½¿º ËØÖÙÙØÙÖÖ× ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ×
¿¿¿
г³ÑÔÐÐØÙÙÙ An ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ × ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÐÐÒØØ× ×ÔÔØØØÐÐ× X¸ Y Ø ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ
ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÐÐÒØØ T ´´ººº An(T, X, Y )µº ÄÄ ÖÖ×ÙÐØØØ ÒÒÐ Ø ÐÓÖ× ÒØØÖÚÒÒÖ ÙÒÒ ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ × ÖÖÚ× An ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ X Ø Y Ø T º ÅÅÅ× Ò
³³ÐÐÐÐÐÖ ÐÐ× ÐÐÙÐ׸ ÒÓÙ× ÒÓÙ× Ù ××ÙÐ ÑÓÓÓ Ù ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ
qc Ø ÒÓÒ ØÓÙØØ ÐÐ ÒÒÒ Δq Ò×ØØØÐРг³ÑÔÐÐØÙÙÙ An ÒÒ ××ÖÖ ÓÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÕÙÙ
Ù ØØÑÔ׸ ÓÒÒ ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÐÐÒØØ T = t¸ Ø ÒÓÒ Ð³³×ÔÔÔÔº ØØØ Ý¹
ÔÓØØØ×׸ ××ÐÓÒ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ××ÙÐ ÐÐ ÑÓÓÓ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ qc ×Ø ÔÖÖ× ÓÑÔØظ ÖÖÚÚÚÒØ
ÒÒ ÓÒ××××ÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ× ××ØÙÙØØÓÒ× ÖÖÖØØÖÖ×××× ÔÔÖ ÙÒÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÒØ Ð³³ÒÚÚÐÓÔÔÔ
An ×Ø ÓÑÓÓÓÒÒ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔº ij³ÜØØÒ××ÓÒ Ù × ÒÒÓÑÓÓÓÒÒ ×× Ø ××ÐÓÒ ÐÐ ÑÑÑÑ
ÔÖÖÒÒÒÔÔ Ò× ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ ´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ ½¼µº
ij³ÕÙÙØØÓÒ ËÛÛÛعÀÓÓÓÒÒÒÖÖ ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º½µ ׳³³ÖÖØ ÐÓÖ×
ÐÐ ÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
∂φ
∂T
= [ − (1 + ∇
2 )
2 ]φ +
√
¯
αφ
2 − φ
3 ,
´½¿ºººµ
ÓÓ ÒÓÙ× ÔÓ×× α = ¯
α
√ Ø ¯
α ×Ø ³ÓÖÖÖÖ ÙÒ ØØØ ÝÔÓØØØ×× ÕÙÙ ÒÒØ ÐÐ ÑÑØع
ÓÓÓ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´ÑÑØØÓÓÓ ÓÒÒÒÒ ×ÙÖ ÐÐ ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ Ø Ò
ÔÙÙ×××ÒÒÒ ³ÙÒ ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖµ ×Ø Ò Ò ÐÐ ×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ ½¿ºº Ø ÙÒÒ
ÐØØÖÒÒØØÚ ´ Ú Ò ÖÑÓÒÒÕÙÙ×µ ×Ø ÐÓÖ× ÔÖÓÔÓ××× Ò× ÐÐ ×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ
½¿ººº¾º
ÈÓÙÖ×ÙÙÚÓÒ× Ð³³³³ÒØØÕÙÙ ÐÐ ÓÔØØØ Ò× ÐÐ ½¼ Ò ÚÚÐÓÔÔÔÒØ
ÐÐ ÑÔ φ Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ Ù ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
√ ¸ ×ÓÓØ
φ(x, T ) =
1/2 φ1 + φ2 +
3/2 φ3 + ....
´½¿ºººµ
ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ººº гÓÖÖÖÖ
1/2 ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
(1 + ∇
2 )
2 φ1 = 0
´½¿ºººµ
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
φ1 = A(T )e
q.. r + c.c.
