½¿º ËØÖÙÙØÙÖÖ× ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ×
¿½½
Ø ÒÚÚ×ØØØÙÓÒ× ØÓÙØØ× ÐÐ× ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ× ÓÒ×ØØØÙÙÙ× Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ
¿ ÑÓÓÓ× ÖÖÖØÖÖÖÖÖ× ´ÐÐ ÔÖÖ×× Ò ÓÑÔØØ ¿ ÑÓÓÓ× ÒÒÖÖÙÜ ÖÖÖØÖÖÖÖÖ× ÒÒÐÙÙ
Ò ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ ÐÐ× ØÝÔÔ× ³ÓÖÖÖÖ ÔÓ××××ÐÐ× ÙÜ ÑÑÒ××ÓÒ×µ¸ ×ÓÓØ
(i) A
2
1 , (ii) A
2
2 , A
2
3 , (iii) A 1 A 2 , (iv) A 1 A 3 , (v) A 2 A 3 ,
(vi) A
∗
1 A 2 , (vii) A
∗
1 A 3 , (viii) A
∗
2 A 3
´½¿ººµ
Ò×× ÕÙÙ ÐÐÙÖ× ÓÑÔÐÐÜÜ× ÓÒÒÙÙÙÙ×
(i) A
∗2
1 , (ii) A
∗2
2 , (iii) A
∗2
3 , (iv) A
∗ 1 A
∗
2 , (v) A
∗ 1 A
∗
3 ,
(vi) A
∗ 2 A
∗
3 , (vii) A 1 A
∗ 2 , (viii) A 1 A
∗
3 , A 2 A
∗ 3
´½¿ººµ
ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ×ÙÖ × ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ× ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿ººµ
ÐÐÐ× ×ÓÒØ ÙÜ ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× ×ÙÙÚÒØ×
(i) 2 q 1 , (ii) 2 q 2 , (iii) 2 q 3 , (iv) q 1 + q 2 , (v) q 1 + q 3 ,
(vi) q 2 + q 3 , (vii)− q 1 + q 3 , (viii) − q 2 + q 3 .
´½¿ººµ
ÄÄ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ÙÒÒ × ÓÑÒÒÒ×ÓÒ× ³³ØÖÖ ÐÐ
q 1 º ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖÖ Ò³³×Ø Ð³³ÚÚÚÚÒÒÒ ÔÔ× ÔÓ××××Ðи ÐÐ ×××ÓÒÒÒ Ø ÐÐ ØÖÓÓ×××ÑÑ
ÑÔÐÐÕÙÙÒØ ÕÙÙ q 1 ×ÓÓØ ÓÐÐÒÒÒÒÖÖ q 2 Ø q 3 ¸ ¸¸ ÕÙÙ ¸³ÙÒÒ ÔÔÖظ ¸ ÙÒ
ÓÖÖÖÖ ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒи ¸Ø ³³ÙØÖÖ ÔÔÖØ ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÑÔÐÐÕÙÙ ÕÙÙ ÐÐ ÑÓÓÙÐÐ
q 1 ×ÓÓØ Ð Ù ÓÙÙÐÐ q 2 ÓÙ q 3 º ÇÖ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÐÐ×
ØÖÓÓ× ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× ÓÒØ ÙÒ ÑÓÓÙÐÐ q c ¸ Ø Ð³ÙÒ ÒÒ ÔÔÙØ ØÖÖ ÐÐ ÓÙÙÐÐ
г³ÙØÖÖº ÈÓÙÖ ÐÐ× ÑÑÑÑ× ÖÖÖ×ÓÒ× ÕÙÙ ÔÓÙÖ ÐÐ× ÓÑÑÑÒÒÒ×ÓÒ× (i)¸(ii)¸ ¸Ø (iii)¸ ÐÐ×
ÓÑÒÒÒ×ÓÒ× (iv)¸ (v)¸ (vii) ×ÓÒØ ÖØØÖº ÁÐ ÒÒ ÖÖ×ØØ ÔÐÙ× ÕÙÙ (vi)
Ø (viii) ÕÙÙ ÑÔÓ××ÒØ ˜
q 2 + ˜
q 3 − ˜
q 1 = 0 Ø q 1 + q 2 − q 3 = 0º × ÖÖÐÐØØÓÒ× ×ÓÒØ
ÖÖÔÖÖ××ÒØØØ× ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ½¿ººº ÅÅÑÑ ×× × ÙÜ
׳³ÔÔÔÖÖÒØØÒØ ÙÒÒ ×ØÖÙÙØÙÖÖ ØÖÖÖÒÒÙÐÐÐÖÖ¸ ÙÒÒ ÖÓØØØØÓÒ ÔÔÖ ÙÒ ÒÒÐÐ ³ÓÖÖÖÖ
n = 1, 2, 3, 4, 6 ´ÐÐ× ××ÙÐ× ÒÒÐÐ× ÙØÓÖÖ××× ÔÓÙÖ ÙÒ ÓÖÖÖÖ ÑÑÒ××ÓÒÒÒе ÒÒ Ø
ÓÓÒÒÒÒÒÖ Ò ÙÙÙÒ × ÐÐ ×× × ÚÚÚØØÙÖ× ÒÒÖÖÖ ÔÔÖ ÖÓØØØØÓÒ ÐÐ ××
ÒÒØØØÐÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¿ººµº
ÜÜÑÑÒÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÐÐ× ½¿ºº ÕÙÙ ÙÜ Óѹ
ÒÒÒ×ÓÒ× ×ÙÙÚÒØØ× ÔÓÙÖ ÐÐ× ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ×
(i) − 2 q 1 , (ii) − 2 q 2 , (iii) − 2 q 3 , (iv) − ( q 1 + q 2 ), (v) − ( q 1 + q 3 )
(vi) − ( q 2 + q 3 ), (vii) q 1 − q 3 , (viii) q 2 − q 3 .
