¿¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
³ÙÒ ØØÙÖ e
ii q1.. r0
×ÙÙØØ Ð³ÓÔÔÖÖØØÓÒ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒº ÁÁÁ¸ Ò× ÐÐ × ÑÑÒ¹
××ÓÒÒÒи г³ÐÐÑÑÒØ Ò Ó Ù Ú Ù ×Ø ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ÐÓÖ× ÕÙ³³Ð×
ØØØØÒØ ÒØØÖÖÖØ× Ò× ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ ´ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ½¼º¾º½µº
ËÓÙ× Ð³ÓÔÔÖÖØØÓÒ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ¸ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ×× ØÖÖÒ××ÓÖÑÑ ÓÑÑÑ
A
∗
2 A
∗
3 → A
∗
2 A
∗
3 e
−i( q2+ q3).. r0
= A
∗
2 A
∗
3 e
ii q1.. r0
´½¿º½½µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÖÖÙÙ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ½¿º½¾ ÐÐÐÒØ ÐÐ× ØÖÓÓ× ÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ׺
ظ ØØÖÑÑ ÙÙÙÕÙÙ ×× ØÖÖÒ××ÓÖÑÑ ÓÑÑÑ ÙÒ ØØÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´ÓÙ ÙÙÙÕÙÙµ
Ø ÔÔÖ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ Ð³³ÙØÓÖÖ×׺ ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÚÖÖÖÖÖ
ÕÙ³³ гÓÖÖÖÖ ÙÙÙÕÙÙ Ò ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ××ÙÐ× ÐÐ× ØØÖÑÑ× Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º½½µ ×ÓÒØ ÙØÓÖÖ××× ÔÔÖ × ÖÖÙÑÑÒØ× ×ÝÑÑØÖÖÖº
ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒØ ×³³ÔÔÐÐÕÙ٠г³ÚÚÚÚÒÒÒ ÙÜ ÙÜ ÙØÖÖ× ÕÙÙØØÓÒ× ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
´´ÕÙÙØØÓÒ× ½¿º½½ Ø ½¿º½½µº
ÁÐ ÓÒÚÚÚÒØ ÔÖÖÖÖ××Ö ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐй
ØÙÙÙ ÖÖ×× ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ A n → −A n º ظ ÐÐ× ÜÜÜÓÒÒ× ÒÒÙÙ××ÒØ Ù Ò
ÖÖ×ÙÖÖ ×ÝÑÑØÖÖÖ Ùع¹¹× º ÇÖ¸ Ò× ÐÐ ÔÖÖØØÕÙÙ¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÒÒÓÒØÖÖÖ
× ×Ý×ØØÑÑ× ÔÓÙÖ ÐÐ×ÕÙÙÐ× ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÔÔÖØ ÓÙÙØ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÔÔÖ ÒÚÚÖ¹
××ÓÒ Ù ººº г³ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ÒÚÚÖÖÖÒØØ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× Ð³ÓÔÔÖÖØØÓÒ φ → −φº
³³×Ø ÐР׸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи г³ÕÙÙØØÓÒ ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ ËÛÛÛعÀÓÓÓÒÖÖ
´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º½µ¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ α ×Ø ÒÙÐ ´´ººº α = 0µº Ò× ×¸ ÑÑÑÑ
×× ÐÐ× ×ÝÑÑØÖÖÖ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ØØÖÑÑ
ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ¸ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÖØ ÖØØ ØÝÔÔ ØØÖÑÑ ÐÐ
ÓÓÓÓÓÓÒØ Ù ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙ٠׳³ÒÒÙÐÐ ´ÚÓÓÖ
ÔÖÓÓÐÐÑÑ ½¿ººº½µº ÆÓØÓÒ× ÒÒÐÐÑÑÒØ ÕÙÙ ×× ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ Ð³³ØØØ ÓÑÓÓÓÒÒ
´φ = 0µ Ú Ö× Ð³³ØØØ ÑÓÓÙÐÐ ×Ø ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ¸ ÐÐ× ÓÓÓÓÓÓÒØ× ¸ ν Ø γ ×ÓÒØ ÖÖÖÐ×
´ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ½¼º¾º¾µº
½¿º¿º¾ ËÝÑÑØÖÖÖ ÖÖÖÖ
ÈÓÙÖ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÖÖÖÖ¸ ÐÐ ÔÔÝ××ÕÙÙ φ Ô Ö Ò Ð Ó Ö Ñ
φ( r) =
2
n=1
A n e
ii qn.. r
+ A
∗
n e
−ii qn.. r
´½¿º¾¼µ
ÓÓ A i ×Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ò× ÐÐ ÖÖÖØØÓÒ i Ú i = 1, 2¸ ÐÐ× ÙÜ ÖÖÖØØÓÒ× ÐÐ
×ØÖÙÙØÙÖÖ ÖÖÖÖ ÒÓØÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× q 1 ¸ q 2 ¸ ÔÔÖÔÔÒÒÒÒÙÐÐÐÖÖ×
ÒØÖÖ Ùܸ ×ÓÒØ ÑÑÑÑ ÒÓÖÑÑ Ø ÐÐ q c ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¿º¾µº
ÄÄ× ÕÙÙØØÓÒ× ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ ×ØÖÙÙØÙÖÖ ÖÖÖÖ ×ÓÒØ ÓÓØØÒÙÙ× ÔÔÖØØÖ ×
ÕÙÙØØÓÒ× ÒÒÖÖÐÐ× ´´ÕÙÙØØÓÒ× ½¿º½½¹½¿º½½µ Ò ÔÓ××ÒØ ÓÖÑÑÐÐÐÑÑÒØ A 3 = 0 ´´´
