½¿º ËØÖÙÙØÙÖÖ× ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ×
¿¾½
ÖÖÒØØ× º ü гÓÖÖÖÖ ÙÙÙÕÙÙ ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÙÙÚÚÒØØ
˙
A 1 = A 1 − [|A 1 |
2
+ ν(|A 2 |
2
+ |A 3 |
2
)]A 1 + γA
∗
2 A
∗
3
´½¿º½½µ
˙
A 2 = A 2 − [|A 2 |
2
+ ν(|A 3 |
2
+ |A 1 |
2
)]A 2 + γA
∗
3 A
∗
1
´½¿º½½µ
˙
A 3 = A 3 − [|A 3 |
2
+ ν(|A 1 |
2
+ |A 2 |
2
)]A 3 + γA
∗
1 A
∗
2
´½¿º½½µ
ÓÓ ×Ø ÙÒ ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ¸ γ ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÖÖÒÓÒ× ÖÖÖØÖÖÖÖÖÑÑÒØ
ÔÓ××ØØØ Ø ν ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÕÙÙ ÔÔÙØ ØÖÖ ÔÓ××ØØØ ÓÙ ÒÒÒÒØØغ ÇÒ ÚÚÖÖÖ ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØØ
´×××ØØÓÒ ½¿ººº¿µ ÕÙÙ ÐÐ× ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÖÖÖÖ× Ò³³ÜÜ×ØØÒØ ÕÙÙ ×× ν + 1 > 0º ÓÑÑÑ
ÒÓØÖÖ ÙØ ××ÖÖ ÓÑÔÔÖÖÖ ÐÐ× ×ØØØØÐÐØØ× × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× Ò ÒÒÒ׸ ÐÐÐ× Ò
ÜÜÜÓÒÒ׸ Ø ÐÐÐ× Ò ÖÖÖÖ¸ ÒÓÙ× ÐÐÓÒ× ÓÔØØÖ ÐÐ ÓÓÜ ν + 1 > 0º º Ò Ò Ð
×××ÒÒ ÒÒÒÒØØØ ÚÒØ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÙÙÙÕÙÙ× ×Ø ÐÐ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ××ØÙÖÖØØÓÒ ÒÓÒ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ð³ÓÖÖÖÖ ÙÙÙÕÙÙ º ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÒÒÒÒØØظ
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÓÓÓÒÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÙÐÐÐ ´´ººº A = 0µ ×Ø ÐÐÒÒÒÒÖÖÑÑÒØ ×ØØØÐÐ
ÐÐÐ ÔÔÖÖ ×× ×ØØØØÐÐØØ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÔÓ××ØØغ ij³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÔÔÖ
ÖÓØØØØÓÒ ³ÙÒ ÒÒÐÐ Ð 2π/3 ÕÙÙ ÐÐ× ØÖÓÓ× ÕÙÙØØÓÒ× ×× ÙÙ××ÒØ Ð ×
ÙÒÒ× × ÙØÖÖ× ÔÔÖ ÔÔÖÑÙØØØØÓÒ ÖÖÙÐÐÐÖÖº
Ò× ÐÐ ÔÔØÖÖ ÓÒ×××ÖÖ Ð³ÙÒÒÚÚÖ××ÐÐØØ Ù ××ÙÙÐ ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ
´´ÔÔØÖÖ ½¼µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÙ ÐÐ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÒÒÒÒÑÑÒ¹
××ÓÒÒÒÐÐÐ ÔÔÖØØÖ ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ× ×ÙÖ ÐÐ× ×ÝÑÑØÖÖÖ× Ù ×Ý×ØØÑÑ ´ÚÓÓÖ ×ÓÙ×¹
×××ØØÓÒ ½¼º¾º½µº Ò ÐÐ× ÙÜ ÑÔÐÐØÙÙÙ× A 1 Ø A 2 ´´ººº A 2 = A 3 = 0µ¸
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A 1 ´´ÕÙÙØØÓÒ ´½¿º½½µ ÚÚÚÒØ Ø Ò ØØÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ ÐÐ ÔÐÙ× ÒÒÖÖÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾¾µ ÓÓØØÒÙÙ Ò×
ÐÐ ×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ ½¼º¾º¾º ÆÓØÓÒ× Ù ÔÔ××××× ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ×ÔÔÖÖÖØ
ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒº ËË ÔÖÖ××ÒÒÒ ÓÙÐÐ ÓÒÒ Ò ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐØØ Ù ÔÖÓÓ¹
