¿¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
½¿ººº½ ËØØØØÐÐØØ × ÒÒÒ×
ÁÒØØÖÖ××ÓÒ×¹ÒÓÙ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ×ÔÔÔÔÔÕÙÙ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ × Ò¹
× ÔÓÙÖ Ðи ÔÔÖØÓÒ× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ
R 1 = R
0
1 , R 2 = 0, R 3 = 0 ,
´½¿º¿¼µ
ÓÓ R
0
1 ×Ø ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ±
√
¸ Ø ÔÔÖØÙÖÖÓÒ×¹ÐÐ ÔÔÖ ÔÔØØØØ× ÕÙÙÒØØØØ×
δ 1 (t)¸ δ 2 (t) Ø δ 3 (t)¸ ¸ Ø Ø ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÙÙÚ
R 1 = R
0
1 + δ 1 (t), R 2 = δ 2 (t), R 3 = δ 3 (t) .
´½¿º¿½µ
ÊÊÔÓÖØÓÒ× ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÖØÙÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º¿½µ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐй
ØÙÙÙ Ò R 1 ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º¾¾µ Ø Ò× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ò R 2 Ø R 3
ÓÓØØÒÙÙ× ÔÔÖ ÔÔÖÑÙØØØØÓÒ ÖÖÙÐÐÐÖÖ ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ò R 1 ´´ÕÙÙØØÓÒ
½¿º¾¾µ Ø ÐÐÒÒÒÖÖ×ÓÒ× ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØØ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÙÜ ÔÔØØØØ× ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ× δ i º Æ Ó Ù ×
ÓÓØØÒÓÒ× Ò×× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×ÙÙÚÒØ Ø
˙
δ 1 = −2δ 1 ,
´½¿º¿¾µ
˙
δ 2 = δ 2 − ννδ 2 + γ
√
δ 3 ,
´½¿º¿¿µ
˙
δ 3 = δ 3 − ννδ 3 + γ
√
δ 2 .
´½¿º¿¿µ
ÆÓÙ× ×ÙÔÔÓ×ÓÒ× > 0 Ò ³³××ÙÖÖÖ Ð³³ÜÜ×ØØÒÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ× Ò ÒÒÒ× ´´´Ö
R
0
1 = ±
√
µº ÊÊÊÊÊÖÖÖÓÒ× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ Ù ØÝÔÔ δ i = a i e
σt
º ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ÒÒÒÕÙÙ Õ Ù Ð Ñ Ó δ 1 ×Ø ×ØØØÐк ij³ÒÒÙÐÐØØÓÒ Ù ××Ù ×
ÙÜ ÙØÖÖ× ÕÙÙØØÓÒ× ÒÓÙ× ÓÙÖÒÒØ ÐÐ ÖÖØØÖÖ ×ÙÙÚÚÒØ Ø
(σ − + νν)
2
= γγ > 0 .
´½¿º¿¿µ
Ò× Ð³³ØÙÙÙ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ³³×Ø ÐÐ ÔÐÙ× ÖÖÒÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ × ÙÜ
ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ÕÙÙ ÜÜ Ð³³××ÙÙ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙº ÐÐй¹¹ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
σ = (1 − ν) + γ
√
.
´½¿º¿¿µ
Ò×׸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ν < 1¸ ÐÐ× ÒÒÒ× ×ÓÒØ ØÓÙÙÓÙÖ× Ò×ØØØÐÐ׺ Ò× ÐÐ × ÓÒØÖÖÖÖÖ¸
ν > 1¸ ÐÐ× ÒÒÒ× ÒÒ ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ× ÕÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ ×Ø ÚÚÖÖÖÖÖ
> > b ≡
γ
2
(ν − 1) 2
´½¿º¿¿µ
ÉÙÙÐÕÙÙ× ÖÖÑÑÖÕÙÙ× ×ÙÖ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ × ÒÒÒ×
ÈÓÙÖ ØÙÙÙÙÖ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ × ÒÒÒ׸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÚÓÒ× ÐØØÖÒÒØØÚÑÑÒØ ÔÔÖØØÖ
× ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÖÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ× ½¿º¾½ Ø ½¿º¾¾µ ÐÐ
ÔÐÐÐÐ × ÕÙÙØØÓÒ× ××ÙÙ× ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÜÜÜÓÒÒÐк Ò ÓÔØØÒØ Ø Ô Ó Ò Ø Ø
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
½¿ººº½ ËØØØØÐÐØØ × ÒÒÒ×
ÁÒØØÖÖ××ÓÒ×¹ÒÓÙ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ×ÔÔÔÔÔÕÙÙ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ × Ò¹
× ÔÓÙÖ Ðи ÔÔÖØÓÒ× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ
R 1 = R
0
1 , R 2 = 0, R 3 = 0 ,
´½¿º¿¼µ
ÓÓ R
0
1 ×Ø ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ±
√
¸ Ø ÔÔÖØÙÖÖÓÒ×¹ÐÐ ÔÔÖ ÔÔØØØØ× ÕÙÙÒØØØØ×
δ 1 (t)¸ δ 2 (t) Ø δ 3 (t)¸ ¸ Ø Ø ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÙÙÚ
R 1 = R
0
1 + δ 1 (t), R 2 = δ 2 (t), R 3 = δ 3 (t) .
