½¿º ËØÖÙÙØÙÖÖ× ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ×
¿¿½
ÖÖÖÖ× ×ÓÒØ Ò×ØØØÐÐ× ÐÓÖ×ÕÙÙ ν > 1 Ø ÐÐÐ× ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ× ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ nu
ÑÓÓÙÐÐ ÒÒÒÖÖÖÙÖ Ð³ÙÒÒØØ ´´ººº −1 < ν < 1µº
Ò ÖÖ×ÙÑѸ Ò ÑÑØØØÒØ ÕÙÙ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÜÓÓÓÒÒÐÐ ×ÓÓØ ÜÜÐÙÙ × ×Ó¹
ÐÙØØÓÒ× ÔÓ××××ÐÐ× Ù Ø × ×ÝÑÑØÖÖÖ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÖظ ÒÓÙ×
ÚÓÒ× ÓÒÒ ÓÑÔÔÖÖÖ ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ÖÖÖÖ× ÐÐÐ× × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× Ò ÒÒÒ׺
ÓÑÔØØ ØØÒÙ × ÖÖ×ÙÐØØØ× ×ØØØØÐÐØظ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÓÒÒÐÙ××ÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
ÐÐ× ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÖÖÖÖ× ÜÜ×ØØÒØ ÐÓÖ×ÕÙÙ ν > −1 Ø ÐÐÐ× ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ× Ò×
г³ÒØØÖÚÐÐÐ −1 < ν < 1
ÐÐ× ÒÒÒ× ÜÜ×ØØÒØ Ø Ó Ù Ó Ù Ö × × Ø Ø Ð Ð × × Ó Ò Ø ×ØØØÐÐ× ÐÓÖ×ÕÙÙ ν > 1º
ÆÓØÓÒ× ÒÒÒ ÕÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ×ÝÑÑØÖÖÖ× ÔÔÖÑÑØØØÒØ × ØØÖÑÑ× ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ׸
ÐÐ× ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÜÜÜÓÒÒÐÐ× ÔÓ××××ÐÐ׺ ÆÓÙ× ÐÓÖ× ÓÑÔÔÖÖÖ
ÐÐÙÖ ×ØØØØÐÐØØ ÖÖÐÐØØÚÚ Ò ÖÖÖÖÖÖ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÖÖÖÖ׺ ÓÑÑÑ ÐÐ× ÜÜÜÓÒÒ×
×ÓÒØ ××Ù× ³ÙÒÒ ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ ÔÐÙ× Ðи ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÒÓÙ× ØØØÒÒÖÖ
ÕÙ³³ÐÐÐ× Ò ÒÒÖÖи ×ÙÖ ÐÐ× ÙØÖÖ× ×ØÖÙÙØÙÖÖ׺ ÆÆÆÒÑÓÓÒ׸ Ð ×Ø ÔÓ×¹
×××ÐÐ ³³ÑÑÑÑÒÒÖ × ××ØÙÙØØÓÒ× Ò× ÐÐ×ÕÙÙÐÐÐ× ÐÐ× ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÖÖÖÖ× ´ÓÙ ÖÖÖØØÒ¹
ÙÐÐÐÖÖ׸ Øغµ ÓÑÔÔØØØØÚ× ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÙÜ ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÜÓÒÒÐÐ×
Ø ÔÔÙÚÒØ ØØØ ÕÙÙ×ØØÓÒ ÐÐ ÓÑÔÔØØØØÓÒ ÒØÖÖ ÐÐ×
×ØÖÙÙØÙÖÖ× ×ÝÑÑØÖÖÖ× ×ÓÖØ Ù ÖÖ Ø ÓÙÚÖÖÖÖ¸ ÐÐ ÙØ
ÖÖÖÖÖ ØØÒØ ÑÓÒØÖÖÖ ÐÐ× ÖÖÒÒÒ× ÖÖÖÖÖ××× Ø ÚÚÖÖÖØØ ×ÓÐÙØØÓÒ× Ò
ÑÑØØØÖÖ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ý×ØØÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ½¿ º
½¿ºº ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×ØÖÙÙØÙÖÖ×
ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ× ×ÝÑÑØÖÖÖ ÜÜÜÓÒÒÐÐ
ij³ØÙÙ٠гÓÖÖÖÖ ÜÜÜÓÒÒÐ ÒÓÙ× ÑÑÒÒ ÒÓÙ× ÖÖ×ØÖÖÖÒÒÖÖ ÙÜ ÑÓÓÓ×
ÓÙÖÖÖÖ q i ¸ ¸ ÚÚÚ i = 1, 2, 3 ÚÚÖÖÖÖÒØ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ q 1 + q 2 + q 3 = 0 ´ÚÓÓÖ ¹
ÙÖÖ ½¿º¾µ¸ ÑÑÒÒÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ φ 1 ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ
½¿º½¿µ
φ 1 ( r, T ) =
3
n=1
A n (T )e
− qn.. r
+ A n (T )e
−ii qn.. r .