ÐÐÑѺ ij³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÔÔÖ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ ´ÓÙ ÔÐÙ× ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒØ Ð³³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× Ù
гÓÖÖÖÖÒÒµ ÜÜÜÜ ÕÙÙ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÑÑÙÖÖÒØ Ø Ò ØØÕÙÙ׸ Ò ØÙÙÒØ
гÓÔÔÖÖØØÓÒ r → r + r 0 ¸ Ó r 0 ×Ø ÙÒÒ ÖÖÖØÖÖÖÖÖº ÍÒÒ ØØÐÐÐ ÓÔÔÖÖØØÓÒ
ÖÖÚÚÚÒØ ÓÔÔÖÖÖ ×ÙÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ÐÐ ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ú ÖÖÖÖÐÐ ×ÙÙÚÒØ Ø
A n → A n e
ii qn.. r0 .
´½¿º½½µ
ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÓÓØ ØÖÖ ××ØØ××××ØØ ÔÓÙÖ ØÓÙ× ÐÐ× ØØÖÑÑ× Ò× ÐÐ×
ØÖÓÓ× ÕÙÙØØÓÒ× ´´ÕÙÙØØÓÒ× ½¿º½½¸ ½¿º½½ ½Ø ½¿º½½µº ÓÒ××××ÖÓÒ׸ ØØØÖÖ ³³ÜÜѹ
ÔÐи г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÔÓÖØØÒØ ×ÙÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A 1 ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º½½µº ij³Ò¹
ÚÚÖÖÖÒÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÖ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ ´´ÓÒÒÒØØÓÒ ½¿º½½µ ×Ø ÜÔÐÐÐÐØØ ÔÓÙÖ ÐÐ
ØØÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ø ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÙÙÙÕÙÙ׺ Ò Ø¸ × ØØÖÑÑ× ×Ø ØØ
ÄÄ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ½¿ººº½ ÑÓÒØÖÖ ÕÙÙ ÐРг³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ò³³ ÙÙÙÒ
³³ÑÑØØÖÖ ×ÙÖ Ð³³³³ÐÐØØ × ØÖÓÓ× ÑÔÐÐØÙÙÙ׺ ³³×Ø ÔÓÙÖÕÙÓÓ ÒÓÙ× ÔÖÖÖÖÖÓÒ× ØÖÖ¹
ÚÐÐÐÖ Ò× ÙÒ ÖÖ ÐÐ ÔÐÙ× ÒÒÖÖÐ ÔÓ××××Ðк ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑØØÖÖ¸ ÔÔÖ ¸³³ØÙÙÙÙÖ ÐÐ
×ØØØØÐÐØØ ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÓÖÖÓÒÒÒÒ× Ò ÔÔÖØÙÖÖÖÒØ ÐÐ× ÑÔÐÐØÙÙÙ× ÑÑÒÒÒÖÖ Ò× ÐÐ×
ØÖÓÓ× ÖÖÖØØÓÒ׺
ÎÓÓÖ ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ½¿ººº½º
ÒÒÒÖ ÐÐ ×××ÒÒ γ ÖÖÚÚÚÒØ Ø Ø ÒÒÒÖ A Ò −A¸ ¸Ø ÔÔÖ ÓÒ××ÕÙÙÒظ ÐÐ× ÖÖ×ÙÐØØØ× ××
г³³³ÒØØÕÙÙº
ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ×××ÒÒ Ù ØØÖÑÑ ÙÙÙÕÙÙ Ò³³×Ø ÔÔ× ×Ý×ØØÑÑØØÕÙÙÑÑÒØ ÒÒÒÒØØظ ÚÓÓÖ ÐÐ
ÔÖÓÓÐÐÑÑ ¿ººº¾ Ò× ÐÐ ¿º¾º
¿¾½
ÖÖÒØØ× º ü гÓÖÖÖÖ ÙÙÙÕÙÙ ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÙÙÚÚÒØØ
˙
A 1 = A 1 − [|A 1 |
2
+ ν(|A 2 |
2
+ |A 3 |
2
)]A 1 + γA
∗
2 A
∗
3
´½¿º½½µ
˙
A 2 = A 2 − [|A 2 |
2
+ ν(|A 3 |
2
+ |A 1 |
2
)]A 2 + γA
∗
3 A
∗
1
´½¿º½½µ
˙
A 3 = A 3 − [|A 3 |
2
+ ν(|A 1 |
2
+ |A 2 |
2
)]A 3 + γA
∗
1 A
∗
2
´½¿º½½µ
ÓÓ ×Ø ÙÒ ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ¸ γ ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÖÖÒÓÒ× ÖÖÖØÖÖÖÖÖÑÑÒØ
