½¿º ËØÖÙÙØÙÖÖ× ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ×
¿½½
ÔÖÓÙÚÚÖ¸ ÖÖ¹¹¹ÖÖÚÓÒ× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐ ØØØÖÑÓ¹¹ÓÒÚÚÚØØÓÒ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÙÙÚ¹
ÒØØ
∂T
∂t
+ v.
∇T = κ∇
2 T
Ø
ρ[
∂∂ v
∂t
+ v.
∇v] = ν∇
2 v −
∇p + ρρ g,
∇.. v = 0
ÓÓ ν = η/ρ ×Ø ÐÐ ÚÚ××Ó××ØØ ÒÒÑÑØØÕÙÙ¸ η ×Ø ÐÐ ÚÚ××Ó××ØØ ÝÒÒÑÑÕÙÙ¸ Ø ρ ×Ø ÐÐ
Ò××Øغ ÄÄ ÑÑÑÓÖÖØØ × ÙÙÙÙ× ×ÓÒØ Ø× ÙÙÙÙ× ÓÙ×××ÒÒ×Õ ¸ Ù ÒÓÑ Ù
ÑÑØØØÑÑØØØØØÒ Ø ÔÔÝ×××××Ò ÖÖÒÒÒÒ׸ ÂÓ××ÔÔ ÎÐÐÒØØÒ ÓÙ×××ÒÒ×Õ ´½½½¾¹½½¾¾µº
Ò× ØØØ Ð ×Ø ÑÑ× ÕÙÙ ÐÐ Ò××ØØ Ù ÙÙÙÙ ÒÒ ÚÚÖÖÖ ÕÙÙ ×ÙÙØØ
Ù Ò Ò ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ¸ Ø ÒÓÒ¸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи Ù Ø ³ÙÒÒ ÚÚÖÖÖØØÓÒ
ÔÖÖ×××ÓÒ ´ÐÐ ÙÙÙÙ ×Ø ÒÒÓÑÔÖÖ××××Ðеº Ò×׸ ÐÐ ÚÚÖÖÖØØÓÒ ÐÐ Ò××ØØ Ò³³×Ø
ÔÖÖ×× Ò ÓÑÔØØ ÕÙÙ Ò× ÐÐ ØØÖÑÑ ÖÖÚÚØØ Ø ÐÐÐ ×Ø ×ÙÔÔÓ××× ÓÒ×ØØÒØØ
Ò× ÐÐ× ÙØÖÖ× ØØÖÑÑ׺ Ò×׸ ÔÖÖÒÓÒ× ÔÔÖØÓÙØ ρ = ρ 0 ¸ × Ù Ú ÐÐ ØØÖÑÑ Ò
g ÓÓ ÒÓÙ× ÔÓ×ÓÒ× ρ = ρ 0 (1 − α(T − T ↓))¸ Ó α × Ø Ð Ó Ò Ø ³³ÜÔÔÒ××ÓÒ
ØØØÖÑÑÕÙÙ ´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ µ¸ Ø T ↓ ×Ø ÐÐ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ÐÐ ÔÐÐÕÙÙ ÒÒÒÖÖÖÙÖÖº
ÈÓ×ÓÒ× θ = T − T 0 (z)¸ Ó T 0 (z) ×Ø ÐÐ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ Ð³³ØØØ ÓÒÒÙÙØØØ ÔÙÖ¸ Ø
ÖÖ¹¹¹ÖÖÚÓÒ× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ¹¹¹××Ù× ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ
∂θ
∂t
+ v.
∇θ = κ∇
2 θ
Ø
ρ 0 [
∂∂ v
∂t
+ v.
∇ v] = ν∇
2 v −
∇p + ρ 0 g ˆ
zθ,
∇.. v = 0 ,
ÓÓ ÒÓÙ× ÖÖÔÔÔÐÓÒ× ÐÐ ÐÐÐÒ ÐÐ× ÚÚ××Ó××ØØ× ÒÒÑÑØØÕÙÙ Ø ÝÒÒÑÑÕÙÙ ν = η/ρ
Ø ˆ
z ×Ø ÐÐ ÚØØÙÖ ÙÒÒØØØÖÖ ÖÖÖÖ ÐÐ ÐÓÒÒ Ð³³ÜÜ ÚÚÖØØØØÐ Ozº ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ
ÐÐÙÐÐ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖ ×Ø ÓÑÔÖÖ×× ÒØÖÖ z = 0 ´ÔÐÐÕÙÙ ÒÒÒÖÖÖÙÖÖµ Ø z = d
´ÔÐÐÕÙÙ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖµº ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ θ ´ØØÐ ÕÙ³³Ð ØØ ÒÒ ¹¹¹××Ù×µ ××ØØ××××Ø
ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÙÜ ÐÐÑÑØØ× θ(x, y, z = 0, t) = θ(x, y, z = d, t) = 0¸ Ø ØØÒØ ÓÒÒÒ
ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ×ÙÖÖÖÖÖ× ×ÓÒØ Ø Ò ØØÕÙÙ׸ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÙÜ ÐÐÑÑØØ× ×ÙÖ ÐÐ ÚÚØØ×××
×ÓÒØ ×ÙÖ ÐÐ× ÙÜ ÔÐÐÕÙÙ׺ ÕÙÙ ÕÙÙÒØØØØ ´ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ¸ ÚÚØØ××× Ø
ÔÖÖ×××ÓÒµ ÒØÖÖÒØ Ò Ù Ò× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ¹¹¹××Ù× ×ظ Ò ÒÒÖÖи ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ
Ù ØØÑÔ× t Ø × ØÖÓÓ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ³³×ÔÔÔÔ (x, y, z)º Á Ð ×Ø ÐÐ ÚÓÓÖ ÕÙÙ ÐÐ
×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐ ØØØÖÑÓ¹¹ÓÒÚØØÓÒ ¹¹¹××Ù× ´´´´ÓÓÒØ ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ×
ÙÜ ÐÐÑÑØØ×µ ×Ø ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× Ð³ÓÔÔÖÖØØÓÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ ×ÙÙÚÚÒØØ
[v x , v y , v z , θ, p](t, x, y, z) → [v x , v y , −v z , θ, p](t, x, y, d − z) ,
´½¿º½½µ
ÓÓ v x ×Ø ÐÐ ÓÑÔÓ××ÒØØ Ù ÚÚÚØØÙÖ ÚÚØØ××× v ×ÙÖ Ð³³ÜÜ Ox¸ Øغ ÇÖ¸ ÙÒÒ ØØÐÐÐ
×ÝÑÑØÖÖÖ Ò³³×Ø ÖÖÖÒ ³³ÙØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÕÙÙ ÓÒ×××ØØ ÐÐ ÙØ
ÐÐ × ´×ÝÑÑØÖÖÖ Ùع¹¹× µº Ò×׸ Ò× Ð³³ÔÔÖÓÜÜÑÑØØÓÒ ÓÙ×××ÒÒ×Õ¸
ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐ ØØØÖÑÓ¹¹ÓÒÚØØÓÒ ÓÙÙ×××ÒØ ØØØ ×ÝÑÑØÖÖÖ¸ ÕÙÙ ÒÒÒÒÒ
ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ × ÜÜÜÓÒÒ׺ Ò Ø¸ Ùܹ¹¹ ×ÓÒØ ÜÔÖÖÑÑ× ×ÓÙ× ÓÖÑÑ ³ÙÒÒ
ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ×ÙÙÚÒØص¸
¿½½
ÔÖÓÙÚÚÖ¸ ÖÖ¹¹¹ÖÖÚÓÒ× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐ ØØØÖÑÓ¹¹ÓÒÚÚÚØØÓÒ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÙÙÚ¹
ÒØØ
∂T
∂t
+ v.
∇T = κ∇
2 T
Ø
ρ[
∂∂ v
∂t
+ v.
∇v] = ν∇
2 v −
∇p + ρρ g,
∇.. v = 0
ÓÓ ν = η/ρ ×Ø ÐÐ ÚÚ××Ó××ØØ ÒÒÑÑØØÕÙÙ¸ η ×Ø ÐÐ ÚÚ××Ó××ØØ ÝÒÒÑÑÕÙÙ¸ Ø ρ ×Ø ÐÐ
Ò××Øغ ÄÄ ÑÑÑÓÖÖØØ × ÙÙÙÙ× ×ÓÒØ Ø× ÙÙÙÙ× ÓÙ×××ÒÒ×Õ ¸ Ù ÒÓÑ Ù
ÑÑØØØÑÑØØØØØÒ Ø ÔÔÝ×××××Ò ÖÖÒÒÒÒ׸ ÂÓ××ÔÔ ÎÐÐÒØØÒ ÓÙ×××ÒÒ×Õ ´½½½¾¹½½¾¾µº
Ò× ØØØ Ð ×Ø ÑÑ× ÕÙÙ ÐÐ Ò××ØØ Ù ÙÙÙÙ ÒÒ ÚÚÖÖÖ ÕÙÙ ×ÙÙØØ
Ù Ò Ò ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ¸ Ø ÒÓÒ¸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи Ù Ø ³ÙÒÒ ÚÚÖÖÖØØÓÒ
ÔÖÖ×××ÓÒ ´ÐÐ ÙÙÙÙ ×Ø ÒÒÓÑÔÖÖ××××Ðеº Ò×׸ ÐÐ ÚÚÖÖÖØØÓÒ ÐÐ Ò××ØØ Ò³³×Ø
ÔÖÖ×× Ò ÓÑÔØØ ÕÙÙ Ò× ÐÐ ØØÖÑÑ ÖÖÚÚØØ Ø ÐÐÐ ×Ø ×ÙÔÔÓ××× ÓÒ×ØØÒØØ
Ò× ÐÐ× ÙØÖÖ× ØØÖÑÑ׺ Ò×׸ ÔÖÖÒÓÒ× ÔÔÖØÓÙØ ρ = ρ 0 ¸ × Ù Ú ÐÐ ØØÖÑÑ Ò
g ÓÓ ÒÓÙ× ÔÓ×ÓÒ× ρ = ρ 0 (1 − α(T − T ↓))¸ Ó α × Ø Ð Ó Ò Ø ³³ÜÔÔÒ××ÓÒ
ØØØÖÑÑÕÙÙ ´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ µ¸ Ø T ↓ ×Ø ÐÐ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ÐÐ ÔÐÐÕÙÙ ÒÒÒÖÖÖÙÖÖº
ÈÓ×ÓÒ× θ = T − T 0 (z)¸ Ó T 0 (z) ×Ø ÐÐ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ Ð³³ØØØ ÓÒÒÙÙØØØ ÔÙÖ¸ Ø
ÖÖ¹¹¹ÖÖÚÓÒ× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ¹¹¹××Ù× ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ
∂θ
∂t
+ v.
