½¿º ËØÖÙÙØÙÖÖ× ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ×
¿¾¾
ÔÔÖظ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ò R 1 Ø R 2 ¸ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ
×ÙÙÚÒØ Ø
˙
R 1 = R 1 − [R
2
1 + νR
2
2 ]R 1 ,
´½¿º¿¿µ
˙
R 2 = R 2 − [R
2
2 + νR
2
1 ]R 1 .
´½¿º¿¿µ
ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ×Ø ÒØØÕÙÙ ÐÐÐ ÓÓØØÒÙÙ ÔÐÙ× Ùغ ij³ØÙÙÙ
×ØØØØÐÐØØ ÐÐ ÑÑÑÑ ÕÙÙØØÓÒ Ò δ 1 ¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐÐ ÚÚÖÖÖÖÖ ÔÔÖ δ 2 ÓÓÓÓØ
г³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ ˙
δ 2 = (1 − ν)δ 2 Ø ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ σ
ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÙÙÚ σ = (1 − ν)º Ò×׸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ν < 1¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ
ÑÑÑÑ ÖÖ×ÙÐØØØ ××Ù Ù ÔÓÓÒØ ÔÔÖØ ³ÙÒÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÜÜÜÓÒÒÐи ××ÚÓÓÖ ÐÐ×
ÒÒÒ× ×ÓÒØ ØÓÙÙÓÙÖ× Ò×ØØØÐÐ׺ Ò ÖÖÚ ÐÓÖ×ÕÙÙ ν > 1¸ ÒÓÙ× Ò³ÓÓØØÒÓÒ×
ÙÙÙÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ × ÒÒÒ× ÐÐ× ÒÒÒ× ×ÓÒØ ØÓÙÙÓÙÖ× ×ØØØÐÐ׺
Ò×׸ Ò ÔÔÖØØÒØ Ø × ÕÙÙØØÓÒ× ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ø ÐÐ ×ØÖÙÙØÙÖÖ ÖÖÖÖ¸ ÒÓÙ×
ÓÓØØÒÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ÒÒÒ× ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ׸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ν > 1 Ø ÕÙÙÐÐÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ
Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ¸ ØØÒÒÒ× ÕÙ³³Ò ÔÔÖØØÒØ × ÕÙÙØØÓÒ× × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÜÜÜÓÒÒÐÐ׸
ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÑÓÒØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ× ÒÒÒ× ÒÒ ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ× ÕÙ³³ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
> > b ´´ÓÒÒÒØØÓÒ ½¿º¿¿µº
ÓÒÒÒÐÐÐÖ × ÙÜ ÖÖ×ÙÐØØØ× Ò ÔÔÔÖÖÒÒÒ ÓÒÒÒÒØÙÙÐ× Ò Ø¸ ÐÐ
ÖÖÒÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ× ÔÓÙÖ ν > 1 ÔÖÓÚÚÚÒØ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ Ù ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖ¹
ØØÕÙÙ Ò γ Ò× ÐÐ × ÜÜÜÓÒÒк ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ØÓÙØ ÕÙ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø
ØØ ×ØØØÐÐ ×× ÐÐÐ ×× ×ØØØØÐÐØØ Ò ÖÖÖÖÖÖ ØÓÙØ ØÝÔÔ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ
ÔÔÖÑÑ×× ÔÔÖ ÐÐ× ×ÝÑÑØÖÖÖ׺
ÇÖ¸ ×× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÔÔÖظ ØØÐÐРг³ÕÙÙØØÓÒ ËÛÛÛعÀÓÓÓÒÒÒÖÖ ÑÓÓÓ¹
´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º½µ¸ ÒÒ ÓÙÙ×××ÒØ ÔÔ× ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÙØ»»»× ´´ººº ÓÔÔÖÖØØÓÒ
×ÝÑÑØÖÖÖ ψ → −ψµ¸ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ Ù ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ´ÔÖÓÔÓÖØØÓÒÒÒÐ
γµ µµÒ× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÚÚÚÒØ ÔÓ××××ÐÐ ÔÔÖ ÓÒ××ÕÙÙÒظ ÐÐ× ÔÔÖ¹
ØÙÖÖÖØØÓÒ× ØÝÔÔ ×ÓÒØ Ò ÙØÓÖÖ×××׺ Ò×׸ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ×
ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ× ÖÖ×ØÖÖÖÒØ ÐÐ ÓÑÑÑÒÒ ×ØØØØÐÐØØ Ò ÐÐÑÑØØÒØ ÐÐ× ÚÐÐÙÖ× ÕÙÙ ÔÔÙØ
ÓÔØØÖ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º¿¿µº ÄÓÖ×ÕÙÙ¸ Ò ÖÖÚ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ×
ÔÔÖØ ÔÓ×××××ÒØ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÙØ»»»× ´´ººº ψ → −ψµ¸ ÐÐ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ
Ò γ ×Ø ××ÒØ Ø ÐÐ× ÒÒÒ× ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ× ÕÙÙÐÐÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ´ÐÓÖ×ÕÙÙ
ν > 1µº ÊÊ×ØØ ØÙÙÙÙÖ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÖÖÒØØ× ×ÝÑÑØÖÖÖ× ÔÓÙÖ
ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ÓÓÓÖÖÒÒÒ × ÙÜ ÖÖ×ÙÐØØØ׸ ØÙÙÙ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÒÓÙ× ÐÐÓÒ×
ÔÖÓÓÓÓÓÖ Ò× ÐÐ× ÙÜ ×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ× ×ÙÙÚ ÓÒ×××ÖÖÖ× ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ×
×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÜÜÜÓÒÒÐÐ× Ø ÖÖÖÖ× ÒÓÙ× ÓÑÔÔÖÖÖÓÒ× ÐÓÖ× ÐÐ× ÖÖ×ÙÐØØØ× ÓÓØØÒÙ×
ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× Ò ÒÒÒ׺
½¿ººº¾ ËØØØØÐÐØØ × ÜÜÜÓÒÒ×
ÍÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ÜÜÜÓÒÒÐÐ × ÚÚÖÖÖÖÐÐ× R i ÑÑÑÑ
ÚÚÐÐÙÖ¸ ÐÐ× ÓÒÒ R 0 ´×ÓÓØ R i = R 0 ¸ i = 1, 2, 3µº ü ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ò R 1 ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º¾¾µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ
ÐÐÕÙÙÐÐÐ ××ØØ××××Ø R 0 ¸ × Ó Ø Ø
R 0 + γR
2
0 − R
3
0 (1 + 2ν) = 0 .
´½¿ºº¼µ
¿¾¾
ÔÔÖظ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ò R 1 Ø R 2 ¸ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ
×ÙÙÚÒØ Ø
˙
R 1 = R 1 − [R
2
1 + νR
2
2 ]R 1 ,
´½¿º¿¿µ
˙
R 2 = R 2 − [R
2
2 + νR
2
1 ]R 1 .
´½¿º¿¿µ
ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ×Ø ÒØØÕÙÙ ÐÐÐ ÓÓØØÒÙÙ ÔÐÙ× Ùغ ij³ØÙÙÙ
×ØØØØÐÐØØ ÐÐ ÑÑÑÑ ÕÙÙØØÓÒ Ò δ 1 ¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐÐ ÚÚÖÖÖÖÖ ÔÔÖ δ 2 ÓÓÓÓØ
г³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ ˙
δ 2 = (1 − ν)δ 2 Ø ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ σ
ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÙÙÚ σ = (1 − ν)º Ò×׸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ν < 1¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ
ÑÑÑÑ ÖÖ×ÙÐØØØ ××Ù Ù ÔÓÓÒØ ÔÔÖØ ³ÙÒÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÜÜÜÓÒÒÐи ××ÚÓÓÖ ÐÐ×
ÒÒÒ× ×ÓÒØ ØÓÙÙÓÙÖ× Ò×ØØØÐÐ׺ Ò ÖÖÚ ÐÓÖ×ÕÙÙ ν > 1¸ ÒÓÙ× Ò³ÓÓØØÒÓÒ×
ÙÙÙÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ × ÒÒÒ× ÐÐ× ÒÒÒ× ×ÓÒØ ØÓÙÙÓÙÖ× ×ØØØÐÐ׺
Ò×׸ Ò ÔÔÖØØÒØ Ø × ÕÙÙØØÓÒ× ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ø ÐÐ ×ØÖÙÙØÙÖÖ ÖÖÖÖ¸ ÒÓÙ×
ÓÓØØÒÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ÒÒÒ× ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ׸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ν > 1 Ø ÕÙÙÐÐÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ
Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ¸ ØØÒÒÒ× ÕÙ³³Ò ÔÔÖØØÒØ × ÕÙÙØØÓÒ× × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÜÜÜÓÒÒÐÐ׸
ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÑÓÒØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ× ÒÒÒ× ÒÒ ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ× ÕÙ³³ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
> > b ´´ÓÒÒÒØØÓÒ ½¿º¿¿µº
ÓÒÒÒÐÐÐÖ × ÙÜ ÖÖ×ÙÐØØØ× Ò ÔÔÔÖÖÒÒÒ ÓÒÒÒÒØÙÙÐ× Ò Ø¸ ÐÐ
ÖÖÒÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ× ÔÓÙÖ ν > 1 ÔÖÓÚÚÚÒØ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ Ù ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖ¹
ØØÕÙÙ Ò γ Ò× ÐÐ × ÜÜÜÓÒÒк ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ØÓÙØ ÕÙ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø
ØØ ×ØØØÐÐ ×× ÐÐÐ ×× ×ØØØØÐÐØØ Ò ÖÖÖÖÖÖ ØÓÙØ ØÝÔÔ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ
ÔÔÖÑÑ×× ÔÔÖ ÐÐ× ×ÝÑÑØÖÖÖ׺
ÇÖ¸ ×× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÔÔÖظ ØØÐÐРг³ÕÙÙØØÓÒ ËÛÛÛعÀÓÓÓÒÒÒÖÖ ÑÓÓÓ¹
´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º½µ¸ ÒÒ ÓÙÙ×××ÒØ ÔÔ× ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÙØ»»»× ´´ººº ÓÔÔÖÖØØÓÒ
×ÝÑÑØÖÖÖ ψ → −ψµ¸ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ Ù ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ´ÔÖÓÔÓÖØØÓÒÒÒÐ
γµ µµÒ× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÚÚÚÒØ ÔÓ××××ÐÐ ÔÔÖ ÓÒ××ÕÙÙÒظ ÐÐ× ÔÔÖ¹
ØÙÖÖÖØØÓÒ× ØÝÔÔ ×ÓÒØ Ò ÙØÓÖÖ×××׺ Ò×׸ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ×
ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ× ÖÖ×ØÖÖÖÒØ ÐÐ ÓÑÑÑÒÒ ×ØØØØÐÐØØ Ò ÐÐÑÑØØÒØ ÐÐ× ÚÐÐÙÖ× ÕÙÙ ÔÔÙØ
ÓÔØØÖ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º¿¿µº ÄÓÖ×ÕÙÙ¸ Ò ÖÖÚ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ×
ÔÔÖØ ÔÓ×××××ÒØ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÙØ»»»× ´´ººº ψ → −ψµ¸ ÐÐ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ
Ò γ ×Ø ××ÒØ Ø ÐÐ× ÒÒÒ× ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ× ÕÙÙÐÐÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ´ÐÓÖ×ÕÙÙ
ν > 1µº ÊÊ×ØØ ØÙÙÙÙÖ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÖÖÒØØ× ×ÝÑÑØÖÖÖ× ÔÓÙÖ
ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ÓÓÓÖÖÒÒÒ × ÙÜ ÖÖ×ÙÐØØØ׸ ØÙÙÙ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÒÓÙ× ÐÐÓÒ×
ÔÖÓÓÓÓÓÖ Ò× ÐÐ× ÙÜ ×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ× ×ÙÙÚ ÓÒ×××ÖÖÖ× ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ×
×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÜÜÜÓÒÒÐÐ× Ø ÖÖÖÖ× ÒÓÙ× ÓÑÔÔÖÖÖÓÒ× ÐÓÖ× ÐÐ× ÖÖ×ÙÐØØØ× ÓÓØØÒÙ×
ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× Ò ÒÒÒ׺
½¿ººº¾ ËØØØØÐÐØØ × ÜÜÜÓÒÒ×
ÍÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ÜÜÜÓÒÒÐÐ × ÚÚÖÖÖÖÐÐ× R i ÑÑÑÑ
ÚÚÐÐÙÖ¸ ÐÐ× ÓÒÒ R 0 ´×ÓÓØ R i = R 0 ¸ i = 1, 2, 3µº ü ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ò R 1 ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º¾¾µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ
ÐÐÕÙÙÐÐÐ ××ØØ××××Ø R 0 ¸ × Ó Ø Ø
R 0 + γR
2
0 − R
3
0 (1 + 2ν) = 0 .
´½¿ºº¼µ