½¿º ËØÖÙÙØÙÖÖ× ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ×
¿¾¿
ÕÙÙ ÒØÖÖÖÒÒ γ = 0µ ½¼ º ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
˙
A 1 = A 1 − [|A 1 |
2
+ ν|A 2 |
2
]A 1 ,
´½¿º¾½µ
˙
A 2 = A 2 − [|A 2 |
2
+ ν|A 1 |
2
]A 2 .
´½¿º¾¾µ
ÓÑÑÑ Ò× ÐÐ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÔÖÖÖÖÖÖÒظ ÐÐ× ÖÖÖÐÐ× ÔÔÖ ×ÝÑÑØÖÖÖ¸ ×ÓÓØ
г³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÔÔÖ ÖÓØØØØÓÒ ³ÙÒ ÒÒÐÐ 2π/4 ´´ÓÒÒ π/2µ Ø Ð³³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÔÔÖ
ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ¸ ÜÜÒØ ÐÐ ÓÖÑÑ × ÕÙÙØØÓÒ׺ ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÚÖÖÖÖÖ ÕÙ³³Ò ÜÜÒØ
гÙÒÒ × ÙÜ ÑÔÐÐØÙÙÙ× ÞÞÖÓ¸ ÒÓÙ× ÖÖØÖÓÙÚÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐи
ØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ × ÒÒÒ׸ ÓÙ ÔÔÖÖÓÓ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ × ÖÓÙÐÐÐÙܸ Ò ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ÙÜ
ÖÓÙÐÐÐÙÜ ÒÒÖÖ ´ÚÓÓÖ ÔÔÖØØØ º½½º¾ ÓÒ×××ÖÖÖ ÐÐ ÊÊÝÐÐÐÐй
ÒÒÖÖµº
½¿ºº ËØØØØÐÐØØ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× Ò ÒÒÒ׸ ÖÖÖÖ×
Ø ÜÜÜÓÒÒÐÐ×
ÚÒØ ØÖÖÖØØÖ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ × ×ÓÐÙØØÓÒ׸ ÒÓÙ× ÚÓÒ× × Ó Ó Ò
ÔÖÖÖÖ××Ö ÕÙÙÐÕÙÙ× ÔÖÓÔÖÖÖØØ× ÕÙÙ ××ÖÓÒØ ÙØØÐÐ× ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØغ ÌÓÙØ ³³³ÓÖÖ
ÒÓØÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÒÒÖÖÐÐ× ´´ÕÙÙØØÓÒ× ½¿º½½¸ ½¿º½½ Ø ½¿º½½µ ÓÒØØØÒÒÒÒØ
ÐÐ× ÖÖÖ× ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ½¿º¿º¾µ Ø ÐÐ× ÒÒÒ× ´´ÓÑÑÑ ÓÒ ÚÚ ÐÐ ÚÓÓÖ Ò×
ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔµ ÓÑÑÑ × ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖº ÓÑÑÑÒÒÓÒ× ÔÔÖ ÐÐ × ÐÐ ÔÐÙ× ××ÑÔÐи
ÐÙÙ × ÑÓØØØ× ×ÓÙ× ÓÖÑÑ ÒÒÒ׺ Ò× ×¸ ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× ³³ÕÙÙØØÓÒ×
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ× ½¿º½½¸ ½¿º½½ Ø ½¿º½½¸ Ò ÔÓ××ÒØ A 2 = A 3 = 0¸
ÓÙ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ½¿º¾½ Ø ½¿º¾¾¸ Ò ÔÓ××ÒØ A 2 = 0µ ×× ÖÖÖÙÙ××ÒØ ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ
ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ ØÝ Ô Ô
˙
A 1 = A 1 − |A 1 |
2 A 1
´½¿º¾¿µ
ÓÓ A 1 ×Ø ÐÐ ××ÙÐÐ ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÓÒ ÒÙÐÐк ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÐÐÑÑÒØ Ú ÖÖÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ
ÔÔÔ×× Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ A 1 ¸ ¸ Ò Ô Ó × Ò Ø A 1 (t) = R 1 (t)e
iθ(t) ¸ ×Ø ÓÒ×ØØÒØØ
´´ººº ˙
θ = 0µ¸ ظ ÓÑÔØØ ØØÒ٠г³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÔÔÖ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ¸ ØØØ ÔÔÔ×× ×Ø
ÖÖÖØÖÖÖÖÖ¸ Ø ÔÔÙØ ÓÒÒ ØÖÖ ÔÖÖ×× ÐÐ ÞÞÖÓ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A 1 ×Ø ÓÒÒ ÖÖÖÐÐк
ij³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A 1 ÔÓ××××× ÙÜ Ô Ó Ó Ò Ø× ÜÜ× A 1 = 0 Ø
A 1 ±
√
¸ Ú > 0º ÄÄ ÑÔ ××ÓÓÓÓ ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò ÒÒÒ× ×Ø ÓÒÒÒ
ÔÔÖ
φ = A 1 (t)e
iqcx
+ c.c.
