¿¿¿
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÄÄ Ú Ò ××ÖÖÖ× ÓÙÖÖÖÖ ×ÙÖ ÙÒÒ ×× ÜÜÜÓÒÒÐÐ ÓÙÖÒÒØ
φ(r, t) =
3
X
n=1
An(t)e
ii qn.. r
+Cn(t)e
2ii qn.. r + D(t)e
i( q 1 .+ q 2 ) r
+E(t)e
i( q 1 − q 2 ).. r + F (t)e
i( q 2 + q 3 ).. r
+G(t)e
i( q 2 − q 3 ).. r
+H(t)e
i( q 1 + q 3 ).. r + J(t)e
i( q 1 + q 3 ).. r + c.c.
´½¿ºººµ
ÙÜ ÔÖÖÑÑÑÖ× ØØÖÑÑ× ××Ù× Ù ÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ Ø ÓÙÖÖÖÖ ×ÙÖ ÐÐ ××
ÜÜÜÓÒÒÐк ÄÄ ×××ÓÒÒÒ ÖÑÓÒÒÕÙÙ¸ ××ÙÙ × ØØÖÑÑ×
P 3
n=1 An(T )e
ii qn.. r + Cne
ii qn.. r
¸
ÓÙÖÒÒØ ÐÐ ÓÙÙÐÐ Ù ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ qn ´ØØÖÑÑ Cnµ¸ ÑÑÑ× × ØØÖÑÑ× ÐÐ×
ÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× ×ÓÒØ q1 ± q2 ´ÔÐÙ× ÔÔÖÑÙØØØØÓÒ ÖÖÙÐÐÐÖÖµ¸ ÕÙÙ ×ÓÒØ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ× ÔÔÖ
ÐÐ× ØØÖÑÑ× D, E, F, G, H, Jº Ò×ÙÙØظ ÖÖÑÔÐÐÐÓÒ× ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¿º½
Ø ØØÖÑÑ ØØÖÑÑ ÐÐ× ÑÑÑÑ× ÑÓÓÓ× ÓÙÖÖÖÖº ÓÒ××××ÖÓÒ׸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи
ÐÐ × Ù ÑÓÓÓ A1º ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ò× ×
∂A1
∂t
= A1 + 2αA
∗
2 A
∗
3 + ØØÖÑÑ× ÙÙÙÕÙÙ× Ò An + etc ,
´½¿ºººµ
ÓÓ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ etc ×××ÒÒ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ¹¹¹××Ù׸ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ³ÓÖÖÖÖ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ¸
ÓÒØØÒÒÒØ Ð × ÙØÖÖ× ÑÔÐÐØÙÙÙ× C, D, ...º Ò ÖÖÚÒØ Ø × ÕÙÙØØÓÒ× ××ÑÑÐÐÐÖÖ× ÔÓÙÖ
× ÑÔÐÐØÙÙÙ׸ Ø Ò ÙØØÐÐ××ÒØ Ð ³ Ô Ô Ö Ó ÜÜÑÑØØÓÒ ØØÕÙÙ ´´³³×ع¹¹¹¹ÖÖ Ò ÔÓ××ÒØ Ð
ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ × ÖÑÓÒÒÕÙÙ× ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ× ÐÐ ÞÞÖÓµ¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÜÔÖÖÑÑÖ
ÐÐ× ÑÔÐÐØÙÙÙ× × ÖÑÓÒÒÕÙÙ× ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ× Ò ÓÒÒØØÓÒ × An × ÖÒÒÒÖÖ× ×ÓÒØ
ÐÓÖ× ÒÒÒÒØØØ× Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ººº¸ Ò ÜØÖÖÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
A1 ´ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× A2 Ø A3 ×× ÔÔÖ ÔÔÖÑÙØØØØÓÒ ÖÖÙÐÐÐÖÖµº
Ò× ØØØ ÑÑÖÖ¸ Ò³³×Ø ÔÐÙ× ÙÒ ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ ³ÙÒ ÔÔØØØ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÕÙÙ ×Ø ÑÔÓÖØØÒظ ÑÑÑ× ³³×Ø ÔÐÙØØØ Ð³ÓÖÖÖÖ Ð³³³ÖÑÓÒÒÕÙÙ ÕÙÙ ÑÔÓÖØغ
ÄÄ× ÙÜ ÑÑØØÓÓÓ× ´´´Ú Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ Ù ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ¸ Ø ÚÐÓÔÔÔ¹
ÑÑÒØ Ò ÖÑÓÒÒÕÙÙµ ÓÓÒÒÒÒÒÒغ ÆÓÙ× ÚÚÓÒ× ÔÖÖ× ÐÐ ×ÓÓÒ ³³³³³ØØÖ ÐÐ ØØÖÑÑ φ
2
ÔÔÖ
ÙÒ ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ò× ÐÐ ÙØ ÖÖÒÒÖÖ ÐÐ ÓÓÓÖÖÒØ Ø × Ð ÔÔÖØ
´´ÔÔÔÖÖØØÓÒ × ØØÖÑÑ× ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ× Ù ÑÑÑÑ ÒÒÚÚÚÙ ÕÙÙ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÙÙÙÕÙÙ×µ¸ Ø ÔÔÖ
ÐйÑÑÑÑ ÖÖÒÒÖÖ ÔÐÙ× ÓÒÒÒ×× ÐРг³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙº