¿½½
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÙÖÖ ½¿ºº ÇÒ ÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ× ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× ´ÖÖÔÔÓÖØØ× ÐÐ ÑÑÑÑ ÓÖÖÖÖÒÒµ ÕÙÙ
××ØØ××ÓÒØ q2 + q3 − q1 = 0 Ø q1 + q2 − q3 = 0 ´ÐÐ× ÙÜ ××ÑÑ× ÙÙÙÒÒ
ÖÓØØØØÓÒ ÔÔÖ ÙÒ ÒÒÐÐ ³ÓÖÖÖÖ n = 2, 3, 4, 6 ÒÒ ÔÔÙØ ÖÖ ÓÓÒÒÒÒÒÖ ÐÐ ×× ÐÐй
ÑÑÑѺ × ÓÑÑÑÒÒÒ×ÓÒ× ÒÒ ×ÓÒØ ÓÒÒ ÔÔ× ÔÔÖÑÑ××׺ ÄÄ ØÖÓÓ×××ÑÑ ××ÑÑ ÐÐÙ×ØÖÖ
гÓÖÖÖÖ ÖÖÖº ÍÒÒ ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ÓÒÒÙÙØ ØØÓÒÒÒÖ ÐÐ× ÙÜ ÚØØÙÖ×
³ÓÒÒÒ׺ ÄÄÙÖ ×ÓÑÑÑ ÒÒ ÔÔÙØ ÓÓÒÒÒÒÒÖ Ú Ð³ÙÒ × ÙÜ ÚØØÙÖ× ×× ´ÓÙ ÐÐÙÖ×
ÓÔÔÓ××׸ ÕÙÙ Ù ÓÑÔÐÐÜÜ ÓÒÒÙÙÙÙ Ò ØØÖÑÑ× Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Aµº ü
ÖÓÓØØ ÓÒ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÓÒÒÒÙÖÖØØÓÒ ÔÔÖÑÑ×× ÓÓ ÐÐ ×ÓÑÑÑ ÙÜ ÚØØÙÖ× ×Ø ÐÐ
гÓÔÔÓ×× Ù ØÖÓÓ×××ÑѺ ÚÙØ ÖÖ ÕÙ٠г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ³ÙÒ ÑÓÓÓ ´´´×ÓÒ× A1µ ××
ÓÙÔÐÐ Ù ÓÑÔÐÐÜÜ ÓÒÒÙÙÙÙ Ù ÔÖÓÓÙÙØ × ÙÜ ÙØÖÖ׺
ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ ÕÙÙ ×× ÓÙÔÐРгÓÖÖÖÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ A 1 ×Ø
A
∗
2 A
∗
3 .
´½¿º½¼µ
ÇÒ ÔÔÙØ ÐÐÑÒØ Ú ÖÖÖÖÖ ÕÙÙ ××ÙРгÓÖÖÖÖ ÜÜÜÓÒÒÐ ÔÔÙØ ××ع
××××ÖÖ ÙÒÒ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙº ÈÈÖ ÜÜÑÔÐи Ò ÓÓ×××××ÒØ ÙÒ ÜÜ
³ÓÖÖÖÖ ÖÖÖ ´×ÝÑÑØÖÖÖ ÖÖÖÖµ¸ ÙÙÙÒÒ ÙÜ ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ×
ÒÒ ÓÒÒÙÙØ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¿ººµº
½¿º¾º¾ ÁÒÒÒÒÒØØÓÒ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÜÜÜÓÒÒÐÐ× ×
ÐÐ ÓÒÚÚÚØØÓÒ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖ
ØØØ ÖÖÖÐÐ ÒÒÖÖÐÐ ÐÐ ÔÖÖÖÓÑÑÒÒÒÒÒ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÜÜÜÓÒÒÐÐ× Ò× ÐÐ
ÒÒØÙÖÖ¸ Ð ÜÜ×ØØ × ÜÜÜÔØØÓÒ׺ Ò Ø¸ Ò ÖÖÖ×ÓÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ× ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖÖ× Ù
×Ý×ØØÑѸ Ð ×Ø ÔÓ××××ÐÐ ÕÙÙ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ÒÒ ×ÓÓÓÒØ Ô ×
ÙØÓÖÖ××× Ø ÔÔÖ ÐÐ ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒØ ÓÒÒÒ ×ÙÖ Ð³³ÝÔÓØØØ×× ÐÐ ÓÑѹ
