¿¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÁÐ ÜÜ×ØØ Ò×× ØÖÓÓ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ×
R 0 = 0, ; R 0± = γ ±
γ 2 + 4(1 + ν)
2(1 + ν)
.
´½¿ºº½µ
ÄÄ× ×ÓÐÙØØÓÒ× R 0± ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ ×ÓÙ× ÐÐ ÖÖÖÖÒÒ ×ÓÓØ ÔÓ××ØØØ ÓÒÒÒ
ÕÙÙ ν > −1 ´´ÓÑÑÑ ÒÓÙ× Ð³³ÚÓÒ× ×ÙÔÔÓ×× Ù ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ½¿º¿º½ Ò ³³××ÙÖÖÖ
г³ÜÜ×ØØÒÒÒ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÖÖÖÖ×µ¸ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÐÓÖ× ÓÒØÖÖÖÒØ ÖÖ×ÔÔÔØØÖ
ÙÒ ÓÑÑÑÒÒ ÚÚÖÖÖØØÓÒ ×ÙÙÚÒØ Ø
> −
γ
2
4(1 + ν)
≡ e .
´½¿ºº¾µ
ÆÓÙ× ÓÒ×ØØØÓÒ× ÓÒÒ ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× R 0± ÜÜ×ØØÒØ ÔÓÙÖ × ÚÐÐÙÖ×
ÒÒÒÒØØÚÚ× Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ´´ººº < 0µ¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÚÒØ ³³ØØØØÒÒÖÖ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ
³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÙÐÐÐ R 0 = 0¸ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ×Ø ØØØØÒØØ ÐÓÖ×ÕÙÙ
×Ø ÒÙк ÆÓÙ× ×ÓÑÑÑ× ÓÒÒ Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ÓÙ×¹¹ÖÖØØÕÙÙ ´´ÒÒÐÝ×××
Ù ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ¿º¾ Р׳³³³Ø ÑÑÑÑ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ØÖÖÒ××ÖÖØØÕÙÙ¸ ÚÓÓÖ ÔÔÖÖ¹
ÖÖÔÔÔ ¿º¿µº
г³ÕÙÙØØÓÒ ÚÚÖÖÖÖÖ ÔÔÖ R 0 Ò ÚÚÖ××ÓÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ Ò
ÔÓ××ÒØ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ R 0 ÔÔÒÒ Ù ØØÑÔ× ´×ÓÓØ R 1 = R 2 =
R 3 = R 0 (t)µµ ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ò R 1 ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º¾¾µ¸ ÒÓÙ×
ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
˙
R 0
= R 0 + γR 0 2 − (1 + 2ν)R
3
0
= −
∂
∂R 0
−
R 0
2
− γ
R
3
0
3
+ (1 + 2ν)
R
4
0
4
≡ −
∂V
∂R 0
´½¿ºº¿µ
ÓÓ V = V (R 0 ) = −
R0
2 − γ
R
3
0
3 + (1 + 2ν)
R
4
0
4 ×Ø ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¿ººµ¸
³ÓÓ ÐÐ ÖÖÑÑÑ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× ÔÔÙØ ØÖÖ ÙÙØ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¿ººµº
Ò ×ÙÔÔÖÔÓ××ÒØ ÙÒÒ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ δ i ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ Ø Ò ¹
ØÙÙÒØ ÙÒÒ ÐÐÒÒÒÖÖ××ØØÓÒ × ÕÙÙØØÓÒ× ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ò R i ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º¾¾ Ø ÐÐ×
ÕÙÙØØÓÒ× R 2 Ø R 3 ¸ ÙÙØØ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¿º¾¾ ÔÔÖ ÔÔÖÑÙØØØØÓÒ
ÖÖÙÐÐÐÖÖµ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
˙
δ 1 = ( − 3R
2
0 − 2νR
2
0 )δ 1 − (γR 0 − 2νR
2
0 )(δ 2 + δ 3 ) .
´½¿ºººµ
ÄÄ× ÕÙÙØØÓÒ× ÔÓÙÖ δ 2 Ø δ 3 ×× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ººº ÔÔÖ ÔÔÖÑÙØØØØÓÒ
ÖÖÙÐÐÐÖÖº
ÊÊÊÊÖÖÚÓÒ× ×Ý×ØØÑÑ Ò ÐÐ ÖÖÒÒÒ ÙÜ ÙÜ × ÕÙÙØØÓÒ×
ÙÜ δ i ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÕÙÙØØÓÒ δ 1 − δ 2
(σ − λ 1 )(δ 1 − δ 2 ) − λ 2 (δ 1 − δ 2 ) = 0 ,
´½¿ºººµ
ÓÓ λ 1 Ø λ 2 ×ÓÒØ Ø Ù Ü ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ØØÐ× ÕÙÙ λ 1 = ( − 3R
2
0 − 2νR
2
0 ) Ø λ 2 =
−(γR 0 − 2νR
2
0 )º ÄÄ× ÙÜ ÙØÖÖ× ÕÙÙØØÓÒ× ×ÓÒØ Ó Ø Ò ÙÙ× ÔÔÖ ÔÔÖÑÙØØØØÓÒ Ö¹
ÙÐÐÐÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºººº Ò ÐÐ ØØÖÑÑÒÒÒØ ÒÓÙÚÙ ×Ý×ØØÑÑ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÁÐ ÜÜ×ØØ Ò×× ØÖÓÓ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ×
R 0 = 0, ; R 0± = γ ±
γ 2 + 4(1 + ν)
2(1 + ν)
.
