¾º ÁÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ ÙÜ ÙÖÖÖØØÓÒ× ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ
½½
ÓÓ C ≡ k( c − 0 )
2 /2 ×Ø ÙÒÒ ÔÔÙ ÐÐÐ ××ÖÖ ÓÒÒ ÒÓÖÖÖ
ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØغ
ij³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ¹¹¹××Ù× Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ E p ×Ø ××ÑÑÐÐÐÖÖ Ò× ÐÐ ÓÖÑÑ
г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ³ÙÒ ÖÖ××ÓÖØ ÐÐ×××ÕÙÙº ÈÓÙÖØØÒظ ÐÐ ÖÖÖÐÐØØ
ÔÔÝ××ÕÙÙ ×ÓÙ×¹¹¹¹¹ÒØØ Ù ×Ý×ØØÑÑ ØÙÙÙÙ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¾º½µ ×Ø ÓÒÒÒÑÑÒØØÐй
ÑÑÒØ ÖÖÒØØ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ x = 0 Ò³³×Ø Ò×× ÔÔ× ØÓÙÙÓÙÖ× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐк
Ò Ø¸ Ò ÒÓØÖÖ ÙÙ×× ÐÐ ×ØØÒÒÒ c ØØÐÐÐ ÕÙÙ ´ c > > 0 µ¸ ÐÐ ÔÖÖÖÖÖØØÙÖ
´ c − 0 µ x
2
×Ø ÔÓ××ØØØ Ø E p (x) ÙÒ ÑÑÒÒÑÙÑ Ò x = 0 ÒÒ×××ÒØ ÙÒÒ
ÔÓ××ØØÓÒ ×ØØØÐÐ ½ º Ò× ÐÐ × ´ c < < 0 µ¸ E p ÔÓ××××× ÙÒ ÑÑÜÜÑÙÑ Ò
x = 0¸ ÙÒÒ ÔÓ××ØØÓÒ Ò×ØØØÐÐ ¾ º ij³³³ÐÐØØ c = 0 ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒ
ÓÒÒ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÖØØÕÙÙ ÔÔÖØØ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ x = 0 ´ÚÓÓÖ
ÙÖÖ ¾º¾µº
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ x = 0 ×Ø Ò×ØØØÐÐ ´E p (x = 0) Ù Ò Ú ÐÐÙÖ
ÑÑÜÜÑÑÐе¸ ÐÐ ÑÑ××× ×³³ÐÓÓÓÒÒ ØØØ ÔÓ××ØØÓÒº ÇÖ¸ ÐÓÖ×ÕÙ٠г³³³ÖØ x ÐÐ
ÑÑ××× ØÖÓÔ Ð³³ÔÔÖÓÜÜÑÑØØÓÒ Ð³ÓÖÖÖÖ ¾ г³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒ¹
ØØØÐÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾µ ××× ³³ØÖÖ ÚÚÐÐÐк ÁÐ ×Ø ÐÓÖ× ÒÒÒÒ××××ÖÖ
гÓÖÖÖÖ ×ÙÙÚÒØ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ E p (x) ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º½µ
E p =
k
2
c − 0
c
x
2
+ 0 c
x
4
4 4
c
.