´½¿ºº¼µ
ÖÖÚÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ººº гÓÖÖÖÖ
(1 + ∇
2
)
2 φ 2 = 0 .
´½¿ºº½µ
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ÐÐÐ ÕÙÙ ØØ ÓÓØØÒÙ٠гÓÖÖÖÖ
1/2
ÔÓÙÖ φ 1
´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºººµ Ø ÔÔÖ ÓÒ××ÕÙÙÒظ φ 2 ×Ø ÐÐ ÑÑÑÑ ÓÖÑÑ ÕÙÙ φ 1 ´´ÕÙÙØØÓÒ
½¿ºººµ Ú ÔÓÙÖ ÑÔÐÐØÙÙÙ × ÕÙÙÒØØØØ× ÒÓØØØ× B n (T ))º ÄÄ ÑÔ φ¸ Ø
ÓÖÖÖÖ¸ ×Ø ÓÒÒ ÓÒÒÒ ÔÔÖ φ =
1/2 φ 1 + φ 2 º
ÓÑÔØØ ØØÒÙ × ×ÓÐÙØØÓÒ× φ 1 Ø φ 2 ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ××ØØ××××ØØ ÔÔÖ φ ÓÓÓÓØ ÐÐ
ÑÑÑÑ ÕÙÙØØÓÒ φ 1 ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºººµ Ø φ 2 ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºº½µ Ø ÓÒÒ
½¿ ÁÐ ÓÒÚÚÚÒØ ÔÖÖÖÖ××Ö ÕÙÙ ÐÐ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÖÖÖÖ×
ÒÒ ×× ÔÔ× ÐÐÐ× × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÜÜÜÓÒÒÐÐ× ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ Ò ÔÓ××ÒØ A 3 = 0µº ÄÄ
ØØÖÑÑÒÒØØÓÒ × ÓÓØ ×× ÖÖ × ÔÔÖ ×º
¿¿½
ÖÖÖÖ× ×ÓÒØ Ò×ØØØÐÐ× ÐÓÖ×ÕÙÙ ν > 1 Ø ÐÐÐ× ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ× ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ nu
ÑÓÓÙÐÐ ÒÒÒÖÖÖÙÖ Ð³ÙÒÒØØ ´´ººº −1 < ν < 1µº
Ò ÖÖ×ÙÑѸ Ò ÑÑØØØÒØ ÕÙÙ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÜÓÓÓÒÒÐÐ ×ÓÓØ ÜÜÐÙÙ × ×Ó¹
ÐÙØØÓÒ× ÔÓ××××ÐÐ× Ù Ø × ×ÝÑÑØÖÖÖ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÖظ ÒÓÙ×
ÚÓÒ× ÓÒÒ ÓÑÔÔÖÖÖ ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ÖÖÖÖ× ÐÐÐ× × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× Ò ÒÒÒ׺
ÓÑÔØØ ØØÒÙ × ÖÖ×ÙÐØØØ× ×ØØØØÐÐØظ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÓÒÒÐÙ××ÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
ÐÐ× ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÖÖÖÖ× ÜÜ×ØØÒØ ÐÓÖ×ÕÙÙ ν > −1 Ø ÐÐÐ× ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ× Ò×
г³ÒØØÖÚÐÐÐ −1 < ν < 1
ÐÐ× ÒÒÒ× ÜÜ×ØØÒØ Ø Ó Ù Ó Ù Ö × × Ø Ø Ð Ð × × Ó Ò Ø ×ØØØÐÐ× ÐÓÖ×ÕÙÙ ν > 1º
ÆÓØÓÒ× ÒÒÒ ÕÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ×ÝÑÑØÖÖÖ× ÔÔÖÑÑØØØÒØ × ØØÖÑÑ× ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ׸
ÐÐ× ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÜÜÜÓÒÒÐÐ× ÔÓ××××ÐÐ׺ ÆÓÙ× ÐÓÖ× ÓÑÔÔÖÖÖ
ÐÐÙÖ ×ØØØØÐÐØØ ÖÖÐÐØØÚÚ Ò ÖÖÖÖÖÖ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÖÖÖÖ׺ ÓÑÑÑ ÐÐ× ÜÜÜÓÒÒ×