ÒÒÒÒÒ ÐÐ ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ½¿º¾º½µ ÑÑÒÒÒØ Ð³³ÑÑÖÖÖÒÒÒ
×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÜÜÜÓÒÒÐÐ× ÒÒ ÔÔÙØ ÔÔ× ØÖÖ ×ÙÙÚÚº ÍÒ ÜÜÑÔÐÐ ÐÐÐÖÖ ØØØ
ØØØÓÖÖÖ ×Ý×ØØÑÑ× ×Ø ÐÐ ÓÒÚÚÚØØÓÒ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖ¸ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÚÓÒ×
ØÙÙÙÙÙ Ò× ÐÐ ÓÒ×××ÖÖ Ð³³ÑÑÖÖÖÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ ÙÒÒÒÒÑÑÒ¹
××ÓÒÒÐ ´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ µº ØØØ ÖÑÑØØÓÒ Ò³³×Ø ÔÖÖÓÖÖ ÔÔ× ÚÚÚÚÒØظ ØØÒØ
ÓÒÒÒ ÕÙÙ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐ ØØØÖÑÓ¹¹ÓÒÚÚÚØØÓÒ × ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ×
ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ׸ ØØÐ ÐÐ ØØÖÑÑ Ò v.∇ v ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ºººµº ÅÅÅ× ÙÒÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ
Ò× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× Ò Ø Ð³³ÔÔÔÖÖØØÓÒ × ÜÜÜÓÒÒ׺ ÈÓÙÖ ÐÐ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÙÖÖ ½¿ºº ÇÒ ÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ× ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× ´ÖÖÔÔÓÖØØ× ÐÐ ÑÑÑÑ ÓÖÖÖÖÒÒµ ÕÙÙ
××ØØ××ÓÒØ q2 + q3 − q1 = 0 Ø q1 + q2 − q3 = 0 ´ÐÐ× ÙÜ ××ÑÑ× ÙÙÙÒÒ
ÖÓØØØØÓÒ ÔÔÖ ÙÒ ÒÒÐÐ ³ÓÖÖÖÖ n = 2, 3, 4, 6 ÒÒ ÔÔÙØ ÖÖ ÓÓÒÒÒÒÒÖ ÐÐ ×× ÐÐй
ÑÑÑѺ × ÓÑÑÑÒÒÒ×ÓÒ× ÒÒ ×ÓÒØ ÓÒÒ ÔÔ× ÔÔÖÑÑ××׺ ÄÄ ØÖÓÓ×××ÑÑ ××ÑÑ ÐÐÙ×ØÖÖ
гÓÖÖÖÖ ÖÖÖº ÍÒÒ ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ÓÒÒÙÙØ ØØÓÒÒÒÖ ÐÐ× ÙÜ ÚØØÙÖ×
³ÓÒÒÒ׺ ÄÄÙÖ ×ÓÑÑÑ ÒÒ ÔÔÙØ ÓÓÒÒÒÒÒÖ Ú Ð³ÙÒ × ÙÜ ÚØØÙÖ× ×× ´ÓÙ ÐÐÙÖ×
ÓÔÔÓ××׸ ÕÙÙ Ù ÓÑÔÐÐÜÜ ÓÒÒÙÙÙÙ Ò ØØÖÑÑ× Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Aµº ü
ÖÓÓØØ ÓÒ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÓÒÒÒÙÖÖØØÓÒ ÔÔÖÑÑ×× ÓÓ ÐÐ ×ÓÑÑÑ ÙÜ ÚØØÙÖ× ×Ø ÐÐ
гÓÔÔÓ×× Ù ØÖÓÓ×××ÑѺ ÚÙØ ÖÖ ÕÙ٠г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ³ÙÒ ÑÓÓÓ ´´´×ÓÒ× A1µ ××
ÓÙÔÐÐ Ù ÓÑÔÐÐÜÜ ÓÒÒÙÙÙÙ Ù ÔÖÓÓÙÙØ × ÙÜ ÙØÖÖ׺
ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ ÕÙÙ ×× ÓÙÔÐРгÓÖÖÖÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ A 1 ×Ø
A
∗
2 A
∗
3 .