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
³ÙÒ ØØÙÖ e
ii q1.. r0
×ÙÙØØ Ð³ÓÔÔÖÖØØÓÒ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒº ÁÁÁ¸ Ò× ÐÐ × ÑÑÒ¹
××ÓÒÒÒи г³ÐÐÑÑÒØ Ò Ó Ù Ú Ù ×Ø ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ÐÓÖ× ÕÙ³³Ð×
ØØØØÒØ ÒØØÖÖÖØ× Ò× ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ ´ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ½¼º¾º½µº
ËÓÙ× Ð³ÓÔÔÖÖØØÓÒ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ¸ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ×× ØÖÖÒ××ÓÖÑÑ ÓÑÑÑ
A
∗
2 A
∗
3 → A
∗
2 A
∗
3 e
−i( q2+ q3).. r0
= A
∗
2 A
∗
3 e
ii q1.. r0
´½¿º½½µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÖÖÙÙ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ½¿º½¾ ÐÐÐÒØ ÐÐ× ØÖÓÓ× ÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ׺
ظ ØØÖÑÑ ÙÙÙÕÙÙ ×× ØÖÖÒ××ÓÖÑÑ ÓÑÑÑ ÙÒ ØØÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´ÓÙ ÙÙÙÕÙÙµ
Ø ÔÔÖ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ Ð³³ÙØÓÖÖ×׺ ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÚÖÖÖÖÖ
ÕÙ³³ гÓÖÖÖÖ ÙÙÙÕÙÙ Ò ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ××ÙÐ× ÐÐ× ØØÖÑÑ× Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º½½µ ×ÓÒØ ÙØÓÖÖ××× ÔÔÖ × ÖÖÙÑÑÒØ× ×ÝÑÑØÖÖÖº
ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒØ ×³³ÔÔÐÐÕÙ٠г³ÚÚÚÚÒÒÒ ÙÜ ÙÜ ÙØÖÖ× ÕÙÙØØÓÒ× ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
´´ÕÙÙØØÓÒ× ½¿º½½ Ø ½¿º½½µº
ÁÐ ÓÒÚÚÚÒØ ÔÖÖÖÖ××Ö ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐй
ØÙÙÙ ÖÖ×× ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ A n → −A n º ظ ÐÐ× ÜÜÜÓÒÒ× ÒÒÙÙ××ÒØ Ù Ò
ÖÖ×ÙÖÖ ×ÝÑÑØÖÖÖ Ùع¹¹× º ÇÖ¸ Ò× ÐÐ ÔÖÖØØÕÙÙ¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÒÒÓÒØÖÖÖ
× ×Ý×ØØÑÑ× ÔÓÙÖ ÐÐ×ÕÙÙÐ× ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÔÔÖØ ÓÙÙØ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÔÔÖ ÒÚÚÖ¹
××ÓÒ Ù ººº г³ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ÒÚÚÖÖÖÒØØ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× Ð³ÓÔÔÖÖØØÓÒ φ → −φº
³³×Ø ÐР׸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи г³ÕÙÙØØÓÒ ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ ËÛÛÛعÀÓÓÓÒÖÖ
´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º½µ¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ α ×Ø ÒÙÐ ´´ººº α = 0µº Ò× ×¸ ÑÑÑÑ
×× ÐÐ× ×ÝÑÑØÖÖÖ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ØØÖÑÑ
ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ¸ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÖØ ÖØØ ØÝÔÔ ØØÖÑÑ ÐÐ
ÓÓÓÓÓÓÒØ Ù ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙ٠׳³ÒÒÙÐÐ ´ÚÓÓÖ
ÔÖÓÓÐÐÑÑ ½¿ººº½µº ÆÓØÓÒ× ÒÒÐÐÑÑÒØ ÕÙÙ ×× ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ Ð³³ØØØ ÓÑÓÓÓÒÒ
´φ = 0µ Ú Ö× Ð³³ØØØ ÑÓÓÙÐÐ ×Ø ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ¸ ÐÐ× ÓÓÓÓÓÓÒØ× ¸ ν Ø γ ×ÓÒØ ÖÖÖÐ×
´ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ½¼º¾º¾µº
½¿º¿º¾ ËÝÑÑØÖÖÖ ÖÖÖÖ
ÈÓÙÖ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÖÖÖÖ¸ ÐÐ ÔÔÝ××ÕÙÙ φ Ô Ö Ò Ð Ó Ö Ñ
φ( r) =
2
n=1
A n e
ii qn.. r
+ A
∗
n e
−ii qn.. r
´½¿º¾¼µ
ÓÓ A i ×Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ò× ÐÐ ÖÖÖØØÓÒ i Ú i = 1, 2¸ ÐÐ× ÙÜ ÖÖÖØØÓÒ× ÐÐ
×ØÖÙÙØÙÖÖ ÖÖÖÖ ÒÓØÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× q 1 ¸ q 2 ¸ ÔÔÖÔÔÒÒÒÒÙÐÐÐÖÖ×
ÒØÖÖ Ùܸ ×ÓÒØ ÑÑÑÑ ÒÓÖÑÑ Ø ÐÐ q c ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¿º¾µº
ÄÄ× ÕÙÙØØÓÒ× ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ ×ØÖÙÙØÙÖÖ ÖÖÖÖ ×ÓÒØ ÓÓØØÒÙÙ× ÔÔÖØØÖ ×
ÕÙÙØØÓÒ× ÒÒÖÖÐÐ× ´´ÕÙÙØØÓÒ× ½¿º½½¹½¿º½½µ Ò ÔÓ××ÒØ ÓÖÑÑÐÐÐÑÑÒØ A 3 = 0 ´´´