¿¿¿
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÐÐ ×ÔÔØØÓ¹ØØÑÔÓÖÖк Ò ÓÙØÖÖ¸ ÔÐÙ×××ÙÖ× ÒÓÙÚÚÐÐÐ× ÑÑÒÒÒÒ×ØØØØÓÒ× ØÝÔÔÕÙÙ×
× ÑÓØØØ× ÙÜ ÑÑÒ××ÓÒ× ×ÓÒØ Ö Ú ÐÐÐ׸ ØØÐ× ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ ×ÔÔÖÖÐÐ׸ ÐÐ Ó×
×ÔÔØØÓ¹ØØÑÔÓÖÖÐ ÑÑÑÑÑ ÔÔÖ ÐÐ× ×ÔÔÖÖÐÐ׸ ÐÐ× ×ÓÙÖÖÖ× Ø ÐÐ× ÔÙÙØ× ³ÓÒÒÒ׸ Øغ ´ÚÓÓÖ
ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÖÖÚÙÙ ×ÙÖ × ÕÙÙ×ØØÓÒ×µº
½½º¿ ËÝ×ØØÑÑ× ÒÓÒ ÖÖÖÙÙØØØÐÐ× ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÆÓÙ× Ò×××ØØ Ò× Ø ÓÙÚÖÖÖÖ ×ÙÖ ÐÐ Ø ÕÙÙ¸ ÔÖÖ× × ××ÙÙÐ× ×
Ò×ØØØØÐÐØØ׸ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ø ÖÖÖÙÙØØ ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÒÒÚÖ××ÐÐÐ
ÓÓÓÓÓÓÒØ× ÖÖÖÐ× ÓÙ ÓÑÔÐÐÜÜ× ÖÖÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÖÖÔÖÖ××ÒØØ Ð³³ÒÚÚÐÓÔÔÔ ³ÙÒÒ Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ÖÖÔÔÔÔ Ù ÑÓÓÓ ÓÙÖÖÖÖ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐ
´ÚÓÓÖ ½¼µº ØØØ ÖÖÖÙÙØØÓÒ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ò ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ Ò³³×Ø
ÔÓ××××ÐÐ ÕÙÙ ×ÓÙ× Ð³³ÝÔÓØØØ×× ÕÙÙ ××ÙÐРг³³ÖÑÓÒÒÕÙÙ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐÐ ×Ø Ò×ØØØÐÐ Ø
ÕÙÙ ØÓÙØØ× ÐÐ× ÖÑÓÒÒÕÙÙ× ³ÓÖÖÖÖ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ׺ Ò Ø¸ ÒÓÑÑÖÖÙÜ
×Ý×ØØÑÑ× ÒÒ ×ÓÙ××ÖÖÚÚÒØ ÔÔ× × ÙÖÖ¸ ÑÑÑÑ ØÙÙÙÙ× ØÖÖ× ÔÖÖ× Ù ××ÙÙÐ
г³Ò×ØØØØÐÐØظ ØØÐ× ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× Ò× ÐÐ×ÕÙÙÐ× ÐÐ ÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ ÖÖØØÕÙÙ ×Ø ÔÔØØظ
гÓÖÖÖÖ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÙÒÒ ÖØØØÒÒ ÔÙÙ×××ÒÒÒ¸ ÓÓ ×××ÒÒ ÐÐ ×ØØÒÒÒ Ù
××ÙÙÐ ³³Ò×ØØØØÐÐØغ ÖÖÚÓÒ× ØØØÖÖ ³³ÜÜÑÔÐÐ ÐÐ ØÝÔÔ ÖÖÐÐØØÓÒ
ØØÐ× ×
ω = q
2
− q
4
´½½º½µ
ÓÓ ω ×Ø ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ Ù ÑÓÓÓ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ø q ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒº ÄÄ ÑÑÜÜÑÙÑ
ω¸ ÒÒ×××ÒØ Ð ÑÓÓÓ ÐÐ ÔÐÙ× Ò×ØØØÐи ×Ø ÓÓØØÒÙ Ô Ó Ù Ö Ù Ò Ú ØØÙÖ ³ÓÒÒÒ
q =
/2 ∼
√
¸ Ø ÐÐ ÒÒÒ × ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ø Ù Ü ÑÓÓÓ×
Ò×ØØØÐÐ׸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÕÙÙ ÓÒØ ÙÒ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ω ÔÓ××ØØظ ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ
Δq ∼
√
´ÔÐÙ× ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒØ ØØØ ÒÒÒ ×³³ØØÒÒ q = 0 q =
√
µº
ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ q ×ÙÙ××ÑÑÑÒØ ÔÔØØظ ×ÓÒ× ÔÓÙÖ ÜÜÖ ÐÐ× ×
гÓÖÖÖÖ
√
/100¸ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÙÒÒ Ò×ØØØØÐÐØØ ´´ººº ω > 0µ¸ ÒÓÒ ××ÙÐÐÑÑÒØ
ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÓÓÓ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐ ÓÙÖÖÖÖ ÑÑÑ× ÔÓÙÖ ØÓÙ× ××× ÑÙÐØØÔÐÐ× ´´ººº
nq¸ ¸ Ú n < 100µº ÆÓÙ× ×ÓÑÑÑ× ÓÒÒ ÙÒÒ ××ØÙÙØØÓÒ Ò× ÐÐÕÙÙÐÐи
ÑÑÑÑ ÔÖÖ× Ù ××ÙÙÐ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ´ÔÙÙ×ÕÙÙ ÒÓÙ× ×ÙÔÔÓ×ÓÒ× ÔÔØØص¸ ÐÐ ÒÓÑÖÖ
ÑÓÓÓ× Ò×ØØØÐÐ× ÔÔÙØ ØÖÖ ØÖÖ× ÖÖÒÒ¸ Ø ÐÐ ÖÖÖÙÙØØÓÒ Ò ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ³³Ñ¹
ÔÐÐØÙÙÙ Ò³³×Ø ÐÓÖ× ÔÐÙ× ÔÓ××××Ðк ÔÔÒÒÒÒظ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓ Ò × Ø Ö Ö Ô Ö Ó Ø Ø Ù Ù Ø
ÕÙÙ ÐÐ× ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× ÙÜ ÑÓÓÓ× Ò×ØØØÐÐ× ×ÓÓÓÒØ ÔÔØØØ× Ò
ÖÖÖÙÙÖÖ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× Ù ÑÓÓÓÐÐ Ò ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÔÐÙ× ××ÑÔÐи ÑÑÑ× Ð ÒÒ
׳³³³ÖÖ ÔÐÙ× ³³ÕÙÙØØÓÒ ØÝÔÔ ÑÔÐÐØÙÙÙº Ò Ø¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ØÙÙÖ ÙÒ
ÈÖ ÙÒ ÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ q ÔÔØØظ ÒÓÙ× ÕÙÙ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ³ÓÒÒÒ × ÑÓÓÓ× ³³Ò¹
×ØØØØÐÐØØ ×Ø ÖÖÒÒÒ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÙÜ ÔÔÝ××ÕÙÙ× ÐÓÒÒÙÙÙÖº ØØØ ÐÐÑÑØØ ×Ø ×ÓÙÚÚÒØ
ÕÙÙÐÐÐÐÐ ÐÐÑÑØØ ÝÝÖÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ ÔÔÖ ÒÒÐÓÓÓÓ ÐÐ ××ÖÖÔØØÓÒ Ð³³³ÓÙÐй
ÑÑÒØ ³ÙÒ ÙÙÙÙ ××Ò× ÚÓÓÖ ÓÒ××××ÖÖÖ ÐÐ ÒÒØÙÖÖ ××ÖÖØØ ÐÐ ÑÑØØØÖÖ
ÓÒ×ØØØÙÙÒØ ÐÐ ÙÙÙÙ ØØØ ××ÖÖÔØØÓÒ ×× Ù×ØØØØ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ÑÓÓÓ× Ð³³³ÓÙÐÐÑÑÒØ Ó Ò Ø Ù Ò
ÐÓÒÒÙÙÙÖ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ÖÖÒÒÒ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÐÐ ×ØØÒÒÒ ØÓÑÑ× ÓÙ Ù ÐÐÐÖÖ ÔÔÖÖÓÙÖ×
ÑÓÝÝÒº ÈÈÖ ÜØØÒ××ÓÒ Ø Ò ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØظ ÕÙÙÐÐÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ ÒÒØÙÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÝ××ÕÙÙ ÓÒ¹
××××ÖÖ¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ØØØÐÐÐ× ØÝÔÔÕÙÙ× ÓÒ××××ÖÖÖ× ×ÓÒØ ÖÖÒÒÒ× ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ð³³³³³ÐÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ
ÔÔÝ××ÕÙÙ ÔÔÖØØÒÒÒØظ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÖØ Ò× ÐÐ ÐÐÑÑØØ ÝÝÖÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙº
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÐÐ ×ÔÔØØÓ¹ØØÑÔÓÖÖк Ò ÓÙØÖÖ¸ ÔÐÙ×××ÙÖ× ÒÓÙÚÚÐÐÐ× ÑÑÒÒÒÒ×ØØØØÓÒ× ØÝÔÔÕÙÙ×
× ÑÓØØØ× ÙÜ ÑÑÒ××ÓÒ× ×ÓÒØ Ö Ú ÐÐÐ׸ ØØÐ× ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ ×ÔÔÖÖÐÐ׸ ÐÐ Ó×
×ÔÔØØÓ¹ØØÑÔÓÖÖÐ ÑÑÑÑÑ ÔÔÖ ÐÐ× ×ÔÔÖÖÐÐ׸ ÐÐ× ×ÓÙÖÖÖ× Ø ÐÐ× ÔÙÙØ× ³ÓÒÒÒ׸ Øغ ´ÚÓÓÖ
ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÖÖÚÙÙ ×ÙÖ × ÕÙÙ×ØØÓÒ×µº
½½º¿ ËÝ×ØØÑÑ× ÒÓÒ ÖÖÖÙÙØØØÐÐ× ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÆÓÙ× Ò×××ØØ Ò× Ø ÓÙÚÖÖÖÖ ×ÙÖ ÐÐ Ø ÕÙÙ¸ ÔÖÖ× × ××ÙÙÐ× ×
Ò×ØØØØÐÐØØ׸ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ø ÖÖÖÙÙØØ ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÒÒÚÖ××ÐÐÐ
ÓÓÓÓÓÓÒØ× ÖÖÖÐ× ÓÙ ÓÑÔÐÐÜÜ× ÖÖÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÖÖÔÖÖ××ÒØØ Ð³³ÒÚÚÐÓÔÔÔ ³ÙÒÒ Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ÖÖÔÔÔÔ Ù ÑÓÓÓ ÓÙÖÖÖÖ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐ
´ÚÓÓÖ ½¼µº ØØØ ÖÖÖÙÙØØÓÒ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ò ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ Ò³³×Ø
ÔÓ××××ÐÐ ÕÙÙ ×ÓÙ× Ð³³ÝÔÓØØØ×× ÕÙÙ ××ÙÐРг³³ÖÑÓÒÒÕÙÙ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐÐ ×Ø Ò×ØØØÐÐ Ø
ÕÙÙ ØÓÙØØ× ÐÐ× ÖÑÓÒÒÕÙÙ× ³ÓÖÖÖÖ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ׺ Ò Ø¸ ÒÓÑÑÖÖÙÜ
×Ý×ØØÑÑ× ÒÒ ×ÓÙ××ÖÖÚÚÒØ ÔÔ× × ÙÖÖ¸ ÑÑÑÑ ØÙÙÙÙ× ØÖÖ× ÔÖÖ× Ù ××ÙÙÐ
г³Ò×ØØØØÐÐØظ ØØÐ× ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× Ò× ÐÐ×ÕÙÙÐ× ÐÐ ÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ ÖÖØØÕÙÙ ×Ø ÔÔØØظ
гÓÖÖÖÖ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÙÒÒ ÖØØØÒÒ ÔÙÙ×××ÒÒÒ¸ ÓÓ ×××ÒÒ ÐÐ ×ØØÒÒÒ Ù
××ÙÙÐ ³³Ò×ØØØØÐÐØغ ÖÖÚÓÒ× ØØØÖÖ ³³ÜÜÑÔÐÐ ÐÐ ØÝÔÔ ÖÖÐÐØØÓÒ
ØØÐ× ×
ω = q
2
− q
4
´½½º½µ
ÓÓ ω ×Ø ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ Ù ÑÓÓÓ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ø q ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒº ÄÄ ÑÑÜÜÑÙÑ
ω¸ ÒÒ×××ÒØ Ð ÑÓÓÓ ÐÐ ÔÐÙ× Ò×ØØØÐи ×Ø ÓÓØØÒÙ Ô Ó Ù Ö Ù Ò Ú ØØÙÖ ³ÓÒÒÒ
q =
/2 ∼
√
¸ Ø ÐÐ ÒÒÒ × ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ø Ù Ü ÑÓÓÓ×
Ò×ØØØÐÐ׸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÕÙÙ ÓÒØ ÙÒ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ω ÔÓ××ØØظ ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ
Δq ∼
√
´ÔÐÙ× ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒØ ØØØ ÒÒÒ ×³³ØØÒÒ q = 0 q =
√
µº
ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ q ×ÙÙ××ÑÑÑÒØ ÔÔØØظ ×ÓÒ× ÔÓÙÖ ÜÜÖ ÐÐ× ×
гÓÖÖÖÖ
√
/100¸ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÙÒÒ Ò×ØØØØÐÐØØ ´´ººº ω > 0µ¸ ÒÓÒ ××ÙÐÐÑÑÒØ
ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÓÓÓ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐ ÓÙÖÖÖÖ ÑÑÑ× ÔÓÙÖ ØÓÙ× ××× ÑÙÐØØÔÐÐ× ´´ººº
nq¸ ¸ Ú n < 100µº ÆÓÙ× ×ÓÑÑÑ× ÓÒÒ ÙÒÒ ××ØÙÙØØÓÒ Ò× ÐÐÕÙÙÐÐи
ÑÑÑÑ ÔÖÖ× Ù ××ÙÙÐ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ´ÔÙÙ×ÕÙÙ ÒÓÙ× ×ÙÔÔÓ×ÓÒ× ÔÔØØص¸ ÐÐ ÒÓÑÖÖ
ÑÓÓÓ× Ò×ØØØÐÐ× ÔÔÙØ ØÖÖ ØÖÖ× ÖÖÒÒ¸ Ø ÐÐ ÖÖÖÙÙØØÓÒ Ò ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ³³Ñ¹
ÔÐÐØÙÙÙ Ò³³×Ø ÐÓÖ× ÔÐÙ× ÔÓ××××Ðк ÔÔÒÒÒÒظ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓ Ò × Ø Ö Ö Ô Ö Ó Ø Ø Ù Ù Ø
ÕÙÙ ÐÐ× ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× ÙÜ ÑÓÓÓ× Ò×ØØØÐÐ× ×ÓÓÓÒØ ÔÔØØØ× Ò
ÖÖÖÙÙÖÖ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× Ù ÑÓÓÓÐÐ Ò ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÔÐÙ× ××ÑÔÐи ÑÑÑ× Ð ÒÒ
׳³³³ÖÖ ÔÐÙ× ³³ÕÙÙØØÓÒ ØÝÔÔ ÑÔÐÐØÙÙÙº Ò Ø¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ØÙÙÖ ÙÒ
ÈÖ ÙÒ ÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ q ÔÔØØظ ÒÓÙ× ÕÙÙ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ³ÓÒÒÒ × ÑÓÓÓ× ³³Ò¹
×ØØØØÐÐØØ ×Ø ÖÖÒÒÒ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÙÜ ÔÔÝ××ÕÙÙ× ÐÓÒÒÙÙÙÖº ØØØ ÐÐÑÑØØ ×Ø ×ÓÙÚÚÒØ
ÕÙÙÐÐÐÐÐ ÐÐÑÑØØ ÝÝÖÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ ÔÔÖ ÒÒÐÓÓÓÓ ÐÐ ××ÖÖÔØØÓÒ Ð³³³ÓÙÐй
ÑÑÒØ ³ÙÒ ÙÙÙÙ ××Ò× ÚÓÓÖ ÓÒ××××ÖÖÖ ÐÐ ÒÒØÙÖÖ ××ÖÖØØ ÐÐ ÑÑØØØÖÖ
ÓÒ×ØØØÙÙÒØ ÐÐ ÙÙÙÙ ØØØ ××ÖÖÔØØÓÒ ×× Ù×ØØØØ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ÑÓÓÓ× Ð³³³ÓÙÐÐÑÑÒØ Ó Ò Ø Ù Ò
ÐÓÒÒÙÙÙÖ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ÖÖÒÒÒ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÐÐ ×ØØÒÒÒ ØÓÑÑ× ÓÙ Ù ÐÐÐÖÖ ÔÔÖÖÓÙÖ×
ÑÓÝÝÒº ÈÈÖ ÜØØÒ××ÓÒ Ø Ò ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØظ ÕÙÙÐÐÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ ÒÒØÙÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÝ××ÕÙÙ ÓÒ¹
××××ÖÖ¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ØØØÐÐÐ× ØÝÔÔÕÙÙ× ÓÒ××××ÖÖÖ× ×ÓÒØ ÖÖÒÒÒ× ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ð³³³³³ÐÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ
ÔÔÝ××ÕÙÙ ÔÔÖØØÒÒÒØظ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÖØ Ò× ÐÐ ÐÐÑÑØØ ÝÝÖÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙº