¿¿¼
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
³³ÕÙÙØØÓÒ׸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ ÒÒÖÖÖ
σ = λ 1 = − 3R
2
0 − 2νR
2
0 .
´½¿ºººµ
Ò ÙØØÐÐ××ÒØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÚÚÖÖÖÖÖ ÔÔÖ R 0 ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºº¼µ¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖÖÖÖÖ
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÓÑÑÑ
σ =
2(ν − 1)
1 + 2ν
− 2
R 0 (2 + ν)γ
1 + 2ν
.
´½¿ºººµ
ÄÄ ×××ÒÒ σ ×Ø ÐÙ٠г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ (ν − 1)(1 + 2ν) − R 0 (2 + ν)γº
ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ R 0− ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ× Ò×ØØØÐÐ Ø Ò ÖÖÑÔÐÐÐÐÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
R 0 ÔÔÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ R 0+ ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÕÙÙ σ ×Ø ÔÓ××ØØØ ×× ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
×Ø ÚÖÖÖÖÖ
> > H =
γ
2
(2 + ν)
(1 − ν) 2 .
´½¿ºººµ
ظ ÐÐ× ÜÜÜÓÒÒ× ×ÓÒØ Ò×ØØØÐÐ× ÐÓÓÒ Ù ××ÙÙÐ ÐÐÙÖ ÒÒÒ×××ÒÒÒ ´ÚÓÓÖ
ÐÐ ÙÖÖ ½¿ºº ÕÙÙ ÐÐÙ×ØÖÖ ÐÐ ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ Ø ×ØØØØÐÐØصº ÆÓÙ×
ÔÓÙÚÓÒ× ÚÚÖÖÖÖÖ ÕÙ³³Ð ÜÜ×ØØ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ØØ ÑÑÜØØ
´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ÖÖÖØØÖÖ××× ÔÔÖ × R i ØØÐ× ÕÙÙ R 1 = R 2 = R 0 =
[(−U
2
)/(1+ν)]
1/2
¸ ¸ Ø R 3 = U = γ/(n−1)º ij³ØÙÙÙ ×ØØØØÐÐØØ ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ
ÑÓÒØÖÖ ÕÙ³³ÐÐÐ ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ× Ò×ØØØÐк ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ¸ ÔÓÙÖ = H ¸ Ð Ú ÐÐÙÖ R 0
×Ø ÐÐ U ¸ Ø ÔÔÖ ÓÒ××ÕÙÙÒØ Ð Ö Ò ÑÑÜØØ ÖÓÓ×× ÐÐ ÜÜÜÓÒÒÐÐ
ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒØ ÐÐ ÓÓ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ × ÜÜÜÓÒÒ× ×× ÑÓÓÓÓÓ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¿ººµº
½¿ººº¿ ËØØØØÐÐØØ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÖÖÖÖ×
ÈÓÙÖ ØÙÙÙÙÖ ÐÐ× ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÖÖÖÖ׸ ÖÖÔÖÖÒÓÒ× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ × ÕÙÙØØÓÒ× ½¿º¿¿
Ø ½¿º¿¿º ÁÐ ÜÜ×ØØ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ R
0
1 = R
0
2 = R 0 = ±
/(1 + ν)º
ÈÓÙÖ > 0¸ Ò Ó Ù × × Ú ÓÒ× ÑÔÓ××Ö ν > −1º È Ó×ÓÒ× R i = R 0 + δ i ´i = 1, 2µ ظ Ò
ÐÐÒÒÒÖÖ××ÒØ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ × ÕÙÙØØÓÒ× ½¿º¿¿ Ø ½¿º¿¿¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ
×Ý×ØØÑÑ ×ÙÙÚÒØ Ø
˙
δ 1 = −2δ 1 − 2νR
2
0 δ2 ,
˙
δ 2 = −2δ 2 − 2νR
2
0 δ1 .
Ò ÖÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÙÙÚÚÒØØ δ i ∼ e
σt
Ø Ò
ÒÒÙÐÐÒØ ÐÐ ØØÖÑÑÒÒÒظ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÜ ÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ×
σ 1 =
2(1 − ν)
1 + ν
, σ 2 = −2 .
´½¿ºººµ
ÓÒÒÒ ÕÙÙ ν > −1¸ Ð ÚÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ σ 1 ×Ø ÔÓ××ØØÚ ´´´× ³³Ò×ØØØØÐÐØص¸
ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ν ×Ø ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ Ð³ÙÒÒØØ ´´ººº ν > 1µº ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÒÒÒÒ××××ÖÖÑÑÒØ ÔÓ××ØØظ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÔÓÙÖ ÕÙÙ ÐÐ× ÔÓÓÒØ×
ÜÜ× ÒÒ ×ÓÓÓÒØ ÔÔ× ÖÖÖÙÙØ× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ØÖÖÚÚÚÐÐ R 0 = 0º ÓÒÒ¸ ÐÐ× ×ØÖÙÙØÙÖÖ×
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
³³ÕÙÙØØÓÒ׸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ ÒÒÖÖÖ
σ = λ 1 = − 3R
2
0 − 2νR
2
0 .
´½¿ºººµ
Ò ÙØØÐÐ××ÒØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÚÚÖÖÖÖÖ ÔÔÖ R 0 ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºº¼µ¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖÖÖÖÖ
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÓÑÑÑ
σ =
2(ν − 1)
1 + 2ν
− 2
R 0 (2 + ν)γ
1 + 2ν
.
´½¿ºººµ
ÄÄ ×××ÒÒ σ ×Ø ÐÙ٠г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ (ν − 1)(1 + 2ν) − R 0 (2 + ν)γº
ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ R 0− ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ× Ò×ØØØÐÐ Ø Ò ÖÖÑÔÐÐÐÐÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
R 0 ÔÔÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ R 0+ ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÕÙÙ σ ×Ø ÔÓ××ØØØ ×× ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
×Ø ÚÖÖÖÖÖ
> > H =
γ
2
(2 + ν)
(1 − ν) 2 .
´½¿ºººµ
ظ ÐÐ× ÜÜÜÓÒÒ× ×ÓÒØ Ò×ØØØÐÐ× ÐÓÓÒ Ù ××ÙÙÐ ÐÐÙÖ ÒÒÒ×××ÒÒÒ ´ÚÓÓÖ
ÐÐ ÙÖÖ ½¿ºº ÕÙÙ ÐÐÙ×ØÖÖ ÐÐ ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ Ø ×ØØØØÐÐØصº ÆÓÙ×
ÔÓÙÚÓÒ× ÚÚÖÖÖÖÖ ÕÙ³³Ð ÜÜ×ØØ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ØØ ÑÑÜØØ
´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ÖÖÖØØÖÖ××× ÔÔÖ × R i ØØÐ× ÕÙÙ R 1 = R 2 = R 0 =
[(−U
2
)/(1+ν)]
1/2
¸ ¸ Ø R 3 = U = γ/(n−1)º ij³ØÙÙÙ ×ØØØØÐÐØØ ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ
ÑÓÒØÖÖ ÕÙ³³ÐÐÐ ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ× Ò×ØØØÐк ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ¸ ÔÓÙÖ = H ¸ Ð Ú ÐÐÙÖ R 0
×Ø ÐÐ U ¸ Ø ÔÔÖ ÓÒ××ÕÙÙÒØ Ð Ö Ò ÑÑÜØØ ÖÓÓ×× ÐÐ ÜÜÜÓÒÒÐÐ
ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒØ ÐÐ ÓÓ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ × ÜÜÜÓÒÒ× ×× ÑÓÓÓÓÓ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¿ººµº
½¿ººº¿ ËØØØØÐÐØØ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÖÖÖÖ×
ÈÓÙÖ ØÙÙÙÙÖ ÐÐ× ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÖÖÖÖ׸ ÖÖÔÖÖÒÓÒ× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ × ÕÙÙØØÓÒ× ½¿º¿¿
Ø ½¿º¿¿º ÁÐ ÜÜ×ØØ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ R
0
1 = R
0
2 = R 0 = ±
/(1 + ν)º
ÈÓÙÖ > 0¸ Ò Ó Ù × × Ú ÓÒ× ÑÔÓ××Ö ν > −1º È Ó×ÓÒ× R i = R 0 + δ i ´i = 1, 2µ ظ Ò
ÐÐÒÒÒÖÖ××ÒØ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ × ÕÙÙØØÓÒ× ½¿º¿¿ Ø ½¿º¿¿¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ
×Ý×ØØÑÑ ×ÙÙÚÒØ Ø
˙
δ 1 = −2δ 1 − 2νR
2
0 δ2 ,
˙
δ 2 = −2δ 2 − 2νR
2
0 δ1 .
Ò ÖÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÙÙÚÚÒØØ δ i ∼ e
σt
Ø Ò
ÒÒÙÐÐÒØ ÐÐ ØØÖÑÑÒÒÒظ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÜ ÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ×
σ 1 =
2(1 − ν)
1 + ν
, σ 2 = −2 .
´½¿ºººµ
ÓÒÒÒ ÕÙÙ ν > −1¸ Ð ÚÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ σ 1 ×Ø ÔÓ××ØØÚ ´´´× ³³Ò×ØØØØÐÐØص¸
ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ν ×Ø ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ Ð³ÙÒÒØØ ´´ººº ν > 1µº ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÒÒÒÒ××××ÖÖÑÑÒØ ÔÓ××ØØظ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÔÓÙÖ ÕÙÙ ÐÐ× ÔÓÓÒØ×
ÜÜ× ÒÒ ×ÓÓÓÒØ ÔÔ× ÖÖÖÙÙØ× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ØÖÖÚÚÚÐÐ R 0 = 0º ÓÒÒ¸ ÐÐ× ×ØÖÙÙØÙÖÖ×