÒ M ¸ ÐÐ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ³ÓÖÖÖÖÖ ÐÐ ØÖÖÒ××ØØÓÒ¸ ×Ø ÒÙÐÐÐ ÙØØ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ´M = 0µ
Ø ÒÓÒ ÒÙÐÐÐ ××× ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ´M = 0µº ÄÄ ØØÖÑÑ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ³ÓÖÖÖÖ ××
¾½
ØØÒØ ÓÒÒÒ ÕÙÙ x
2
×Ø ÑÙÐØØÔÐÐÐ ÔÔÖ ¸ ÐÐ ØØÖÑÑ Ò x
4
¸ ÕÙÙ ×Ø ÔÖÖÓÖÖ
ÔÐÙ× ÐÐ ×× x ×Ø ÔÔØØظ ÚÚÚÒØ Ù ÑÑÑÑ ÓÖÖÖÖ ÖÖÒÒÒÙÖ ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ
ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙº Ò Ø¸ ³³ÔÖÖ× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× ÐÓÖ×ÕÙÙ
ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖ××ÓÖØ ÐÐ ÚÚÖØØØØÐÐ ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖÔÓ× Ù
ÖÖ××ÓÖØ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ¸ ÓÒ ÓÓØØØÒØ Õ Ù x 0 ∼
√
Ò×׸ ÐÐ× ÙÜ ØØÖÑÑ× ÖÖØØÒÙ×
Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ¹¹¹××Ù× ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ ×ÓÒØ ØÓÙ× ÙÜ
Ù ÑÑÑÑ ÓÖÖÖÖ
2
º
ij³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÑÑ×ÙÖÖÒØ Ð
×ØØÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ ÓÒ×ØØØÙÙ ÙÒÒ ÓÖÑÑ ÒÒÖÖÕÙÙ
ØÓÙØ ×Ý×ØØÑÑ Ù ×××Ò ÙÕÙÙÐ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ÔÔÖÖ ×× ×ØØØØÐÐØØ Ù ÔÖÓÓØ
³ÙÒÒ ÙØÖÖ ×ÓÐÙØØÓÒ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖº ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ³³ÙØÖÖ× ÓÖÑÑ× ÒÒÖÖÕÙÙ× ¹
ÙÖÖÖØØÓÒ× ÚÓÒØ Ø Ø Ö Ò ØÖÓÓÙÙØØ× Ù ÙÖ Ø ÑÑ×ÙÖÖº ÇÒ ÔÔÖÐÐÖÖ ÔÐÙ× ÒÒÖÖÐй
ÑÑÒØ Ø ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ Ù ÐÐÐÙ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ¸ ÔÓÙÖ ÑÑØØÖÖ Ð³³³³³ÒØ ×ÙÖ ÐÐ Ø
ÕÙÙ ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× ØÝÔÔ ÒÒ ×ÓÒØ ÔÔ× ØÓÙ× ÖÖØ× ÔÔÖ ÙÒÒ ÒÒÖÖÖÖ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙº
Ò×׸ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ x¸ ÕÙÙ ×××ÒÒ ÙÒÒ ÔÓ××ØØÓÒ Ò ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸ ÔÔÙØ ÖÖÔÖÖ××Ò¹
ØØÖ ³³ÙØÖÖ× ÕÙÙÒØØØØ× ÔÔÝ××ÕÙÙ× Ò× ³³ÙØÖÖ× ×Ý×ØØÑÑ׺ Ò× ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ×
ÖÖÖÖØØÓÒ¹¹¹¹Ù××ÓÒ ÑÑÕÙÙ׸ x ×× ÖÖÖÖÖÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ³ÙÒÒ ³ÙÒÒ
