½¿º ËØÖÙÙØÙÖÖ× ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ×
¿¾¾
ÑÑÒ××ÓÒÒÒРظ ÔÔÖ ÐÐ× ÒÒÒ× ×ÓÒØ ×Ù×××ÔØØØÐÐ× ³³ØÖÖ ÔÔÖØÙÖ¹
Ò× ÐÐ× ÙÜ ÖÖÖØØÓÒ× ³³×ÔÔÔÔº ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ÑÓØØØ× ×ÓÙ×
ÓÖÑÑ ÒÒÒ× ÙÒ × ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ × ÑÓØØØ× ÜÜÜÓÒÒÙÜ ½½ º ÄÄ ×Ó¹
ÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ Ò ÒÒÒ× ×Ø ÓÒÒ ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ R 1 = ±
√
Ø R 2 = R 3 = 0º
ÊÊÊÊÖÖÚÓÒ× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ× ½¿º½½¸ ½¿º½½ Ø ½¿º½½µ Ò
ÔÓ××ÒØ A n (t) = R n (t)e
iθn(t)
¸ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ
˙
R 1 = R 1 − [R
2
1 + ν(R
2
2 + R
2
3 )]R 1 + γR 2 R 3 ,
´½¿º¾¾µ
R 1 ˙
θ 1 = −γR 2 R 3 sin(θ 1 + θ 2 + θ 3 ) .
´½¿º¾¾µ
ÄÄ× ÕÙÙØÖÖ ÙØÖÖ× ÕÙÙØØÓÒ׸ ÙÜ ÙÜ ÑÔÐÐØÙÙÙ× Ø ÙÜ ÙÜ ÔÔÔ××׸
×× × ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× ÔÔÖ ÔÔÖÑÙØØØØÓÒ ÖÖÙÐÐÐÖÖº Ò ØÙÙÒØ Ð
ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ú ÖÖÖÖÐÐ ×ÙÙÚÚÒØ ψ = (θ 1 + θ 2 + θ 3 ) Ø Ò ÙØØÐÐ××ÒØ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ×
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÜ R n ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º¾¾¸ Ò×× ÕÙÙ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÒÒÐÓÓÙÙ×
ÚÚÖÖÖÖÖ× ÔÔÖ θ 2 Ø θ 3 µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×ÙÙÚÒØØ
˙
ψ = −P sin(ψ)
´½¿º¾¾µ
ÐÐ ÕÙÙÒØØØØ P ØØÐÐÐ ÕÙÙ
P = γ
R 2 R 3
R 1
+
R 3 R 1
R 2
+
R 1 R 2
R 3
> 0
´½¿º¾¾µ
ÓÓ γ ×Ø ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØ ÐÐ ×××ÒÒ ×Ø ÖÖÖØÖÖÖÖÖÑÑÒØ Ø ÓÓ×× ÔÓ××ØØØ ½¾ º ij³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ÐÐ ÔÔÔ×× ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º¾¾µ ÔÓ××××× ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ÙÙÚ ψ 0 = 0
Ø ψ 0 = πº Ò ÔÓ××ÒØ ψ = ψ 0 + ψ 1 (t)¸ ÓÓ ψ 1 (t) ×Ø ÙÒÒ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ¸ Ø Ò
ÐÐÒÒÒÖÖ××ÒØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ψ 1 ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
˙
ψ 1 = −P cos(ψ 0 )ψ 1 .