´½¿º¿½µ
ÊÊÔÓÖØÓÒ× ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÖØÙÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º¿½µ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐй
ØÙÙÙ Ò R 1 ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º¾¾µ Ø Ò× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ò R 2 Ø R 3
ÓÓØØÒÙÙ× ÔÔÖ ÔÔÖÑÙØØØØÓÒ ÖÖÙÐÐÐÖÖ ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ò R 1 ´´ÕÙÙØØÓÒ
½¿º¾¾µ Ø ÐÐÒÒÒÖÖ×ÓÒ× ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØØ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÙÜ ÔÔØØØØ× ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ× δ i º Æ Ó Ù ×
ÓÓØØÒÓÒ× Ò×× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×ÙÙÚÒØ Ø
˙
δ 1 = −2δ 1 ,
´½¿º¿¾µ
˙
δ 2 = δ 2 − ννδ 2 + γ
√
δ 3 ,
´½¿º¿¿µ
˙
δ 3 = δ 3 − ννδ 3 + γ
√
δ 2 .
´½¿º¿¿µ
ÆÓÙ× ×ÙÔÔÓ×ÓÒ× > 0 Ò ³³××ÙÖÖÖ Ð³³ÜÜ×ØØÒÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ× Ò ÒÒÒ× ´´´Ö
R
0
1 = ±
√
µº ÊÊÊÊÊÖÖÖÓÒ× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ Ù ØÝÔÔ δ i = a i e
σt
º ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ÒÒÒÕÙÙ Õ Ù Ð Ñ Ó δ 1 ×Ø ×ØØØÐк ij³ÒÒÙÐÐØØÓÒ Ù ××Ù ×
ÙÜ ÙØÖÖ× ÕÙÙØØÓÒ× ÒÓÙ× ÓÙÖÒÒØ ÐÐ ÖÖØØÖÖ ×ÙÙÚÚÒØ Ø
(σ − + νν)
2
= γγ > 0 .
´½¿º¿¿µ
Ò× Ð³³ØÙÙÙ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ³³×Ø ÐÐ ÔÐÙ× ÖÖÒÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ × ÙÜ
ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ÕÙÙ ÜÜ Ð³³××ÙÙ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙº ÐÐй¹¹ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
σ = (1 − ν) + γ
√
.
´½¿º¿¿µ
Ò×׸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ν < 1¸ ÐÐ× ÒÒÒ× ×ÓÒØ ØÓÙÙÓÙÖ× Ò×ØØØÐÐ׺ Ò× ÐÐ × ÓÒØÖÖÖÖÖ¸
ν > 1¸ ÐÐ× ÒÒÒ× ÒÒ ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ× ÕÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ ×Ø ÚÚÖÖÖÖÖ
> > b ≡
γ
2
(ν − 1) 2
´½¿º¿¿µ
ÉÙÙÐÕÙÙ× ÖÖÑÑÖÕÙÙ× ×ÙÖ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ × ÒÒÒ×
ÈÓÙÖ ØÙÙÙÙÖ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ × ÒÒÒ׸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÚÓÒ× ÐØØÖÒÒØØÚÑÑÒØ ÔÔÖØØÖ
× ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÖÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ× ½¿º¾½ Ø ½¿º¾¾µ ÐÐ
ÔÐÐÐÐ × ÕÙÙØØÓÒ× ××ÙÙ× ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÜÜÜÓÒÒÐк Ò ÓÔØØÒØ Ø Ô Ó Ò Ø Ø