¿¿¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÔ φ ×Ø ÑÑÑÑ ØÝÔÔ ÕÙÙ φ 1 ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºººµ¸ Ò
×ÙÙ×ØØØÙÙÒØ A n ÔÔÖ A n +
√
B n ≡ ˜
A n Ò Ó Ù × Ú ÖÖÓÒ× ÔÐÙ× ÐÓÓÒ ÕÙÙ ÒÓÙ× Ò³³ÚÓÒ×
ÔÔ× ¸Ò ¸¸ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ B n º
ÖÖÚÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ººº гÓÖÖÖÖ
3/2
ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ
(1 + ∇
2
)
2 φ 3 = −
∂φ
∂T
+ φ 1 + ¯
αφ
2
1 − φ
3
1 .
´½¿ºº¾µ
ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ××Ò× ×××ÓÒÒ ÑÑÑÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºººµ
ÔÐÙ× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖÖº ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ××ÙÐ× ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÖÖ×ÓÒÒÒØ׸ ¸¸Ø×
×××ÙÐÐÐÖÖ׸ Ù ×××ÓÒÒ ÑÑÑÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºº¾ ÒÓÙ×
´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ ½¼µº × ØØÖÑÑ× ÖÖ×ÓÒÒÒÒØ× ×ÓÒØ ×ÓÐÙØØÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ (1 +
∇
2
)
2 φ = 0º ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÔÓÙÖ ×ÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ e
−ii qn.. r
´´ÚÚÚ
n = 1, 2, 3)º ÓÒ××××ÖÓÒ× ÐÐ× ØØÖÑÑ× Ò e
−ii q1.. r
××Ù× Ù ×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖ
г³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºº¾µº Ò ×× ÖÖ×ØÖÖÖÖÒÒÒØ ÙÜ ØØÖÑÑ× ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºº¾¸
×ÓÓØ −∂φ/∂T +φ 1 ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× × ØØÖÑÑ× ØÝÔÔ [−
∂A1
∂T +A 1 ]e
ii q1.. r
º ÄÄ ØØÖÑÑ
ÙÙÙÕÙÙ φ
3
1 ÔÖÓÓÙÙØ × ØØÖÑÑ× Ù ØÝÔÔ A 1 A
∗
1 A 1 e
ii q1.. r
Ò×× ÕÙÙ × ØØÖÑÑ× ×ÓÙ× ÐÐ
ÓÖÑÑ A 2 A
∗
2 A 1 e
ii q1.. r
Ø A 3 A
∗
3 A 1 e
ii q1.. r
´ÖÖÔÔÔÐÓÒ×¹ÒÓÙ× ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ
ÜÜÜÓÒÒÐÐ q 1 + q 2 + q 3 = 0µº ÄÄ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ÔÖÓÓÙÙØ × ØØÖÑÑ× Ù ØÝÔÔ
A
∗
2 A
∗
3 e
ii q1.. r
º
ij³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºº¾ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ³³ÚÚØØÖ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÖÖ×ÓÒÒÒÒØ×
Ù ×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ ½¼µ ÑÔÓ×× Ð³³ÒÒÙÐÐØØÓÒ
Ù ÓÓÓÓÓÓÒØ Ø e
ii q1.. r
Ù ×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖ ½¿ºº¾º ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÖ×ÙÐØØ Ò
ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ÕÙÙ Ò³³×Ø ÙØÖÖ ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÖÖÖÖÖ
∂A 1
∂T
= A 1 + 2¯ αA
∗
2 A
∗
3 − 3|A 1 |
2
− 6(|A 2 |
2
+ |A 3 |
2
)A 1 .