´¾º¿µ
Ò ×× ÔÐÐÐÐÒØ ÔÖÖ× Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØØ c 0 ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
E p =
k
2
c − 0
c
x
2
+
x
4
4 2
0
´¾ººµ
ÓÓ ÒÓÙ× ÖÖÑÔÐÐÐÐ c ÔÔÖ 0 Ò× ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ Ø x
4
º ÄÄ ÒÓÙÚÐÐÐ ÓÒØÖÖ¹
ÙØØÓÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ Ò x
4
×Ø ØÓÙÙÓÙÖ× ÔÓ××ØØÚº
ÇÒ ÚÖÖÖÖ ÐÐÑÑÒØ ÕÙÙ ×× ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ÒØÖÖ ÐÐ× ÙÜ ÜØÖÖÑÑØØ×
Ù ÖÖ××ÓÖØ ÐÐ ÚÚÖØØØØÐÐ c ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖÔÓ× Ù ÖÖ××ÓÖØ
´ c < < 0 ¸ x = 0 Ò×ØØØÐе¸ г³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ E p (x) Ù Ò ÑÑÜÜÑÙÑ ÐÓÓÓÐ Ò
x = 0¸ Ø ÔÓ××××× ÙÜ ÑÑÒÒÑÑ× ÔÔÖØ Ø ³³ÙØÖÖ x = 0 ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¾º¾µº
ÁР׳³Ò×ÙÙØ ÓÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ÑÑ××׸ Ò ÕÙÙØØØÒØ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ Ò×ØØØÐÐ x = 0¸
×× ÐÓÓÓÖÖ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ x ÕÙ٠гÙÒ × ÙÜ ÑÑÒÒÑÑ× E p (x)º
Ò ÔÖÖÒÒÒÔÔ¸ ÐÐ ÑÑ××× ÙØØÒØ Ø ÒÒÒ ³³ÐÐÐÖ ÚÖ× Ð³ÙÒ Ó٠г³ÙØÖÖ × ÙÜ
ÑÑÒÒÑÑ× ´x ÔÓ××ØØØ ÓÙ x ÒÒÒÒØØص Ò× ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× ÖÖÖÐ׸ Ð ÜÜ×ØØ
ØÓÙÙÓÙÖ× ÙÒÒ ÔÔØØØØ ÕÙÙ ÚÓÖÖ×× Ð³ÙÒÒ × ÙÜ ÖÖÖØØÓÒ׺
Ò Ø¸ ÐÐ ÓÖÑÑ ÒÒÖÖÐРг³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º½µ ×Ø ××ÑÔÐÐ
Ø ÔÔÙØ ØÖÖ ÒÒÐÝ××× ××Ò× ÚÓÓÖ ÖÖÖÓÙÖ× Ù ÐÐÑÑØغ ÇÒ ÔÔÙØ
ÐÐÑÑÒØ Ú ÖÖÖÖÖ ÕÙÙ ØØØ ÓÖÑÑ ÒÒÖÖÐÐ ÐÐ ÑÑÑÑ ÓÑÔÓÖØØÑÑÒØ ÕÙÙ ÐÙÙ
ÓÓØØÒÙ ÔÔÖ ÐÐÑÑØØ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ гÓÖÖÖÖ º ÄÄ ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ
½ ÈÖ ÒÒÐÓÓÓÓ¸ ÙÒÒ ÐÐÐ Ò× ÐÐ ÓÒÒ ³ÙÒÒ ÚÚÐÐÐÐ ÖÖ×ØØ ÓÓÒÒÒÒÒ Ò× ØØØ ÔÓ××ØØÓÒ
ÖÖÖÖ ÐÐ ´ÔÙÙØ× ÔÓØØÒØØØÐ ÑÑÑÑ Ò ÐÐ ×ÓÙÑÑØØØÒØ ÙÒÒ ÔÔØØØØ
ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÐÐÐ ÓÓÓÙÔÔ Ò×× Ù ÓÒÒ ÐÐ ÚÚÐÐÐÐ ÙÒÒ ÔÓ××ØØÓÒ ×ØØØÐк
¾ ÈÈÖ ÒÒÐÓÓÓÓ¸ ÙÒÒ ÐÐÐ Ù ×ÓÑÑÑØ ³ÙÒÒ ×Ø Ò ÔÓ××ØØÓÒ Ò×ØØØÐи ÔÙÙ×ÕÙ³³ÐÐÐ Ò¹
ÓÒÒÒ ØØØ ÔÓ××ØØÓÒ ÐÐ ÑÓÓÒÒÖÖ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÑÑÑÑ Ðк
½½
ÓÓ C ≡ k( c − 0 )
2 /2 ×Ø ÙÒÒ ÔÔÙ ÐÐÐ ××ÖÖ ÓÒÒ ÒÓÖÖÖ
ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØغ
ij³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ¹¹¹××Ù× Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ E p ×Ø ××ÑÑÐÐÐÖÖ Ò× ÐÐ ÓÖÑÑ
г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ³ÙÒ ÖÖ××ÓÖØ ÐÐ×××ÕÙÙº ÈÓÙÖØØÒظ ÐÐ ÖÖÖÐÐØØ
ÔÔÝ××ÕÙÙ ×ÓÙ×¹¹¹¹¹ÒØØ Ù ×Ý×ØØÑÑ ØÙÙÙÙ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¾º½µ ×Ø ÓÒÒÒÑÑÒØØÐй
ÑÑÒØ ÖÖÒØØ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ x = 0 Ò³³×Ø Ò×× ÔÔ× ØÓÙÙÓÙÖ× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐк
Ò Ø¸ Ò ÒÓØÖÖ ÙÙ×× ÐÐ ×ØØÒÒÒ c ØØÐÐÐ ÕÙÙ ´ c > > 0 µ¸ ÐÐ ÔÖÖÖÖÖØØÙÖ
´ c − 0 µ x
2
×Ø ÔÓ××ØØØ Ø E p (x) ÙÒ ÑÑÒÒÑÙÑ Ò x = 0 ÒÒ×××ÒØ ÙÒÒ
ÔÓ××ØØÓÒ ×ØØØÐÐ ½ º Ò× ÐÐ × ´ c < < 0 µ¸ E p ÔÓ××××× ÙÒ ÑÑÜÜÑÙÑ Ò
x = 0¸ ÙÒÒ ÔÓ××ØØÓÒ Ò×ØØØÐÐ ¾ º ij³³³ÐÐØØ c = 0 ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒ
ÓÒÒ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÖØØÕÙÙ ÔÔÖØØ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ x = 0 ´ÚÓÓÖ
ÙÖÖ ¾º¾µº
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ x = 0 ×Ø Ò×ØØØÐÐ ´E p (x = 0) Ù Ò Ú ÐÐÙÖ
ÑÑÜÜÑÑÐе¸ ÐÐ ÑÑ××× ×³³ÐÓÓÓÒÒ ØØØ ÔÓ××ØØÓÒº ÇÖ¸ ÐÓÖ×ÕÙ٠г³³³ÖØ x ÐÐ
ÑÑ××× ØÖÓÔ Ð³³ÔÔÖÓÜÜÑÑØØÓÒ Ð³ÓÖÖÖÖ ¾ г³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒ¹
ØØØÐÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º¾µ ××× ³³ØÖÖ ÚÚÐÐÐк ÁÐ ×Ø ÐÓÖ× ÒÒÒÒ××××ÖÖ
гÓÖÖÖÖ ×ÙÙÚÒØ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ E p (x) ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º½µ
E p =
k
2
c − 0
c
x
2
+ 0 c
x
4
4 4
c
.