∇θ = κ∇
2 θ
Ø
ρ 0 [
∂∂ v
∂t
+ v.
∇ v] = ν∇
2 v −
∇p + ρ 0 g ˆ
zθ,
∇.. v = 0 ,
ÓÓ ÒÓÙ× ÖÖÔÔÔÐÓÒ× ÐÐ ÐÐÐÒ ÐÐ× ÚÚ××Ó××ØØ× ÒÒÑÑØØÕÙÙ Ø ÝÒÒÑÑÕÙÙ ν = η/ρ
Ø ˆ
z ×Ø ÐÐ ÚØØÙÖ ÙÒÒØØØÖÖ ÖÖÖÖ ÐÐ ÐÓÒÒ Ð³³ÜÜ ÚÚÖØØØØÐ Ozº ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ
ÐÐÙÐÐ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖ ×Ø ÓÑÔÖÖ×× ÒØÖÖ z = 0 ´ÔÐÐÕÙÙ ÒÒÒÖÖÖÙÖÖµ Ø z = d
´ÔÐÐÕÙÙ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖµº ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ θ ´ØØÐ ÕÙ³³Ð ØØ ÒÒ ¹¹¹××Ù×µ ××ØØ××××Ø
ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÙÜ ÐÐÑÑØØ× θ(x, y, z = 0, t) = θ(x, y, z = d, t) = 0¸ Ø ØØÒØ ÓÒÒÒ
ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ×ÙÖÖÖÖÖ× ×ÓÒØ Ø Ò ØØÕÙÙ׸ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÙÜ ÐÐÑÑØØ× ×ÙÖ ÐÐ ÚÚØØ×××
×ÓÒØ ×ÙÖ ÐÐ× ÙÜ ÔÐÐÕÙÙ׺ ÕÙÙ ÕÙÙÒØØØØ ´ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ¸ ÚÚØØ××× Ø
ÔÖÖ×××ÓÒµ ÒØÖÖÒØ Ò Ù Ò× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ¹¹¹××Ù× ×ظ Ò ÒÒÖÖи ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ
Ù ØØÑÔ× t Ø × ØÖÓÓ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ³³×ÔÔÔÔ (x, y, z)º Á Ð ×Ø ÐÐ ÚÓÓÖ ÕÙÙ ÐÐ
×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐ ØØØÖÑÓ¹¹ÓÒÚØØÓÒ ¹¹¹××Ù× ´´´´ÓÓÒØ ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ×
ÙÜ ÐÐÑÑØØ×µ ×Ø ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× Ð³ÓÔÔÖÖØØÓÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ ×ÙÙÚÚÒØØ
[v x , v y , v z , θ, p](t, x, y, z) → [v x , v y , −v z , θ, p](t, x, y, d − z) ,
´½¿º½½µ
ÓÓ v x ×Ø ÐÐ ÓÑÔÓ××ÒØØ Ù ÚÚÚØØÙÖ ÚÚØØ××× v ×ÙÖ Ð³³ÜÜ Ox¸ Øغ ÇÖ¸ ÙÒÒ ØØÐÐÐ
×ÝÑÑØÖÖÖ Ò³³×Ø ÖÖÖÒ ³³ÙØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÕÙÙ ÓÒ×××ØØ ÐÐ ÙØ
ÐÐ × ´×ÝÑÑØÖÖÖ Ùع¹¹× µº Ò×׸ Ò× Ð³³ÔÔÖÓÜÜÑÑØØÓÒ ÓÙ×××ÒÒ×Õ¸
ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐ ØØØÖÑÓ¹¹ÓÒÚØØÓÒ ÓÙÙ×××ÒØ ØØØ ×ÝÑÑØÖÖÖ¸ ÕÙÙ ÒÒÒÒÒ
ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ × ÜÜÜÓÒÒ׺ Ò Ø¸ Ùܹ¹¹ ×ÓÒØ ÜÔÖÖÑÑ× ×ÓÙ× ÓÖÑÑ ³ÙÒÒ
ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ×ÙÙÚÒØص¸