½½º ÓÒÒÐÙ××ÓÒ
¿¿¿
Ú Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ò× ÐÐÕÙÙÐ ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ×
ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑѸ ØØÐÐÐ× ÐÐ ÚÚØØ××× Ò ÓÙ ÐÐ ÓÒÒÒÒØÖÖ¹
ØØÓÒ Øغ¸ ÚÚÖÖÖÒØ ÐÐÒØØÑÑÒØ Ø ÔÖÖÖÖ×ÓÒ× ÕÙ³³Ð ׳³³³Ø Ò× ÓÒØØÜØØ
ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ØÓÙØ Ø ÒÓÒ Ð³³ÒÚÚÐÓÔÔÔ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ÖÖÔÔÔÔ e
iqx
Ò¹
ØÖÓÓÙÙØØ ÐÓÖ× ÐРг³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ ½¼µº Ò
ÒÒÖÖи ØÝÔÔ ÔÔÖÑÑØ ÖÖÖÙÙÖÖ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÔÔÖظ
ÕÙÙ ×ÓÒØ Ò ÒÒÖÖÐ ÒÓÒ ÐÓÓÓÐÐ× ´ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ò ÙÒ ÔÓÓÒØ ÐÐÐ
ÔÓÓÒØ× ÐÓÓÒØØØÒ×µ Ø ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ׸ × ÕÙÙØØÓÒ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÙÜ
ÖÖÚ× ÔÔÖØØØÐÐÐ× ´´ÓÒÒ ÐÓÓÓÐÐ×µ Ø ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ׺ ÍÒ ÜÜÑÔÐÐ ØÝÔ¹
ÕÙÙ ×Ø ÐÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ÃÙÖÖÑÓØÓ¹ËËÚÚ×××Ò××ݸ ¸ Ú ÓÕÙÙÙ Ò× ÐÐ ×××ØØÓÒ
½¾ººº½ Ù ½¾¸ ÕÙÙ ÔÔÙØ ØÖÖ ÓÑÑÑ
u t = −u xx − u xxxx + u
2
x ,
´½½º¾µ
ÓÓ u(x, t) ×Ø ÙÒÒ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÔÓÙÚ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÖ ÙÒÒ
ÙÒ ÖÓÒØ Ø Ò ØÖÖ ÙÜ ÔÔÔ××× Ò× ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÐÐ ÖÓÓ×××ÒÒÒ¸ Øغ
´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÖÖÚÙÙ ×ÙÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÃÙÖÖÑÓØÓ¹ËËÚ×××Ò××ݵ
Р׳³³³Ø ÐÐ ³ÙÒ ÜÜÑÔÐÐ ÔÔÖÑÑ ³³ÙØÖÖ׺ ÐÐ ÖÖÒÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ÙÒÒÕÙÙ ÔÓÙÖ ØÓÙ× ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ׸ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÒÒÖÖÕÙÙ× × ×Ý×¹
ØØÑÑ× ØÙÙÙÙ× ÐÓÓÒ Ù ××ÙÙÐ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ×ÓÒØ ÔÐÙ× ÚÚÖÖÖÖ׺ ÍÒÒ ÐÐ×ØØ ×
ÕÙÙØØÓÒ× ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÖ×××× ÑÑÒÒÒÖÖ ÖÖÐÐØØÚÑÑÒØ ×Ý×ØØÑÑØØÕÙÙ
Ò ×× ×ÙÖ ÐÐ× ÔÖÓÔÖÖÖØØ× ×ÝÑÑØÖÖÖ Ø ×ÙÖ ÐÐ× ÐÓÓ× ÓÒ××ÖÚØØÓÒ Ù
×Ý×ØØÑÑ ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ¸ Ò× ÖØØØÒ× ×¸ ÐÐ× ÕÙÙ¹
ØØÓÒ× ÒÒ ÔÔÙÚÚÒØ ÔÔ× ×× ÖÖÖÙÙÖÖ × ÕÙÙØØÓÒ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ׸ ÐÐ
ÖÖÒÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÃÙÖÖÑÓØÓ¹ËËÚÚ×××Ò××Ý ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º¾µ ÕÙÙ ÔÖÖ××ÒØØ
ÙÒÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÖÖØØ ÐÐ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙº ÑÔ ÖÖÖÖÖ ×Ø
Ò ÔÐÐÐÒÒ ØØÚÚØØ ´ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÖÖÚÙÙ ÖÖÖÖÒØØ ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ
ÔÓÙÖ ÖØØØÒ× ÔÖÓÓÐÐÑÑ׸ ÐÐ ÖÖÖÙÙØØÓÒ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×¹
ØØÑÑ Ò ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÐÓÓÓÐи Ø ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÙÜ ÖÖÚÚÚ× ÔÔÖ¹