´½¿º½¼µ
ÇÒ ÔÔÙØ ÐÐÑÒØ Ú ÖÖÖÖÖ ÕÙÙ ××ÙРгÓÖÖÖÖ ÜÜÜÓÒÒÐ ÔÔÙØ ××ع
××××ÖÖ ÙÒÒ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙº ÈÈÖ ÜÜÑÔÐи Ò ÓÓ×××××ÒØ ÙÒ ÜÜ
³ÓÖÖÖÖ ÖÖÖ ´×ÝÑÑØÖÖÖ ÖÖÖÖµ¸ ÙÙÙÒÒ ÙÜ ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ×
ÒÒ ÓÒÒÙÙØ ÐÐ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¿ººµº
½¿º¾º¾ ÁÒÒÒÒÒØØÓÒ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÜÜÜÓÒÒÐÐ× ×
ÐÐ ÓÒÚÚÚØØÓÒ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖ
ØØØ ÖÖÖÐÐ ÒÒÖÖÐÐ ÐÐ ÔÖÖÖÓÑÑÒÒÒÒÒ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÜÜÜÓÒÒÐÐ× Ò× ÐÐ
ÒÒØÙÖÖ¸ Ð ÜÜ×ØØ × ÜÜÜÔØØÓÒ׺ Ò Ø¸ Ò ÖÖÖ×ÓÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ× ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖÖ× Ù
×Ý×ØØÑѸ Ð ×Ø ÔÓ××××ÐÐ ÕÙÙ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ÒÒ ×ÓÓÓÒØ Ô ×
ÙØÓÖÖ××× Ø ÔÔÖ ÐÐ ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒØ ÓÒÒÒ ×ÙÖ Ð³³ÝÔÓØØØ×× ÐÐ ÓÑѹ
ÒÒÒÒÒ ÐÐ ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ½¿º¾º½µ ÑÑÒÒÒØ Ð³³ÑÑÖÖÖÒÒÒ
×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÜÜÜÓÒÒÐÐ× ÒÒ ÔÔÙØ ÔÔ× ØÖÖ ×ÙÙÚÚº ÍÒ ÜÜÑÔÐÐ ÐÐÐÖÖ ØØØ
ØØØÓÖÖÖ ×Ý×ØØÑÑ× ×Ø ÐÐ ÓÒÚÚÚØØÓÒ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖ¸ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÚÓÒ×
ØÙÙÙÙÙ Ò× ÐÐ ÓÒ×××ÖÖ Ð³³ÑÑÖÖÖÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ ÙÒÒÒÒÑÑÒ¹
××ÓÒÒÐ ´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ µº ØØØ ÖÑÑØØÓÒ Ò³³×Ø ÔÖÖÓÖÖ ÔÔ× ÚÚÚÚÒØظ ØØÒØ
ÓÒÒÒ ÕÙÙ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐ ØØØÖÑÓ¹¹ÓÒÚÚÚØØÓÒ × ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ×
ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ׸ ØØÐ ÐÐ ØØÖÑÑ Ò v.∇ v ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ºººµº ÅÅÅ× ÙÒÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ
Ò× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× Ò Ø Ð³³ÔÔÔÖÖØØÓÒ × ÜÜÜÓÒÒ׺ ÈÓÙÖ ÐÐ