´½¿ºº¿µ
ÄÄ× ÑÔÐÐØÙÙÙ× A 2 Ø A 3 ¸ ÓÓØØÒÙÙ× Ò ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÖÖ×ÓÒÒÒÒØ× Ò e
ii q2.. r
Ø e
ii q3.. r
¸ ÓÓÓÓ×××ÒØ × ÕÙÙØØÓÒ× ××ÑÑÐÐÐÖÖ× ÓÓØØÒÙÙ× ÔÔÖ ÔÔÖÑÙØØØØÓÒ ÖÖÙ¹
ÐÐÐÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºº¿º
Ò×׸ ÒÓÙ× ÓÒ×ØØØÓÒ× ÐÐ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ A
∗
2 A
∗
3 г³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºº¿ ×Ø
ÒÒÙÙØ ÔÔÖ ÐÐ ØØÖÑÑ Ò α г³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºº¾º ÖÖ ÓÒÒÒÒÖÖÑÑÒØ Ø Ù Ù ×
ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ ´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ ½¼µ ÓÓ ÐÐ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ØØØØ ××Ò×
ØØÒÒÒ ÔÓÙÖ ÐÐ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙº
½¿ºº ÈÖÓÓÐÐÑÑ×
½¿ººº½ ÈÖÓÓÐÐÑÑ ÖÖÚØØÓÒ ÓÖÑÑÐÐÐ
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÆÓÙ× ÒÓÙ× ÔÖÓÔÓ×ÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ×
ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ× ×ÝÑÑØÖÖÖ× ÜÜÜÓÒÒÐÐ ÓÙ ÖÖÖÖ¸ Ò ÔÓÙÖ ÑÓÓÓÐÐ
ÔÔÖØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ËÛÛÛعÀÓÓÓÒÒÒÖÖ ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º½µº
ü г³Ò×ØØÖ Ù ÔÖÓÓÓÓÓ ÓÔØØ Ò× ÐРг³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÒÒ¹
ÚÚÖ××ÐÐÐ ´ÚÓÓÖ ½¼µ¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÐÐÒØØ× Ù
ÔÖÓÓÐÐÑѺ Ò ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØØ ´´ººº Ò Ð³³Ò××ÑÑÐÐ × ÑÓÓÓ× Ò×ØØØÐÐ×µ¸
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÔ φ ×Ø ÑÑÑÑ ØÝÔÔ ÕÙÙ φ 1 ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºººµ¸ Ò
×ÙÙ×ØØØÙÙÒØ A n ÔÔÖ A n +
√
B n ≡ ˜
A n Ò Ó Ù × Ú ÖÖÓÒ× ÔÐÙ× ÐÓÓÒ ÕÙÙ ÒÓÙ× Ò³³ÚÓÒ×
ÔÔ× ¸Ò ¸¸ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ B n º
ÖÖÚÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ººº гÓÖÖÖÖ
3/2
ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ
(1 + ∇
2
)
2 φ 3 = −
∂φ
∂T
+ φ 1 + ¯
αφ
2
1 − φ
3
1 .
´½¿ºº¾µ
ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ××Ò× ×××ÓÒÒ ÑÑÑÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºººµ
ÔÐÙ× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖÖº ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ××ÙÐ× ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÖÖ×ÓÒÒÒØ׸ ¸¸Ø×
×××ÙÐÐÐÖÖ׸ Ù ×××ÓÒÒ ÑÑÑÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºº¾ ÒÓÙ×
´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ ½¼µº × ØØÖÑÑ× ÖÖ×ÓÒÒÒÒØ× ×ÓÒØ ×ÓÐÙØØÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ (1 +
∇
2
)
2 φ = 0º ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÔÓÙÖ ×ÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ e
−ii qn.. r
´´ÚÚÚ
n = 1, 2, 3)º ÓÒ××××ÖÓÒ× ÐÐ× ØØÖÑÑ× Ò e
−ii q1.. r
××Ù× Ù ×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖ
г³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºº¾µº Ò ×× ÖÖ×ØÖÖÖÖÒÒÒØ ÙÜ ØØÖÑÑ× ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºº¾¸
×ÓÓØ −∂φ/∂T +φ 1 ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× × ØØÖÑÑ× ØÝÔÔ [−
∂A1
∂T +A 1 ]e
ii q1.. r
º ÄÄ ØØÖÑÑ
ÙÙÙÕÙÙ φ
3
1 ÔÖÓÓÙÙØ × ØØÖÑÑ× Ù ØÝÔÔ A 1 A
∗
1 A 1 e
ii q1.. r
Ò×× ÕÙÙ × ØØÖÑÑ× ×ÓÙ× ÐÐ
ÓÖÑÑ A 2 A
∗
2 A 1 e
ii q1.. r
Ø A 3 A
∗
3 A 1 e
ii q1.. r
´ÖÖÔÔÔÐÓÒ×¹ÒÓÙ× ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ
ÜÜÜÓÒÒÐÐ q 1 + q 2 + q 3 = 0µº ÄÄ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ÔÖÓÓÙÙØ × ØØÖÑÑ× Ù ØÝÔÔ
A
∗
2 A
∗
3 e
ii q1.. r
º
ij³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºº¾ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ³³ÚÚØØÖ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÖÖ×ÓÒÒÒÒØ×
Ù ×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ ½¼µ ÑÔÓ×× Ð³³ÒÒÙÐÐØØÓÒ
Ù ÓÓÓÓÓÓÒØ Ø e
ii q1.. r
Ù ×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖ ½¿ºº¾º ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÖ×ÙÐØØ Ò
ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ÕÙÙ Ò³³×Ø ÙØÖÖ ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÖÖÖÖÖ
∂A 1
∂T
= A 1 + 2¯ αA
∗
2 A
∗
3 − 3|A 1 |
2
− 6(|A 2 |
2
+ |A 3 |
2
)A 1 .
´½¿ºº¿µ
ÄÄ× ÑÔÐÐØÙÙÙ× A 2 Ø A 3 ¸ ÓÓØØÒÙÙ× Ò ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÖÖ×ÓÒÒÒÒØ× Ò e
ii q2.. r
Ø e
ii q3.. r
¸ ÓÓÓÓ×××ÒØ × ÕÙÙØØÓÒ× ××ÑÑÐÐÐÖÖ× ÓÓØØÒÙÙ× ÔÔÖ ÔÔÖÑÙØØØØÓÒ ÖÖÙ¹
ÐÐÐÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºº¿º
Ò×׸ ÒÓÙ× ÓÒ×ØØØÓÒ× ÐÐ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ A
∗
2 A
∗
3 г³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºº¿ ×Ø
ÒÒÙÙØ ÔÔÖ ÐÐ ØØÖÑÑ Ò α г³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºº¾º ÖÖ ÓÒÒÒÒÖÖÑÑÒØ Ø Ù Ù ×
ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ ´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ ½¼µ ÓÓ ÐÐ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ØØØØ ××Ò×
ØØÒÒÒ ÔÓÙÖ ÐÐ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙº
½¿ºº ÈÖÓÓÐÐÑÑ×
½¿ººº½ ÈÖÓÓÐÐÑÑ ÖÖÚØØÓÒ ÓÖÑÑÐÐÐ
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÆÓÙ× ÒÓÙ× ÔÖÓÔÓ×ÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ×
ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ× ×ÝÑÑØÖÖÖ× ÜÜÜÓÒÒÐÐ ÓÙ ÖÖÖÖ¸ Ò ÔÓÙÖ ÑÓÓÓÐÐ
ÔÔÖØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ËÛÛÛعÀÓÓÓÒÒÒÖÖ ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º½µº
ü г³Ò×ØØÖ Ù ÔÖÓÓÓÓÓ ÓÔØØ Ò× ÐРг³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÒÒ¹
ÚÚÖ××ÐÐÐ ´ÚÓÓÖ ½¼µ¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÐÐÒØØ× Ù
ÔÖÓÓÐÐÑѺ Ò ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØØ ´´ººº Ò Ð³³Ò××ÑÑÐÐ × ÑÓÓÓ× Ò×ØØØÐÐ×µ¸