ÓÙ Ò× ³³ÙØÖÖ× ×Ý×ØØÑÑ׸ x ×Ø ÐÐ ÚÚØØ××× ³ÙÒ ÙÙÙÙ Ò ÓÒ¹
ÚÚÚØØÓÒ¸ Øغ ÄÄ ×Ý×ØØÑÑ ÐÐ× ÑÑÑÑÒÒ×ÑÑ× ÔÔÝ××ÕÙÙ× ÐÐÑÑÒظ ÑÑÑ× ÐÐ
ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ¸
ÒÓÑÑÑÑ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ¾º¿ººµ¸ ÖÖ×ØØ ÒØØÕÙÙ ³³×Ø
ØØØ ÒÒÖÖÖÖØØ × ÕÙÙØØÓÒ× ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÕÙÙ ÒÒØ Ð³ÙÒÒÚÚÖ××ÐÐØØ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ
× ÔÓÓÒØ× ÙÖÖÖØØÓÒº
¾º¾ ÒÒÐÓÓÓÓ ÒØÖÖ ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ
Ø ÙÒÒ ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÔÔÔ×× Ù ÙÜÜÜÑÑ ÓÖÖÖÖ
ij³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
´´´×ØØÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ ÙÖÖÖØØÓÒµ ×Ø Ò Ø ××ÑÑÐÐÐÖÖ ÙÒÒ ÒÒÖÖÖÖ ÐÐÐÖÖ ØÝÔÔ
ÄÄÒÒÒÙ ÙÒÒ ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÔÔÔ×× Ù ×××ÓÒÒ ÓÖÖÖÖº ÄÄ ØÖÖÒ××ØØÓÒ Ö¹
ÖÓÑÑÑÒÒØØÕÙÙ ×Ø ÙÒ ÜÜÑÔÐÐ ÐÐ×××ÕÙÙ ³ÙÒÒ ØÖÖÒ××ØØÓÒ ×××ÓÒÒ ÓÖÖÖÖº
ÒÓÑÑÖÖÙÜ ÓÖÔ× ×ÓÐÐÐÐ× ×ÓÒØ ÔÓØØÒØØØÐÐÐÑÑÒØ ÑÑÑÒÒØØÕÙÙ× Ð× ÔÓ×××××ÒØ Ò
ÒÒÖÖÐ ÙÒÒ ÒÙÐÐÐ ÙØØ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ¸ ÑÑÑ× ÐÐй¹¹ ÕÙÙÙÖØ ÙÒÒ
ÚÐÐÙÖ ÒÒÒ Ò ××ÓÙ× ³ÙÒÒ ÖØØØÒÒ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖº × ÓÖÔ× ÓÒØ ÐÐ ÔÖÓÔÖÖÖØØ
³³ÚÓÓÖ Ò ÐÐÙÖ ×××Ò ÔÔØØØ× ´ÓÙ ÑÓÑÑÒØ× ÑÑÑÒÒØØÕÙÙ×µ ÔÓÖØØ× ÔÔÖ
ÐÐ× ØÓÑÑ׺ ü ÙØØ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ¸ г³³³ØØØØÓÒ ØØØÖÑÑÕÙÙ ÒÒÙÙØ ÙÒ ×ÓÖÖÖÖ ×
ÑÓÑÑÒØ× ÑÑÑÒÒØØÕÙÙ׸ ÕÙÙ ÖÖ×ÙÐØØ Ò ÙÒÒ ÐÓÓÓÐÐ ÒÙÐÐк ü ×××
ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ¸ г³ÒØØÖÖÖØØÓÒ ÒØÖÖ × ÔÔØØØ× ÓÖØØ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ×
г³³³ØØØØÓÒ ØØØÖÑÑÕÙÙº ÄÄ× ÑÑÒØ× ×³³ÐÐÐÒÒÒØ ÐÓÖ× Ò× ÙÒÒ ÑÑÑÑ ÖÖÖØØÓÒ¸
ÕÙÙ ÓÒÒÒÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÙÒÒ ÑÑÒØØØØÓÒ ÑÑÑÖÓ××ÓÔÔÕÙÙº ÁР׳³³³Ø
³ÙÒÒ ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÔÔÔ×× ÔÔÔÐÐÐ ÖÖÓÑÑÑÒÒØØÕÙÙ º ij³³ÑÑÒØØØØÓÒ M ¸ ÐÐ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ³ÓÖÖÖÖÖ ÐÐ ØÖÖÒ××ØØÓÒ¸ ×Ø ÒÙÐÐÐ ÙØØ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ´M = 0µ
Ø ÒÓÒ ÒÙÐÐÐ ××× ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ´M = 0µº ÄÄ ØØÖÑÑ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ³ÓÖÖÖÖ ××