ØØØÐÐÐ׸ ØØÐÐРг³ÕÙÙØØÓÒ ÃÙÖÖÑÓØÓ¹ËËÚÚ×××Ò××Ý ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º¾µ¸ Ò³³×Ø ÑÑÑÑ
ÔÐÙ× ÔÓ××××ÐÐ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÒÓÒ ÐÓÓÓÐÐ ÔÔÖ×××ØØ ÐÓÖ× ÑÑÑÑ ÕÙÙ ÐÐ ÐÐÑÑØØ ÝÝÖÓ¹
ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ø ÚÚÖÖÖÖÖ ´´ººº ÐÐ× ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× × ÑÓÓÓ× ØØØ× ×ÓÒØ ÔÔØØØ׸
ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ¿¿¿µº
½½ºº ÅÅÖÖ×××ÑÑÒØ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÓÖ× ÕÙÙÐÐÐÖÖ
ÄÓÖ× Ð³³ØÙÙÙ ÐÐ ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ×׸ ÒÓÙ× ØÙÙÙ٠г³ÑÑÖÖÖÒÒÒ ×ØÖÙÙ¹
ØÙÖÖ× ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ× ÓÖÖÓÒÒÒÒ× ÖÖÖØØÖÖ×××× ÔÔÖ × ÑÓØØØ× ×ÔÔØØØÙÜ ÖÖÖÙÐÐÐÖÖÑÑÒØ
ÖÖÔÔÖØØ× ´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ× Ø ½¼µ¸ Ø ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ ÕÙÙÐÕÙÙ× ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÒÓÒ ÓÖ¹
ÓÒÒÒÒ׸ ØØÐ ÐÐ ×ÔÔØØÓ¹ØØÑÔÓÖÖÐ ´ÚÓÓÖ ½¾µº ÁÐ ÙØ ÒÓØØÖ ÕÙÙ¸ Ò×
ÐÐ× ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÒÓÒ ÓÖÖÓÒÒÒÒ× ØÙÙÙÙÙ׸ Ð ÜÜ×ØØ ÒÒÒÒÑÓÓÒ× ÙÒÒ ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ ×ÔÔ¹
ØØØÐÐ × ×ÓÐÙØØÓÒ׸ ÙÒÒ ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ ÖØØ× ÓÑÔÐÐÜÜ ÑÑÑ× ÕÙÙ ÑÑÑÒØØØÒØ ØÓÙØ
ÑÑÑÑ ÙÒÒ ÖØØØÒÒ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ´ÚÓÓÖ ÔÔÖ
ÜÜÑÔÐÐ ÙÖÖ ½¾º¿µº
¿¿¿
Ú Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ò× ÐÐÕÙÙÐ ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ×
ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑѸ ØØÐÐÐ× ÐÐ ÚÚØØ××× Ò ÓÙ ÐÐ ÓÒÒÒÒØÖÖ¹
ØØÓÒ Øغ¸ ÚÚÖÖÖÒØ ÐÐÒØØÑÑÒØ Ø ÔÖÖÖÖ×ÓÒ× ÕÙ³³Ð ׳³³³Ø Ò× ÓÒØØÜØØ
ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ØÓÙØ Ø ÒÓÒ Ð³³ÒÚÚÐÓÔÔÔ Ð³Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ÖÖÔÔÔÔ e
iqx
Ò¹
ØÖÓÓÙÙØØ ÐÓÖ× ÐРг³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ ½¼µº Ò
ÒÒÖÖи ØÝÔÔ ÔÔÖÑÑØ ÖÖÖÙÙÖÖ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÔÔÖظ
ÕÙÙ ×ÓÒØ Ò ÒÒÖÖÐ ÒÓÒ ÐÓÓÓÐÐ× ´ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ò ÙÒ ÔÓÓÒØ ÐÐÐ
ÔÓÓÒØ× ÐÓÓÒØØØÒ×µ Ø ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ׸ × ÕÙÙØØÓÒ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÙÜ
ÖÖÚ× ÔÔÖØØØÐÐÐ× ´´ÓÒÒ ÐÓÓÓÐÐ×µ Ø ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ׺ ÍÒ ÜÜÑÔÐÐ ØÝÔ¹
ÕÙÙ ×Ø ÐÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ÃÙÖÖÑÓØÓ¹ËËÚÚ×××Ò××ݸ ¸ Ú ÓÕÙÙÙ Ò× ÐÐ ×××ØØÓÒ
½¾ººº½ Ù ½¾¸ ÕÙÙ ÔÔÙØ ØÖÖ ÓÑÑÑ
u t = −u xx − u xxxx + u
2
x ,
´½½º¾µ
ÓÓ u(x, t) ×Ø ÙÒÒ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÔÓÙÚ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÖ ÙÒÒ
ÙÒ ÖÓÒØ Ø Ò ØÖÖ ÙÜ ÔÔÔ××× Ò× ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÐÐ ÖÓÓ×××ÒÒÒ¸ Øغ