ÔÓ××ØØØ Ø ν ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÕÙÙ ÔÔÙØ ØÖÖ ÔÓ××ØØØ ÓÙ ÒÒÒÒØØغ ÇÒ ÚÚÖÖÖ ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØØ
´×××ØØÓÒ ½¿ººº¿µ ÕÙÙ ÐÐ× ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÖÖÖÖ× Ò³³ÜÜ×ØØÒØ ÕÙÙ ×× ν + 1 > 0º ÓÑÑÑ
ÒÓØÖÖ ÙØ ××ÖÖ ÓÑÔÔÖÖÖ ÐÐ× ×ØØØØÐÐØØ× × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× Ò ÒÒÒ׸ ÐÐÐ× Ò
ÜÜÜÓÒÒ׸ Ø ÐÐÐ× Ò ÖÖÖÖ¸ ÒÓÙ× ÐÐÓÒ× ÓÔØØÖ ÐÐ ÓÓÜ ν + 1 > 0º º Ò Ò Ð
×××ÒÒ ÒÒÒÒØØØ ÚÒØ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÙÙÙÕÙÙ× ×Ø ÐÐ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ××ØÙÖÖØØÓÒ ÒÓÒ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ð³ÓÖÖÖÖ ÙÙÙÕÙÙ º ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÒÒÒÒØØظ
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÓÓÓÒÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÙÐÐÐ ´´ººº A = 0µ ×Ø ÐÐÒÒÒÒÖÖÑÑÒØ ×ØØØÐÐ
ÐÐÐ ÔÔÖÖ ×× ×ØØØØÐÐØØ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÔÓ××ØØغ ij³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÔÔÖ
ÖÓØØØØÓÒ ³ÙÒ ÒÒÐÐ Ð 2π/3 ÕÙÙ ÐÐ× ØÖÓÓ× ÕÙÙØØÓÒ× ×× ÙÙ××ÒØ Ð ×
ÙÒÒ× × ÙØÖÖ× ÔÔÖ ÔÔÖÑÙØØØØÓÒ ÖÖÙÐÐÐÖÖº
Ò× ÐÐ ÔÔØÖÖ ÓÒ×××ÖÖ Ð³ÙÒÒÚÚÖ××ÐÐØØ Ù ××ÙÙÐ ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ
´´ÔÔØÖÖ ½¼µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÙ ÐÐ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÒÒÒÒÑÑÒ¹
××ÓÒÒÒÐÐÐ ÔÔÖØØÖ ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ× ×ÙÖ ÐÐ× ×ÝÑÑØÖÖÖ× Ù ×Ý×ØØÑÑ ´ÚÓÓÖ ×ÓÙ×¹
×××ØØÓÒ ½¼º¾º½µº Ò ÐÐ× ÙÜ ÑÔÐÐØÙÙÙ× A 1 Ø A 2 ´´ººº A 2 = A 3 = 0µ¸
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A 1 ´´ÕÙÙØØÓÒ ´½¿º½½µ ÚÚÚÒØ Ø Ò ØØÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ ÐÐ ÔÐÙ× ÒÒÖÖÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾¾µ ÓÓØØÒÙÙ Ò×
ÐÐ ×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ ½¼º¾º¾º ÆÓØÓÒ× Ù ÔÔ××××× ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ×ÔÔÖÖÖØ
ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒº ËË ÔÖÖ××ÒÒÒ ÓÙÐÐ ÓÒÒ Ò ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐØØ Ù ÔÖÓÓ¹
ÐÐÑѺ ij³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÔÔÖ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ ´ÓÙ ÔÐÙ× ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒØ Ð³³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× Ù
гÓÖÖÖÖÒÒµ ÜÜÜÜ ÕÙÙ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÑÑÙÖÖÒØ Ø Ò ØØÕÙÙ׸ Ò ØÙÙÒØ
гÓÔÔÖÖØØÓÒ r → r + r 0 ¸ Ó r 0 ×Ø ÙÒÒ ÖÖÖØÖÖÖÖÖº ÍÒÒ ØØÐÐÐ ÓÔÔÖÖØØÓÒ
ÖÖÚÚÚÒØ ÓÔÔÖÖÖ ×ÙÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ÐÐ ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ú ÖÖÖÖÐÐ ×ÙÙÚÒØ Ø
A n → A n e
ii qn.. r0 .