´¾º¿µ
Ò ×× ÔÐÐÐÐÒØ ÔÖÖ× Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØØ c 0 ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
E p =
k
2
c − 0
c
x
2
+
x
4
4 2
0
´¾ººµ
ÓÓ ÒÓÙ× ÖÖÑÔÐÐÐÐ c ÔÔÖ 0 Ò× ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ Ø x
4
º ÄÄ ÒÓÙÚÐÐÐ ÓÒØÖÖ¹
ÙØØÓÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ Ò x
4
×Ø ØÓÙÙÓÙÖ× ÔÓ××ØØÚº
ÇÒ ÚÖÖÖÖ ÐÐÑÑÒØ ÕÙÙ ×× ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ÒØÖÖ ÐÐ× ÙÜ ÜØÖÖÑÑØØ×
Ù ÖÖ××ÓÖØ ÐÐ ÚÚÖØØØØÐÐ c ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖÔÓ× Ù ÖÖ××ÓÖØ
´ c < < 0 ¸ x = 0 Ò×ØØØÐе¸ г³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ E p (x) Ù Ò ÑÑÜÜÑÙÑ ÐÓÓÓÐ Ò
x = 0¸ Ø ÔÓ××××× ÙÜ ÑÑÒÒÑÑ× ÔÔÖØ Ø ³³ÙØÖÖ x = 0 ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¾º¾µº
ÁР׳³Ò×ÙÙØ ÓÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ÑÑ××׸ Ò ÕÙÙØØØÒØ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ Ò×ØØØÐÐ x = 0¸
×× ÐÓÓÓÖÖ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ x ÕÙ٠гÙÒ × ÙÜ ÑÑÒÒÑÑ× E p (x)º
Ò ÔÖÖÒÒÒÔÔ¸ ÐÐ ÑÑ××× ÙØØÒØ Ø ÒÒÒ ³³ÐÐÐÖ ÚÖ× Ð³ÙÒ Ó٠г³ÙØÖÖ × ÙÜ
ÑÑÒÒÑÑ× ´x ÔÓ××ØØØ ÓÙ x ÒÒÒÒØØص Ò× ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× ÖÖÖÐ׸ Ð ÜÜ×ØØ
ØÓÙÙÓÙÖ× ÙÒÒ ÔÔØØØØ ÕÙÙ ÚÓÖÖ×× Ð³ÙÒÒ × ÙÜ ÖÖÖØØÓÒ׺
Ò Ø¸ ÐÐ ÓÖÑÑ ÒÒÖÖÐРг³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾º½µ ×Ø ××ÑÔÐÐ
Ø ÔÔÙØ ØÖÖ ÒÒÐÝ××× ××Ò× ÚÓÓÖ ÖÖÖÓÙÖ× Ù ÐÐÑÑØغ ÇÒ ÔÔÙØ
ÐÐÑÑÒØ Ú ÖÖÖÖÖ ÕÙÙ ØØØ ÓÖÑÑ ÒÒÖÖÐÐ ÐÐ ÑÑÑÑ ÓÑÔÓÖØØÑÑÒØ ÕÙÙ ÐÙÙ
ÓÓØØÒÙ ÔÔÖ ÐÐÑÑØØ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¾ººµ гÓÖÖÖÖ º ÄÄ ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ
½ ÈÖ ÒÒÐÓÓÓÓ¸ ÙÒÒ ÐÐÐ Ò× ÐÐ ÓÒÒ ³ÙÒÒ ÚÚÐÐÐÐ ÖÖ×ØØ ÓÓÒÒÒÒÒ Ò× ØØØ ÔÓ××ØØÓÒ
ÖÖÖÖ ÐÐ ´ÔÙÙØ× ÔÓØØÒØØØÐ ÑÑÑÑ Ò ÐÐ ×ÓÙÑÑØØØÒØ ÙÒÒ ÔÔØØØØ
ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÐÐÐ ÓÓÓÙÔÔ Ò×× Ù ÓÒÒ ÐÐ ÚÚÐÐÐÐ ÙÒÒ ÔÓ××ØØÓÒ ×ØØØÐк
¾ ÈÈÖ ÒÒÐÓÓÓÓ¸ ÙÒÒ ÐÐÐ Ù ×ÓÑÑÑØ ³ÙÒÒ ×Ø Ò ÔÓ××ØØÓÒ Ò×ØØØÐи ÔÙÙ×ÕÙ³³ÐÐÐ Ò¹
ÓÒÒÒ ØØØ ÔÓ××ØØÓÒ ÐÐ ÑÓÓÒÒÖÖ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÑÑÑÑ Ðк