´½¿ºººµ
ÓÓ c.c. ÚÚÙØ ÔÓÙÖ ÓÑÔÐÐÜÜ ÓÒÒÙÙÙ Ø | q| = qc = 1º
ÇÖ¸ ÓÑÑÑ ÒÓÙ× Ð³³ÚÓÒ× ÚÙ Ò× ÐÐ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ½¿º½ ÓÒ×××ÖÖ Ð³ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ
ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ Ò× ÙÒ ÔÐÐÒ ØÓÙØ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ q Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ¸ ÑÓÓÙÐÐ
ÙÒÒØØ ¸ ×Ø ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÚÚÐÐÐÐÐ ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ φ1º º Ò Ú ÖØÙ ÐÐ ÐÐÒÒÒÖÖØØ
г³ÕÙÙØØÓÒ ××ØØ××××ØØ ÔÔÖ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ φ1 ´´ÕÕØØÓÒ ½¿ºººµ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
ÒÒÖÖÐÐ φ1 =
P
q A q (T )e
ii q.. r + c.c.º
ÇÖ ÑÓÓÓ ÓÙÖÖÖÖ Ò e
ii q.. r ÒÒ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÔÔ× ÒÒÒÒ××××ÖÖÑÑÒØ
ÙÒ ØØØ ×ÔÔØØØÐÐÑÑÒØ ÓÖÖÓÒÒÒ ÙÜ ÑÑÒ××ÓÒ׺ ÍÒ ØØØ ÓÖÖÓÒÒÒ ÒÒ ÓÓØ ÖÖ Ô¹
ÔÔÖÖÖØÖÖ ÕÙÙ ÖØØØÒÒ× ÓÖÖÖÒØØØØÓÒ× × ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× ´×ÝÑÑØÖÖÖ ÖÖÖÖ¸ ÜÜÜÓÒÒÐи
Øغ¸ ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ½¿º¿º½µº
½¿ººº¾ ÈÖÓÓÐÐÑÑ ÖÖÚØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÔÔÖØØÖ ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ× × ÖÑÓÒÒÕÙÙ×
ØØØÖÖ ³³ÜÜÖÖÖÖÖ¸ ÒÓÙ× Ô Ó Ù Ú ÓÒ× ÖÖÖÖÖÖÖ ÐÐ ÐÐÙÐ ××Ò× ×ÙÔÔÓ××Ö ÕÙÙ α ×Ø Ô Ô ¹
ØØغ ij³³³³ ÓÒ×××ØØ Ù×ØØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÖÖÐÐ Ò ××ÖÖÖ× ÓÙÖÖÖÖ Ø
ÖÖÖÖÓÙÔÔÖ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÖÖ×ÓÒÒÒÒØ× ÒØÖÖ Ùܺ Ò×ÙÙØØ ÓÒ ÐÐÑÑÒÒ ØØÕÙÙÑÑÒØ Ð ×
ÖÑÓÒÒÕÙÙ× ³ÓÖÖÖÖ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖº
¿¿¿
г³ÑÔÐÐØÙÙÙ An ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ × ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÐÐÒØØ× ×ÔÔØØØÐÐ× X¸ Y Ø ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ
ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÐÐÒØØ T ´´ººº An(T, X, Y )µº ÄÄ ÖÖ×ÙÐØØØ ÒÒÐ Ø ÐÓÖ× ÒØØÖÚÒÒÖ ÙÒÒ ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ × ÖÖÚ× An ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ X Ø Y Ø T º ÅÅÅ× Ò
³³ÐÐÐÐÐÖ ÐÐ× ÐÐÙÐ׸ ÒÓÙ× ÒÓÙ× Ù ××ÙÐ ÑÓÓÓ Ù ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ
qc Ø ÒÓÒ ØÓÙØØ ÐÐ ÒÒÒ Δq Ò×ØØØÐРг³ÑÔÐÐØÙÙÙ An ÒÒ ××ÖÖ ÓÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÕÙÙ
Ù ØØÑÔ׸ ÓÒÒ ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÐÐÒØØ T = t¸ Ø ÒÓÒ Ð³³×ÔÔÔÔº ØØØ Ý¹
ÔÓØØØ×׸ ××ÐÓÒ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ××ÙÐ ÐÐ ÑÓÓÓ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ qc ×Ø ÔÖÖ× ÓÑÔØظ ÖÖÚÚÚÒØ
ÒÒ ÓÒ××××ÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ× ××ØÙÙØØÓÒ× ÖÖÖØØÖÖ×××× ÔÔÖ ÙÒÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÒØ Ð³³ÒÚÚÐÓÔÔÔ
An ×Ø ÓÑÓÓÓÒÒ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔº ij³ÜØØÒ××ÓÒ Ù × ÒÒÓÑÓÓÓÒÒ ×× Ø ××ÐÓÒ ÐÐ ÑÑÑÑ