´½¿º½½µ
ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÓÓØ ØÖÖ ××ØØ××××ØØ ÔÓÙÖ ØÓÙ× ÐÐ× ØØÖÑÑ× Ò× ÐÐ×
ØÖÓÓ× ÕÙÙØØÓÒ× ´´ÕÙÙØØÓÒ× ½¿º½½¸ ½¿º½½ ½Ø ½¿º½½µº ÓÒ××××ÖÓÒ׸ ØØØÖÖ ³³ÜÜѹ
ÔÐи г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÔÓÖØØÒØ ×ÙÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A 1 ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º½½µº ij³Ò¹
ÚÚÖÖÖÒÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÖ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ ´´ÓÒÒÒØØÓÒ ½¿º½½µ ×Ø ÜÔÐÐÐÐØØ ÔÓÙÖ ÐÐ
ØØÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ø ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÙÙÙÕÙÙ׺ Ò Ø¸ × ØØÖÑÑ× ×Ø ØØ
ÄÄ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ½¿ººº½ ÑÓÒØÖÖ ÕÙÙ ÐРг³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ò³³ ÙÙÙÒ
³³ÑÑØØÖÖ ×ÙÖ Ð³³³³ÐÐØØ × ØÖÓÓ× ÑÔÐÐØÙÙÙ׺ ³³×Ø ÔÓÙÖÕÙÓÓ ÒÓÙ× ÔÖÖÖÖÖÓÒ× ØÖÖ¹
ÚÐÐÐÖ Ò× ÙÒ ÖÖ ÐÐ ÔÐÙ× ÒÒÖÖÐ ÔÓ××××Ðк ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑØØÖÖ¸ ÔÔÖ ¸³³ØÙÙÙÙÖ ÐÐ
×ØØØØÐÐØØ ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÓÖÖÓÒÒÒÒ× Ò ÔÔÖØÙÖÖÖÒØ ÐÐ× ÑÔÐÐØÙÙÙ× ÑÑÒÒÒÖÖ Ò× ÐÐ×
ØÖÓÓ× ÖÖÖØØÓÒ׺
ÎÓÓÖ ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ½¿ººº½º
ÒÒÒÖ ÐÐ ×××ÒÒ γ ÖÖÚÚÚÒØ Ø Ø ÒÒÒÖ A Ò −A¸ ¸Ø ÔÔÖ ÓÒ××ÕÙÙÒظ ÐÐ× ÖÖ×ÙÐØØØ× ××
г³³³ÒØØÕÙÙº
ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ×××ÒÒ Ù ØØÖÑÑ ÙÙÙÕÙÙ Ò³³×Ø ÔÔ× ×Ý×ØØÑÑØØÕÙÙÑÑÒØ ÒÒÒÒØØظ ÚÓÓÖ ÐÐ
ÔÖÓÓÐÐÑÑ ¿ººº¾ Ò× ÐÐ ¿º¾º