´½¿º¾¾µ
ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ψ 1 ØÝÔÔ e
σt
ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ψ 1 ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º¾¾µ¸ ÐÐ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ
´ÓÙ ³³ØØØÒÙÙØØÓÒµ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ØØÖÑÑÒÒ ÔÔÖ σ = −P cos(ψ 0 )º
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ×Ø ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ ψ 0 = 0¸ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×Ø ×Øع
Ðи ÔÙÙ×ÕÙÙ σ ×Ø ÒÒÒÒØØØ ´P > 0¸ ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ½¿º¾¾µ Ò ÖÖÚÒÒ¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ
г³ØØØ ψ 0 × Ø Ð Ô Ó Ò Ø ÜÜ Ð π¸ σ ×Ø ÔÓ××ØØغ ÈÈÖ ××ÙÐ× ÐÐ× ØØØ×
ØØÐ× ÕÙÙ ψ 0 = 0 ÔÔÙÚÒØ ØÖÖ ×ØØØÐÐ× ÓÔØÓÒ× ØØØ ÚÚÐÐÙÖ ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÔÔ×׺
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ×× ÒÓÙ× ÓÓ×× γ < 0¸ ÒÓÙ× ÙÖÖÓÒ׸ ÔÓÙÖ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐи ÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ ψ = π¸ Ø ³³×Ø ØØØ ÚÚÐÐÙÖ ÔÔÔ×× ÕÙÙ ÒÓÙ× ÙÖÖÓÒ× ÓÓ××× ÔÓÙÖ
ÐÐ ÖÖ×ØØ Ù ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒØ ÑÑÒÒ ¹¹ÔÖÖ× ÔÓÙÖ ÙÜ ÑÑÑÑ× ÓÒÒÐÙ××ÓÒ×
ÒÒÖÖÐÐ׺
½½ ÄÄ× ÒÒÒ× ×ÓÒØ ÙÒ × ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ × ÑÓØØØ× ×ÝÑÑØÖÖÖ ³ÓÖÖÖÖ ¾¸ ×ÓÓØ ×
ÑÓØØØ× ÖÖÖ׺
½¾ ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ×××ÒÒ γ ׳³ÒÚÚÖ×× ÐÓÖ× Ð³ÓÔÔÖÖØØÓÒ An → −An ÔÔÐÐÕÙÙÙ ÙÜ
ÕÙÙØØÓÒ× ÔÔÖØ ´´ÕÙÙØØÓÒ× ½¿º½½¸ ½¿º½½ Ø ½¿º½½µº Ò×× ÐÐ ÓÓÜ Ù ×××ÒÒ ÔÓ××ØØØ ÒÒ
ÖÖ×ØÖÖÖÒØ ÔÔ× ÐÐ ÒÒÖÖÐÐØØ × ÖÖ×ÙÐØØØ׺
¿¾¾
ÑÑÒ××ÓÒÒÒРظ ÔÔÖ ÐÐ× ÒÒÒ× ×ÓÒØ ×Ù×××ÔØØØÐÐ× ³³ØÖÖ ÔÔÖØÙÖ¹
Ò× ÐÐ× ÙÜ ÖÖÖØØÓÒ× ³³×ÔÔÔÔº ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ÑÓØØØ× ×ÓÙ×
ÓÖÑÑ ÒÒÒ× ÙÒ × ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ × ÑÓØØØ× ÜÜÜÓÒÒÙÜ ½½ º ÄÄ ×Ó¹
ÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ Ò ÒÒÒ× ×Ø ÓÒÒ ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ R 1 = ±
√
Ø R 2 = R 3 = 0º
ÊÊÊÊÖÖÚÓÒ× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ× ½¿º½½¸ ½¿º½½ Ø ½¿º½½µ Ò
ÔÓ××ÒØ A n (t) = R n (t)e
iθn(t)
¸ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ
˙
R 1 = R 1 − [R
2
1 + ν(R
2
2 + R
2
3 )]R 1 + γR 2 R 3 ,
´½¿º¾¾µ
R 1 ˙
θ 1 = −γR 2 R 3 sin(θ 1 + θ 2 + θ 3 ) .