´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÖÖÚÙÙ ×ÙÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÃÙÖÖÑÓØÓ¹ËËÚ×××Ò××ݵ
Р׳³³³Ø ÐÐ ³ÙÒ ÜÜÑÔÐÐ ÔÔÖÑÑ ³³ÙØÖÖ׺ ÐÐ ÖÖÒÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ÙÒÒÕÙÙ ÔÓÙÖ ØÓÙ× ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ׸ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÒÒÖÖÕÙÙ× × ×Ý×¹
ØØÑÑ× ØÙÙÙÙ× ÐÓÓÒ Ù ××ÙÙÐ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ×ÓÒØ ÔÐÙ× ÚÚÖÖÖÖ׺ ÍÒÒ ÐÐ×ØØ ×
ÕÙÙØØÓÒ× ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÖ×××× ÑÑÒÒÒÖÖ ÖÖÐÐØØÚÑÑÒØ ×Ý×ØØÑÑØØÕÙÙ
Ò ×× ×ÙÖ ÐÐ× ÔÖÓÔÖÖÖØØ× ×ÝÑÑØÖÖÖ Ø ×ÙÖ ÐÐ× ÐÓÓ× ÓÒ××ÖÚØØÓÒ Ù
×Ý×ØØÑÑ ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ¸ Ò× ÖØØØÒ× ×¸ ÐÐ× ÕÙÙ¹
ØØÓÒ× ÒÒ ÔÔÙÚÚÒØ ÔÔ× ×× ÖÖÖÙÙÖÖ × ÕÙÙØØÓÒ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ׸ ÐÐ
ÖÖÒÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÃÙÖÖÑÓØÓ¹ËËÚÚ×××Ò××Ý ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º¾µ ÕÙÙ ÔÖÖ××ÒØØ
ÙÒÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÖÖØØ ÐÐ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙº ÑÔ ÖÖÖÖÖ ×Ø
Ò ÔÐÐÐÒÒ ØØÚÚØØ ´ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÖÖÚÙÙ ÖÖÖÖÒØØ ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ
ÔÓÙÖ ÖØØØÒ× ÔÖÓÓÐÐÑÑ׸ ÐÐ ÖÖÖÙÙØØÓÒ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×¹
ØØÑÑ Ò ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÐÓÓÓÐи Ø ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÙÜ ÖÖÚÚÚ× ÔÔÖ¹
ØØØÐÐÐ׸ ØØÐÐРг³ÕÙÙØØÓÒ ÃÙÖÖÑÓØÓ¹ËËÚÚ×××Ò××Ý ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º¾µ¸ Ò³³×Ø ÑÑÑÑ
ÔÐÙ× ÔÓ××××ÐÐ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÒÓÒ ÐÓÓÓÐÐ ÔÔÖ×××ØØ ÐÓÖ× ÑÑÑÑ ÕÙÙ ÐÐ ÐÐÑÑØØ ÝÝÖÓ¹
ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ø ÚÚÖÖÖÖÖ ´´ººº ÐÐ× ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× × ÑÓÓÓ× ØØØ× ×ÓÒØ ÔÔØØØ׸
ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ¿¿¿µº
½½ºº ÅÅÖÖ×××ÑÑÒØ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÓÖ× ÕÙÙÐÐÐÖÖ
ÄÓÖ× Ð³³ØÙÙÙ ÐÐ ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ×׸ ÒÓÙ× ØÙÙÙ٠г³ÑÑÖÖÖÒÒÒ ×ØÖÙÙ¹
ØÙÖÖ× ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ× ÓÖÖÓÒÒÒÒ× ÖÖÖØØÖÖ×××× ÔÔÖ × ÑÓØØØ× ×ÔÔØØØÙÜ ÖÖÖÙÐÐÐÖÖÑÑÒØ
ÖÖÔÔÖØØ× ´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ× Ø ½¼µ¸ Ø ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ ÕÙÙÐÕÙÙ× ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÒÓÒ ÓÖ¹
ÓÒÒÒÒ׸ ØØÐ ÐÐ ×ÔÔØØÓ¹ØØÑÔÓÖÖÐ ´ÚÓÓÖ ½¾µº ÁÐ ÙØ ÒÓØØÖ ÕÙÙ¸ Ò×
ÐÐ× ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÒÓÒ ÓÖÖÓÒÒÒÒ× ØÙÙÙÙÙ׸ Ð ÜÜ×ØØ ÒÒÒÒÑÓÓÒ× ÙÒÒ ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ ×ÔÔ¹
ØØØÐÐ × ×ÓÐÙØØÓÒ׸ ÙÒÒ ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ ÖØØ× ÓÑÔÐÐÜÜ ÑÑÑ× ÕÙÙ ÑÑÑÒØØØÒØ ØÓÙØ
ÑÑÑÑ ÙÒÒ ÖØØØÒÒ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ´ÚÓÓÖ ÔÔÖ
ÜÜÑÔÐÐ ÙÖÖ ½¾º¿µº