´½¿º¾¾µ
ÓÓ c.c. ÚÚÙØ ÔÓÙÖ ÓÑÔÐÐÜÜ ÓÒÒÙÙÙÙº ü ÐÐ ÖÖÒÒÒ Ù × ÔÙÖÖÑÑÒØ ÙÒÒÒÒÑÑÒ¹
××ÓÒÒÒÐ ´´´ÒÒÒ ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ Ò× ÙÒ ×ÔÔÔÔ ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒµ¸ г³×ÔÔÔÔ ×Ø
½¼ ÁÐ ÓÒÚÚÚÒØ ÔÖÖÖÖ××Ö ÕÙÙ ÐÐ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÖÖÖÖ×
ÒÒ ×× ÔÔ× ÐÐÐ× × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÜÜÜÓÒÒÐÐ× ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ Ò ÔÓ××ÒØ A 3 = 0µº
ÄÄ ØØÖÑÑÒÒØØÓÒ × ÓÓØ ×× ÖÖ × ÔÔÖ ×º ÆÓÙ× ÖÖÖÓÑÑÑÒÒÓÒ× ×ÙÙÚÖÖ ÐÐ
ÑÑÑÑ ÕÙÙ ÐÐÐ ÔÖÖ××ÒØØØ Ò× ÐÐ ÔÔÖØØØ ½¿ºº ÔÓÙÖ ÐÐ× ÜÜÜÓÒÒ׸ Ø Ð³³³ÓÔØØÖ
Ù × ³ÙÒÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÖÖÖÖº ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× ÖÖÖÖ ÐÐ× ÑÑÑÑ× ÒÓØØØØÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ×
Ò ³³ÚÚØØÖ ÑÙÐØØÔÐÐÐÖ ÐÐ× ÒÓØØØØÓÒ׺
¿¾¿
ÕÙÙ ÒØÖÖÖÒÒ γ = 0µ ½¼ º ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
˙
A 1 = A 1 − [|A 1 |
2
+ ν|A 2 |
2
]A 1 ,
´½¿º¾½µ
˙
A 2 = A 2 − [|A 2 |
2
+ ν|A 1 |
2
]A 2 .
´½¿º¾¾µ
ÓÑÑÑ Ò× ÐÐ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÔÖÖÖÖÖÖÒظ ÐÐ× ÖÖÖÐÐ× ÔÔÖ ×ÝÑÑØÖÖÖ¸ ×ÓÓØ
г³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÔÔÖ ÖÓØØØØÓÒ ³ÙÒ ÒÒÐÐ 2π/4 ´´ÓÒÒ π/2µ Ø Ð³³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÔÔÖ
ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ¸ ÜÜÒØ ÐÐ ÓÖÑÑ × ÕÙÙØØÓÒ׺ ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÚÖÖÖÖÖ ÕÙ³³Ò ÜÜÒØ
гÙÒÒ × ÙÜ ÑÔÐÐØÙÙÙ× ÞÞÖÓ¸ ÒÓÙ× ÖÖØÖÓÙÚÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐи
ØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ × ÒÒÒ׸ ÓÙ ÔÔÖÖÓÓ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ × ÖÓÙÐÐÐÙܸ Ò ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ÙÜ
ÖÓÙÐÐÐÙÜ ÒÒÖÖ ´ÚÓÓÖ ÔÔÖØØØ º½½º¾ ÓÒ×××ÖÖÖ ÐÐ ÊÊÝÐÐÐÐй
ÒÒÖÖµº
½¿ºº ËØØØØÐÐØØ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× Ò ÒÒÒ׸ ÖÖÖÖ×
Ø ÜÜÜÓÒÒÐÐ×
ÚÒØ ØÖÖÖØØÖ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ × ×ÓÐÙØØÓÒ׸ ÒÓÙ× ÚÓÒ× × Ó Ó Ò
ÔÖÖÖÖ××Ö ÕÙÙÐÕÙÙ× ÔÖÓÔÖÖÖØØ× ÕÙÙ ××ÖÓÒØ ÙØØÐÐ× ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØغ ÌÓÙØ ³³³ÓÖÖ
ÒÓØÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÒÒÖÖÐÐ× ´´ÕÙÙØØÓÒ× ½¿º½½¸ ½¿º½½ Ø ½¿º½½µ ÓÒØØØÒÒÒÒØ
ÐÐ× ÖÖÖ× ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ½¿º¿º¾µ Ø ÐÐ× ÒÒÒ× ´´ÓÑÑÑ ÓÒ ÚÚ ÐÐ ÚÓÓÖ Ò×
ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔµ ÓÑÑÑ × ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖº ÓÑÑÑÒÒÓÒ× ÔÔÖ ÐÐ × ÐÐ ÔÐÙ× ××ÑÔÐи
ÐÙÙ × ÑÓØØØ× ×ÓÙ× ÓÖÑÑ ÒÒÒ׺ Ò× ×¸ ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× ³³ÕÙÙØØÓÒ×
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ× ½¿º½½¸ ½¿º½½ Ø ½¿º½½¸ Ò ÔÓ××ÒØ A 2 = A 3 = 0¸
ÓÙ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ½¿º¾½ Ø ½¿º¾¾¸ Ò ÔÓ××ÒØ A 2 = 0µ ×× ÖÖÖÙÙ××ÒØ ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ
ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ ØÝ Ô Ô
˙
A 1 = A 1 − |A 1 |
2 A 1
´½¿º¾¿µ
ÓÓ A 1 ×Ø ÐÐ ××ÙÐÐ ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÓÒ ÒÙÐÐк ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÐÐÑÑÒØ Ú ÖÖÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ
ÔÔÔ×× Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ A 1 ¸ ¸ Ò Ô Ó × Ò Ø A 1 (t) = R 1 (t)e
iθ(t) ¸ ×Ø ÓÒ×ØØÒØØ
´´ººº ˙
θ = 0µ¸ ظ ÓÑÔØØ ØØÒ٠г³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÔÔÖ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ¸ ØØØ ÔÔÔ×× ×Ø
ÖÖÖØÖÖÖÖÖ¸ Ø ÔÔÙØ ÓÒÒ ØÖÖ ÔÖÖ×× ÐÐ ÞÞÖÓ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A 1 ×Ø ÓÒÒ ÖÖÖÐÐк
ij³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A 1 ÔÓ××××× ÙÜ Ô Ó Ó Ò Ø× ÜÜ× A 1 = 0 Ø
A 1 ±
√
¸ Ú > 0º ÄÄ ÑÔ ××ÓÓÓÓ ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò ÒÒÒ× ×Ø ÓÒÒÒ
ÔÔÖ
φ = A 1 (t)e
iqcx
+ c.c.
´½¿º¾¾µ
ÓÓ c.c. ÚÚÙØ ÔÓÙÖ ÓÑÔÐÐÜÜ ÓÒÒÙÙÙÙº ü ÐÐ ÖÖÒÒÒ Ù × ÔÙÖÖÑÑÒØ ÙÒÒÒÒÑÑÒ¹
××ÓÒÒÒÐ ´´´ÒÒÒ ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ Ò× ÙÒ ×ÔÔÔÔ ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒµ¸ г³×ÔÔÔÔ ×Ø
½¼ ÁÐ ÓÒÚÚÚÒØ ÔÖÖÖÖ××Ö ÕÙÙ ÐÐ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÖÖÖÖ×
ÒÒ ×× ÔÔ× ÐÐÐ× × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÜÜÜÓÒÒÐÐ× ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ Ò ÔÓ××ÒØ A 3 = 0µº
ÄÄ ØØÖÑÑÒÒØØÓÒ × ÓÓØ ×× ÖÖ × ÔÔÖ ×º ÆÓÙ× ÖÖÖÓÑÑÑÒÒÓÒ× ×ÙÙÚÖÖ ÐÐ
ÑÑÑÑ ÕÙÙ ÐÐÐ ÔÖÖ××ÒØØØ Ò× ÐÐ ÔÔÖØØØ ½¿ºº ÔÓÙÖ ÐÐ× ÜÜÜÓÒÒ׸ Ø Ð³³³ÓÔØØÖ
Ù × ³ÙÒÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÖÖÖÖº ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× ÖÖÖÖ ÐÐ× ÑÑÑÑ× ÒÓØØØØÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ×
Ò ³³ÚÚØØÖ ÑÙÐØØÔÐÐÐÖ ÐÐ× ÒÓØØØØÓÒ׺