×ÓÒØ ××Ù× ³ÙÒÒ ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ ÔÐÙ× Ðи ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÒÓÙ× ØØØÒÒÖÖ
ÕÙ³³ÐÐÐ× Ò ÒÒÖÖи ×ÙÖ ÐÐ× ÙØÖÖ× ×ØÖÙÙØÙÖÖ׺ ÆÆÆÒÑÓÓÒ׸ Ð ×Ø ÔÓ×¹
×××ÐÐ ³³ÑÑÑÑÒÒÖ × ××ØÙÙØØÓÒ× Ò× ÐÐ×ÕÙÙÐÐÐ× ÐÐ× ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÖÖÖÖ× ´ÓÙ ÖÖÖØØÒ¹
ÙÐÐÐÖÖ׸ Øغµ ÓÑÔÔØØØØÚ× ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÙÜ ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÜÓÒÒÐÐ×
Ø ÔÔÙÚÒØ ØØØ ÕÙÙ×ØØÓÒ ÐÐ ÓÑÔÔØØØØÓÒ ÒØÖÖ ÐÐ×
×ØÖÙÙØÙÖÖ× ×ÝÑÑØÖÖÖ× ×ÓÖØ Ù ÖÖ Ø ÓÙÚÖÖÖÖ¸ ÐÐ ÙØ
ÖÖÖÖÖ ØØÒØ ÑÓÒØÖÖÖ ÐÐ× ÖÖÒÒÒ× ÖÖÖÖÖ××× Ø ÚÚÖÖÖØØ ×ÓÐÙØØÓÒ× Ò
ÑÑØØØÖÖ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ý×ØØÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ½¿ º
½¿ºº ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×ØÖÙÙØÙÖÖ×
ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ× ×ÝÑÑØÖÖÖ ÜÜÜÓÒÒÐÐ
ij³ØÙÙ٠гÓÖÖÖÖ ÜÜÜÓÒÒÐ ÒÓÙ× ÑÑÒÒ ÒÓÙ× ÖÖ×ØÖÖÖÒÒÖÖ ÙÜ ÑÓÓÓ×
ÓÙÖÖÖÖ q i ¸ ¸ ÚÚÚ i = 1, 2, 3 ÚÚÖÖÖÖÒØ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ q 1 + q 2 + q 3 = 0 ´ÚÓÓÖ ¹
ÙÖÖ ½¿º¾µ¸ ÑÑÒÒÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ φ 1 ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ
½¿º½¿µ
φ 1 ( r, T ) =
3
n=1
A n (T )e
− qn.. r
+ A n (T )e
−ii qn.. r .
´½¿ºº¼µ
ÖÖÚÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ººº гÓÖÖÖÖ
(1 + ∇
2
)
2 φ 2 = 0 .
´½¿ºº½µ
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ÐÐÐ ÕÙÙ ØØ ÓÓØØÒÙ٠гÓÖÖÖÖ
1/2
ÔÓÙÖ φ 1
´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºººµ Ø ÔÔÖ ÓÒ××ÕÙÙÒظ φ 2 ×Ø ÐÐ ÑÑÑÑ ÓÖÑÑ ÕÙÙ φ 1 ´´ÕÙÙØØÓÒ
½¿ºººµ Ú ÔÓÙÖ ÑÔÐÐØÙÙÙ × ÕÙÙÒØØØØ× ÒÓØØØ× B n (T ))º ÄÄ ÑÔ φ¸ Ø
ÓÖÖÖÖ¸ ×Ø ÓÒÒ ÓÒÒÒ ÔÔÖ φ =
1/2 φ 1 + φ 2 º
ÓÑÔØØ ØØÒÙ × ×ÓÐÙØØÓÒ× φ 1 Ø φ 2 ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ××ØØ××××ØØ ÔÔÖ φ ÓÓÓÓØ ÐÐ
ÑÑÑÑ ÕÙÙØØÓÒ φ 1 ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºººµ Ø φ 2 ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºº½µ Ø ÓÒÒ
½¿ ÁÐ ÓÒÚÚÚÒØ ÔÖÖÖÖ××Ö ÕÙÙ ÐÐ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÖÖÖÖ×
ÒÒ ×× ÔÔ× ÐÐÐ× × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÜÜÜÓÒÒÐÐ× ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ Ò ÔÓ××ÒØ A 3 = 0µº ÄÄ
ØØÖÑÑÒÒØØÓÒ × ÓÓØ ×× ÖÖ × ÔÔÖ ×º