´½¿ºº½µ
ÄÄ× ×ÓÐÙØØÓÒ× R 0± ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ ×ÓÙ× ÐÐ ÖÖÖÖÒÒ ×ÓÓØ ÔÓ××ØØØ ÓÒÒÒ
ÕÙÙ ν > −1 ´´ÓÑÑÑ ÒÓÙ× Ð³³ÚÓÒ× ×ÙÔÔÓ×× Ù ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ½¿º¿º½ Ò ³³××ÙÖÖÖ
г³ÜÜ×ØØÒÒÒ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÖÖÖÖ×µ¸ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÐÓÖ× ÓÒØÖÖÖÒØ ÖÖ×ÔÔÔØØÖ
ÙÒ ÓÑÑÑÒÒ ÚÚÖÖÖØØÓÒ ×ÙÙÚÒØ Ø
> −
γ
2
4(1 + ν)
≡ e .
´½¿ºº¾µ
ÆÓÙ× ÓÒ×ØØØÓÒ× ÓÒÒ ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× R 0± ÜÜ×ØØÒØ ÔÓÙÖ × ÚÐÐÙÖ×
ÒÒÒÒØØÚÚ× Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ´´ººº < 0µ¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÚÒØ ³³ØØØØÒÒÖÖ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ
³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÙÐÐÐ R 0 = 0¸ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ×Ø ØØØØÒØØ ÐÓÖ×ÕÙÙ
×Ø ÒÙк ÆÓÙ× ×ÓÑÑÑ× ÓÒÒ Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ÓÙ×¹¹ÖÖØØÕÙÙ ´´ÒÒÐÝ×××
Ù ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ¿º¾ Р׳³³³Ø ÑÑÑÑ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ØÖÖÒ××ÖÖØØÕÙÙ¸ ÚÓÓÖ ÔÔÖÖ¹
ÖÖÔÔÔ ¿º¿µº
г³ÕÙÙØØÓÒ ÚÚÖÖÖÖÖ ÔÔÖ R 0 Ò ÚÚÖ××ÓÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ Ò
ÔÓ××ÒØ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ R 0 ÔÔÒÒ Ù ØØÑÔ× ´×ÓÓØ R 1 = R 2 =
R 3 = R 0 (t)µµ ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ò R 1 ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º¾¾µ¸ ÒÓÙ×
ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
˙
R 0
= R 0 + γR 0 2 − (1 + 2ν)R
3
0
= −
∂
∂R 0
−
R 0
2
− γ
R
3
0
3
+ (1 + 2ν)
R
4
0
4
≡ −
∂V
∂R 0
´½¿ºº¿µ
ÓÓ V = V (R 0 ) = −
R0
2 − γ
R
3
0
3 + (1 + 2ν)
R
4
0
4 ×Ø ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¿ººµ¸
³ÓÓ ÐÐ ÖÖÑÑÑ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× ÔÔÙØ ØÖÖ ÙÙØ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¿ººµº
Ò ×ÙÔÔÖÔÓ××ÒØ ÙÒÒ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ δ i ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ Ø Ò ¹
ØÙÙÒØ ÙÒÒ ÐÐÒÒÒÖÖ××ØØÓÒ × ÕÙÙØØÓÒ× ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ò R i ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º¾¾ Ø ÐÐ×
ÕÙÙØØÓÒ× R 2 Ø R 3 ¸ ÙÙØØ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¿º¾¾ ÔÔÖ ÔÔÖÑÙØØØØÓÒ
ÖÖÙÐÐÐÖÖµ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
˙
δ 1 = ( − 3R
2
0 − 2νR
2
0 )δ 1 − (γR 0 − 2νR
2
0 )(δ 2 + δ 3 ) .
´½¿ºººµ
ÄÄ× ÕÙÙØØÓÒ× ÔÓÙÖ δ 2 Ø δ 3 ×× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ººº ÔÔÖ ÔÔÖÑÙØØØØÓÒ
ÖÖÙÐÐÐÖÖº
ÊÊÊÊÖÖÚÓÒ× ×Ý×ØØÑÑ Ò ÐÐ ÖÖÒÒÒ ÙÜ ÙÜ × ÕÙÙØØÓÒ×
ÙÜ δ i ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÕÙÙØØÓÒ δ 1 − δ 2
(σ − λ 1 )(δ 1 − δ 2 ) − λ 2 (δ 1 − δ 2 ) = 0 ,
´½¿ºººµ
ÓÓ λ 1 Ø λ 2 ×ÓÒØ Ø Ù Ü ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ØØÐ× ÕÙÙ λ 1 = ( − 3R
2
0 − 2νR
2
0 ) Ø λ 2 =
−(γR 0 − 2νR
2
0 )º ÄÄ× ÙÜ ÙØÖÖ× ÕÙÙØØÓÒ× ×ÓÒØ Ó Ø Ò ÙÙ× ÔÔÖ ÔÔÖÑÙØØØØÓÒ Ö¹
ÙÐÐÐÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¿ºººº Ò ÐÐ ØØÖÑÑÒÒÒØ ÒÓÙÚÙ ×Ý×ØØÑÑ