ÔÖÖÒÒÒÔÔ Ò× ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ ´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ ½¼µº
ij³ÕÙÙØØÓÒ ËÛÛÛعÀÓÓÓÒÒÒÖÖ ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º½µ ׳³³ÖÖØ ÐÓÖ×
ÐÐ ÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
∂φ
∂T
= [ − (1 + ∇
2 )
2 ]φ +
√
¯
αφ
2 − φ
3 ,
´½¿ºººµ
ÓÓ ÒÓÙ× ÔÓ×× α = ¯
α
√ Ø ¯
α ×Ø ³ÓÖÖÖÖ ÙÒ ØØØ ÝÔÓØØØ×× ÕÙÙ ÒÒØ ÐÐ ÑÑØع
ÓÓÓ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´ÑÑØØÓÓÓ ÓÒÒÒÒ ×ÙÖ ÐÐ ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ Ø Ò
ÔÙÙ×××ÒÒÒ ³ÙÒ ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖµ ×Ø Ò Ò ÐÐ ×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ ½¿ºº Ø ÙÒÒ
ÐØØÖÒÒØØÚ ´ Ú Ò ÖÑÓÒÒÕÙÙ×µ ×Ø ÐÓÖ× ÔÖÓÔÓ××× Ò× ÐÐ ×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ
½¿ººº¾º
ÈÓÙÖ×ÙÙÚÓÒ× Ð³³³³ÒØØÕÙÙ ÐÐ ÓÔØØØ Ò× ÐÐ ½¼ Ò ÚÚÐÓÔÔÔÒØ
ÐÐ ÑÔ φ Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ Ù ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
√ ¸ ×ÓÓØ
φ(x, T ) =
1/2 φ1 + φ2 +
3/2 φ3 + ....
´½¿ºººµ
ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ººº гÓÖÖÖÖ
1/2 ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
(1 + ∇
2 )
2 φ1 = 0
´½¿ºººµ
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
φ1 = A(T )e
q.. r + c.c.
´½¿ºººµ
ÓÓ c.c. ÚÚÙØ ÔÓÙÖ ÓÑÔÐÐÜÜ ÓÒÒÙÙÙ Ø | q| = qc = 1º
ÇÖ¸ ÓÑÑÑ ÒÓÙ× Ð³³ÚÓÒ× ÚÙ Ò× ÐÐ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ½¿º½ ÓÒ×××ÖÖ Ð³ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ
ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ Ò× ÙÒ ÔÐÐÒ ØÓÙØ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ q Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ¸ ÑÓÓÙÐÐ
ÙÒÒØØ ¸ ×Ø ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÚÚÐÐÐÐÐ ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ φ1º º Ò Ú ÖØÙ ÐÐ ÐÐÒÒÒÖÖØØ
г³ÕÙÙØØÓÒ ××ØØ××××ØØ ÔÔÖ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ φ1 ´´ÕÕØØÓÒ ½¿ºººµ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
ÒÒÖÖÐÐ φ1 =
P
q A q (T )e
ii q.. r + c.c.º
ÇÖ ÑÓÓÓ ÓÙÖÖÖÖ Ò e
ii q.. r ÒÒ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÔÔ× ÒÒÒÒ××××ÖÖÑÑÒØ
ÙÒ ØØØ ×ÔÔØØØÐÐÑÑÒØ ÓÖÖÓÒÒÒ ÙÜ ÑÑÒ××ÓÒ׺ ÍÒ ØØØ ÓÖÖÓÒÒÒ ÒÒ ÓÓØ ÖÖ Ô¹
ÔÔÖÖÖØÖÖ ÕÙÙ ÖØØØÒÒ× ÓÖÖÖÒØØØØÓÒ× × ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× ´×ÝÑÑØÖÖÖ ÖÖÖÖ¸ ÜÜÜÓÒÒÐи
Øغ¸ ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ½¿º¿º½µº
½¿ººº¾ ÈÖÓÓÐÐÑÑ ÖÖÚØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÔÔÖØØÖ ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ× × ÖÑÓÒÒÕÙÙ×
ØØØÖÖ ³³ÜÜÖÖÖÖÖ¸ ÒÓÙ× Ô Ó Ù Ú ÓÒ× ÖÖÖÖÖÖÖ ÐÐ ÐÐÙÐ ××Ò× ×ÙÔÔÓ××Ö ÕÙÙ α ×Ø Ô Ô ¹
ØØغ ij³³³³ ÓÒ×××ØØ Ù×ØØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÖÖÐÐ Ò ××ÖÖÖ× ÓÙÖÖÖÖ Ø
ÖÖÖÖÓÙÔÔÖ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÖÖ×ÓÒÒÒÒØ× ÒØÖÖ Ùܺ Ò×ÙÙØØ ÓÒ ÐÐÑÑÒÒ ØØÕÙÙÑÑÒØ Ð ×
ÖÑÓÒÒÕÙÙ× ³ÓÖÖÖÖ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖº