¾º ÁÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ ÙÜ ÙÖÖÖØØÓÒ× ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ
½½
¾º½º¿ ÒÒÐÝ×× ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ
Ò×׸ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ØÙÙÙÙ Ò× ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¾º½µ ÚÚÚÒØ Ò×ØØØÐÐ
Ò x = 0 ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ÐÐ× ÙÜ ÜØÖÖÑÑØØ× Ù ÖÖ××ÓÖØ ÐÐ
ÚÚÖØØØØÐÐ c ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖÔÓ× Ù ÖÖ××ÓÖØ c < < 0 º ØØÖÑÑÒÓÒ×
ÐÐ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ¿ ººº c 0 º
ÍÒÒ ÓÓ× ÐÐ ××ÙÙÐ c = 0 ÐÐ ÑÑ××× ×³³³³ÖØØ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ ÚÚÖØØØØÐÐ x = 0
Ø ÐÐ× Ø× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ³ÓÖÖÖÖ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ Ò x
4
ÒØØÖÚÚÚÒÒÒÒØ Ø ××ÙÖÖÒØ Ù Ò
××ØÙÖÖØØÓÒº
ÄÄ ØØÖÑÑÒÒØØÓÒ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ×³ÓÓØØØÒØ ÔÔÖØØÖ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ
dE p /dx = 0 ÒÒ×××ÒØ ÐÐ× ÜØÖÖÑÑ× Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ Ø ÐÐ ÖÖÖØØÖÖ
ÐÐÙÖ ×ØØØØÐÐØØ Ò ÓÒÒØØÓÒ ÐÐ ÓÖÑÑ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ÐÓÖ×ÕÙÙ ´´µ c > > 0 ¸
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ x = 0 ×Ø ×ØØØÐи Ø ÐÓÖ×ÕÙÙ ´´´µ c < < 0 ¸ x = 0 ×Ø Ò×ØØØÐÐ ´ÚÓÓÖ
ÙÖÖ ¾º¾µº ÄÄ Ú ÐÐÑÑØØ Ò x
4
г³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ
ÓÒÒÙÙØ ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ×ÙÙÚÚÒØØ× ´Ð³³ÒÒÒÒÒ ÞÞÖÓ ¹¹¹××ÓÙ× ×× ÖÖÖÖÖÖ
ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖµ
x 0 = 0
Ø
x 0 = ± 0
2
( 0 − c )
c
.
´¾ººµ
ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ×ÓÐÙØØÓÒ x 0 = 0 ÜÜ×ØØ ØÓÙÙÓÙÖ׸ ØØÒÒÒ× ÕÙ٠г³ÜÜ×ØØÒÒÒ ÐÐ
×××ÓÒÒÒ ×Ø ×ÓÙÑÑ×× ÐÐ ××ØØ××××ØØÓÒ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ c < < 0 º ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ x 0 = 0 ÔÔÖÖ ×× ×ØØØØÐÐØØ ´ c < < 0 µ¸ ÙÒÒ ÒÓÙÚÐÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÙÙÐÐ
x 0 = ± 0
2( 0 − c )// c ÔÖÖÒÒ ÐÐ ÖÖÐÐÐ׺ ÇÒ Ø ÕÙ³³Ð Ý ÙÖÖÖØØÓÒ ÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ x 0 = 0 ÚÖ× ÙÒÒ ÔÔÔÖÖ ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× x 0 =
± 0
2( 0 − c )// c º Ò ØÖÖÖÖÒØ Ð ³ Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ò Ð Ú ÐÐÙÖ x 0 Ò ÓÒÒØØÓÒ ÐÐ
ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖ××ÓÖØ ÐÐ ÚÚÖØØØØÐÐ c ¸ ¸ Ó Ù Ò Ø ÐÐ ÖÖÐÐ ³ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒ¹
ØÖÖÐи ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒ ÖÖÑÑÑ Ø ÙÖÖÖØØÓÒ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¾ººµ ÕÙÙ Ò³³×Ø
ÙØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÔÓÖØÖÖÖØ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× ´´ÕÙÙØØÓÒ ´¾ººµµº ÄÄ
ÖÖ××× ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ¾ºº ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÙÒÒ ÖÖÒÒÒÒ Ò×ØØØÐÐ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ
Ò ØÖÖÖØ ÓÒØØÒÙ ÙÒÒ ×ØØØÐк ØØØ ×Ø Ù×ÙÙÐÐÐ
Ò× ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ÙÖÖÖØØÓÒ׺ ÁÐ ×Ø ÙØØÐÐ ÑÑÒØØÓÒÒÒÖ ÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ
Ò ÕÙÙ×ØØÓÒ¸ ÒÓÑÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ Ò ÖÖÖ×ÓÒ ×× ÓÖÑÑ Ò× ¹
ÖÖÑÑѸ ×Ø ÕÙÙÐÕÙÙÙÓÓ× ÕÙÙÐÐÐÐÐ ×ÙÖ¹¹ÖÖØØÕÙÙ ´ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ
¿º¾µ ÐÐÐ ÔÔÖ ÐÐÐÙÖ× ÐÐ ÑÑÐÐÐ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ× Ù×Ô ÕÙÙ ××ÖÓÒØ
Ú Ò× ÐÐ Ø ÓÙÚÖÖÖÖº
¾º½ºº ÍÒÒÚÖ××ÐÐØØ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ³ÙÒ ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ
Ò× Ð³³ØÙÙÙ × ×Ý×ØØÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ׸ ÐÐ ÖÖÖÖÖ × ÔÓÓÒØ× ÙÖ¹
ØØÓÒ× Ø × ÐÐÑÑØØ× Ò× ÐÐÙÖ ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÓÒ×ØØØÙÙ ×ÓÙÚÒØ Ð
¿ ÅÅÑÑ ×× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ØÙÙÙÙ Ò× ×× ÔÖÖØØ ÒØØØÖÖÑÑÒØ ÙÒ ÐÐÙÐ ÒÒÐݹ
ØØÕÙÙ¸ ÐÐ ÔÐÙÔÔÖØ × ×Ý×ØØÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ý ÁÐ ×Ø ÐÓÖ× ÒÒÒÒ××××ÖÖ ³³³ÓÔØØÖ ×
Ú ÐÐÑÑØØ× ÔÓÙÖ ÒÒÐÝ××Ö ÐÐ ×Ý×ØØÑѺ ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ ×× ÔÐÐÐÐÖ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ
³³Ò×ØØØØÐÐØظ ÓÙØÖÖ ÐÐ Ø ÕÙ³³Ð Ù×ØØØØ ÐÐ× Ú Ì × ÓÒÒØØÓÒ× ÐÐÐÐ× Ù
×Ý×ØØÑѸ ÓÒÒÒÖÖ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÙÒ ÖÖÖØØÖÖ ÙÒÒÚÚÖ××и ÐÐ ÒÒØÙÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ
Ø ÓÒÒ × ÑÑÑÑÒÒ×ÑÑ× ×ÔÔÔÔÔÕÙÙ× ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÖÖ×××Òغ
½½
¾º½º¿ ÒÒÐÝ×× ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ
Ò×׸ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ØÙÙÙÙ Ò× ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¾º½µ ÚÚÚÒØ Ò×ØØØÐÐ
Ò x = 0 ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ÐÐ× ÙÜ ÜØÖÖÑÑØØ× Ù ÖÖ××ÓÖØ ÐÐ
ÚÚÖØØØØÐÐ c ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖÔÓ× Ù ÖÖ××ÓÖØ c < < 0 º ØØÖÑÑÒÓÒ×
ÐÐ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ¿ ººº c 0 º
ÍÒÒ ÓÓ× ÐÐ ××ÙÙÐ c = 0 ÐÐ ÑÑ××× ×³³³³ÖØØ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ ÚÚÖØØØØÐÐ x = 0
Ø ÐÐ× Ø× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ³ÓÖÖÖÖ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ Ò x
4
ÒØØÖÚÚÚÒÒÒÒØ Ø ××ÙÖÖÒØ Ù Ò
××ØÙÖÖØØÓÒº
ÄÄ ØØÖÑÑÒÒØØÓÒ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ×³ÓÓØØØÒØ ÔÔÖØØÖ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ
dE p /dx = 0 ÒÒ×××ÒØ ÐÐ× ÜØÖÖÑÑ× Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ Ø ÐÐ ÖÖÖØØÖÖ
ÐÐÙÖ ×ØØØØÐÐØØ Ò ÓÒÒØØÓÒ ÐÐ ÓÖÑÑ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ÐÓÖ×ÕÙÙ ´´µ c > > 0 ¸
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ x = 0 ×Ø ×ØØØÐи Ø ÐÓÖ×ÕÙÙ ´´´µ c < < 0 ¸ x = 0 ×Ø Ò×ØØØÐÐ ´ÚÓÓÖ
ÙÖÖ ¾º¾µº ÄÄ Ú ÐÐÑÑØØ Ò x
4
г³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ
ÓÒÒÙÙØ ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ×ÙÙÚÚÒØØ× ´Ð³³ÒÒÒÒÒ ÞÞÖÓ ¹¹¹××ÓÙ× ×× ÖÖÖÖÖÖ
ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖµ
x 0 = 0
Ø
x 0 = ± 0
2
( 0 − c )
c
.