´½¿º¾¾µ
ÄÄ× ÕÙÙØÖÖ ÙØÖÖ× ÕÙÙØØÓÒ׸ ÙÜ ÙÜ ÑÔÐÐØÙÙÙ× Ø ÙÜ ÙÜ ÔÔÔ××׸
×× × ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× ÔÔÖ ÔÔÖÑÙØØØØÓÒ ÖÖÙÐÐÐÖÖº Ò ØÙÙÒØ Ð
ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ú ÖÖÖÖÐÐ ×ÙÙÚÚÒØ ψ = (θ 1 + θ 2 + θ 3 ) Ø Ò ÙØØÐÐ××ÒØ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ×
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÜ R n ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º¾¾¸ Ò×× ÕÙÙ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÒÒÐÓÓÙÙ×
ÚÚÖÖÖÖÖ× ÔÔÖ θ 2 Ø θ 3 µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×ÙÙÚÒØØ
˙
ψ = −P sin(ψ)
´½¿º¾¾µ
ÐÐ ÕÙÙÒØØØØ P ØØÐÐÐ ÕÙÙ
P = γ
R 2 R 3
R 1
+
R 3 R 1
R 2
+
R 1 R 2
R 3
> 0
´½¿º¾¾µ
ÓÓ γ ×Ø ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØ ÐÐ ×××ÒÒ ×Ø ÖÖÖØÖÖÖÖÖÑÑÒØ Ø ÓÓ×× ÔÓ××ØØØ ½¾ º ij³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ÐÐ ÔÔÔ×× ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º¾¾µ ÔÓ××××× ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ÙÙÚ ψ 0 = 0
Ø ψ 0 = πº Ò ÔÓ××ÒØ ψ = ψ 0 + ψ 1 (t)¸ ÓÓ ψ 1 (t) ×Ø ÙÒÒ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ¸ Ø Ò
ÐÐÒÒÒÖÖ××ÒØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ψ 1 ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
˙
ψ 1 = −P cos(ψ 0 )ψ 1 .
´½¿º¾¾µ
ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ψ 1 ØÝÔÔ e
σt
ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ψ 1 ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º¾¾µ¸ ÐÐ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ
´ÓÙ ³³ØØØÒÙÙØØÓÒµ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ØØÖÑÑÒÒ ÔÔÖ σ = −P cos(ψ 0 )º
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ×Ø ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ ψ 0 = 0¸ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×Ø ×Øع
Ðи ÔÙÙ×ÕÙÙ σ ×Ø ÒÒÒÒØØØ ´P > 0¸ ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ½¿º¾¾µ Ò ÖÖÚÒÒ¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ
г³ØØØ ψ 0 × Ø Ð Ô Ó Ò Ø ÜÜ Ð π¸ σ ×Ø ÔÓ××ØØغ ÈÈÖ ××ÙÐ× ÐÐ× ØØØ×
ØØÐ× ÕÙÙ ψ 0 = 0 ÔÔÙÚÒØ ØÖÖ ×ØØØÐÐ× ÓÔØÓÒ× ØØØ ÚÚÐÐÙÖ ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÔÔ×׺
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ×× ÒÓÙ× ÓÓ×× γ < 0¸ ÒÓÙ× ÙÖÖÓÒ׸ ÔÓÙÖ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐи ÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ ψ = π¸ Ø ³³×Ø ØØØ ÚÚÐÐÙÖ ÔÔÔ×× ÕÙÙ ÒÓÙ× ÙÖÖÓÒ× ÓÓ××× ÔÓÙÖ
ÐÐ ÖÖ×ØØ Ù ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒØ ÑÑÒÒ ¹¹ÔÖÖ× ÔÓÙÖ ÙÜ ÑÑÑÑ× ÓÒÒÐÙ××ÓÒ×
ÒÒÖÖÐÐ׺
½½ ÄÄ× ÒÒÒ× ×ÓÒØ ÙÒ × ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ × ÑÓØØØ× ×ÝÑÑØÖÖÖ ³ÓÖÖÖÖ ¾¸ ×ÓÓØ ×
ÑÓØØØ× ÖÖÖ׺
½¾ ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ×××ÒÒ γ ׳³ÒÚÚÖ×× ÐÓÖ× Ð³ÓÔÔÖÖØØÓÒ An → −An ÔÔÐÐÕÙÙÙ ÙÜ
ÕÙÙØØÓÒ× ÔÔÖØ ´´ÕÙÙØØÓÒ× ½¿º½½¸ ½¿º½½ Ø ½¿º½½µº Ò×× ÐÐ ÓÓÜ Ù ×××ÒÒ ÔÓ××ØØØ ÒÒ
ÖÖ×ØÖÖÖÒØ ÔÔ× ÐÐ ÒÒÖÖÐÐØØ × ÖÖ×ÙÐØØØ׺