´¾ººµ
ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ×ÓÐÙØØÓÒ x 0 = 0 ÜÜ×ØØ ØÓÙÙÓÙÖ׸ ØØÒÒÒ× ÕÙ٠г³ÜÜ×ØØÒÒÒ ÐÐ
×××ÓÒÒÒ ×Ø ×ÓÙÑÑ×× ÐÐ ××ØØ××××ØØÓÒ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ c < < 0 º ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ x 0 = 0 ÔÔÖÖ ×× ×ØØØØÐÐØØ ´ c < < 0 µ¸ ÙÒÒ ÒÓÙÚÐÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÙÙÐÐ
x 0 = ± 0
2( 0 − c )// c ÔÖÖÒÒ ÐÐ ÖÖÐÐÐ׺ ÇÒ Ø ÕÙ³³Ð Ý ÙÖÖÖØØÓÒ ÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ x 0 = 0 ÚÖ× ÙÒÒ ÔÔÔÖÖ ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× x 0 =
± 0
2( 0 − c )// c º Ò ØÖÖÖÖÒØ Ð ³ Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ò Ð Ú ÐÐÙÖ x 0 Ò ÓÒÒØØÓÒ ÐÐ
ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖ××ÓÖØ ÐÐ ÚÚÖØØØØÐÐ c ¸ ¸ Ó Ù Ò Ø ÐÐ ÖÖÐÐ ³ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒ¹
ØÖÖÐи ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒ ÖÖÑÑÑ Ø ÙÖÖÖØØÓÒ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¾ººµ ÕÙÙ Ò³³×Ø
ÙØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÔÓÖØÖÖÖØ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× ´´ÕÙÙØØÓÒ ´¾ººµµº ÄÄ
ÖÖ××× ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ¾ºº ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÙÒÒ ÖÖÒÒÒÒ Ò×ØØØÐÐ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ
Ò ØÖÖÖØ ÓÒØØÒÙ ÙÒÒ ×ØØØÐк ØØØ ×Ø Ù×ÙÙÐÐÐ
Ò× ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ÙÖÖÖØØÓÒ׺ ÁÐ ×Ø ÙØØÐÐ ÑÑÒØØÓÒÒÒÖ ÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ
Ò ÕÙÙ×ØØÓÒ¸ ÒÓÑÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ Ò ÖÖÖ×ÓÒ ×× ÓÖÑÑ Ò× ¹
ÖÖÑÑѸ ×Ø ÕÙÙÐÕÙÙÙÓÓ× ÕÙÙÐÐÐÐÐ ×ÙÖ¹¹ÖÖØØÕÙÙ ´ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ
¿º¾µ ÐÐÐ ÔÔÖ ÐÐÐÙÖ× ÐÐ ÑÑÐÐÐ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ× Ù×Ô ÕÙÙ ××ÖÓÒØ
Ú Ò× ÐÐ Ø ÓÙÚÖÖÖÖº
¾º½ºº ÍÒÒÚÖ××ÐÐØØ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ³ÙÒ ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ
Ò× Ð³³ØÙÙÙ × ×Ý×ØØÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ׸ ÐÐ ÖÖÖÖÖ × ÔÓÓÒØ× ÙÖ¹
ØØÓÒ× Ø × ÐÐÑÑØØ× Ò× ÐÐÙÖ ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÓÒ×ØØØÙÙ ×ÓÙÚÒØ Ð
¿ ÅÅÑÑ ×× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ØÙÙÙÙ Ò× ×× ÔÖÖØØ ÒØØØÖÖÑÑÒØ ÙÒ ÐÐÙÐ ÒÒÐݹ
ØØÕÙÙ¸ ÐÐ ÔÐÙÔÔÖØ × ×Ý×ØØÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ý ÁÐ ×Ø ÐÓÖ× ÒÒÒÒ××××ÖÖ ³³³ÓÔØØÖ ×
Ú ÐÐÑÑØØ× ÔÓÙÖ ÒÒÐÝ××Ö ÐÐ ×Ý×ØØÑѺ ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ ×× ÔÐÐÐÐÖ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ
³³Ò×ØØØØÐÐØظ ÓÙØÖÖ ÐÐ Ø ÕÙ³³Ð Ù×ØØØØ ÐÐ× Ú Ì × ÓÒÒØØÓÒ× ÐÐÐÐ× Ù
×Ý×ØØÑѸ ÓÒÒÒÖÖ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÙÒ ÖÖÖØØÖÖ ÙÒÒÚÚÖ××и ÐÐ ÒÒØÙÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ
Ø ÓÒÒ × ÑÑÑÑÒÒ×ÑÑ× ×ÔÔÔÔÔÕÙÙ× ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÖÖ×××Òغ