´½¿ººµ
Ò ÑÔÓ××ÒØ Ø Ø ÙÒÒ × ÜÔÖÖ×××ÓÒ× ³³ØÖÖ ÐÐ q 1 ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖØØÖ
ØÓÙØØ× ÐÐ× ´ÔÓÙÖ ÐÐ× ÑÑÑÑ× ÖÖÖ×ÓÒ× ÕÙÙ ÐÐÐ× ÖÖÒÒÓÒØÖÖÖ× ÔÐÙ×
Ùص г³ÜÜÜÔØØÓÒ (iv) ÓÒØ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ÑÔÐÐÕÙÙ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ
×ÙÙÚÒØØ −( q 2 + q 3 ) = q 1 ¸ ÓÙ ÒÒÓÖÖ
q 1 + q 2 + q 3 = 0 .
´½¿ººµ
ÓÑÑÑ Ù ××ÙÙÐ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ø Ò× ×ÓÒ ÚÓÓ××ÒÒÒÒ¸ ÐÐ× ØÖÓÓ× ÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ×
ÓÒØ ÐÐ ÑÑÑÑ ÑÓÓÙÐи × ÚÚÚØØÙÖ× ÓÒØ ÙÒ ÒÒÐÐ 2π/3 ÒØÖÖ ÙÜ Ð× ÓÒ¹
×ØØØÙÙÒØ Ò×× ÙÒÒ ×× ÜÜÜÓÒÒÐÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¿º¾µº ظ ÐÐ ××ÙÐÐ
¿½½
Ø ÒÚÚ×ØØØÙÓÒ× ØÓÙØØ× ÐÐ× ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ× ÓÒ×ØØØÙÙÙ× Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ
¿ ÑÓÓÓ× ÖÖÖØÖÖÖÖÖ× ´ÐÐ ÔÖÖ×× Ò ÓÑÔØØ ¿ ÑÓÓÓ× ÒÒÖÖÙÜ ÖÖÖØÖÖÖÖÖ× ÒÒÐÙÙ
Ò ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ ÐÐ× ØÝÔÔ× ³ÓÖÖÖÖ ÔÓ××××ÐÐ× ÙÜ ÑÑÒ××ÓÒ×µ¸ ×ÓÓØ
(i) A
2
1 , (ii) A
2
2 , A
2
3 , (iii) A 1 A 2 , (iv) A 1 A 3 , (v) A 2 A 3 ,
(vi) A
∗
1 A 2 , (vii) A
∗
1 A 3 , (viii) A
∗
2 A 3
´½¿ººµ
Ò×× ÕÙÙ ÐÐÙÖ× ÓÑÔÐÐÜÜ× ÓÒÒÙÙÙÙ×
(i) A
∗2
1 , (ii) A
∗2
2 , (iii) A
∗2
3 , (iv) A
∗ 1 A
∗
2 , (v) A
∗ 1 A
∗
3 ,
(vi) A
∗ 2 A
∗
3 , (vii) A 1 A
∗ 2 , (viii) A 1 A
∗
3 , A 2 A
∗ 3
´½¿ººµ
ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ×ÙÖ × ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ× ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿ººµ
ÐÐÐ× ×ÓÒØ ÙÜ ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× ×ÙÙÚÒØ×
(i) 2 q 1 , (ii) 2 q 2 , (iii) 2 q 3 , (iv) q 1 + q 2 , (v) q 1 + q 3 ,
(vi) q 2 + q 3 , (vii)− q 1 + q 3 , (viii) − q 2 + q 3 .
´½¿ººµ
ÄÄ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ÙÒÒ × ÓÑÒÒÒ×ÓÒ× ³³ØÖÖ ÐÐ
q 1 º ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖÖ Ò³³×Ø Ð³³ÚÚÚÚÒÒÒ ÔÔ× ÔÓ××××Ðи ÐÐ ×××ÓÒÒÒ Ø ÐÐ ØÖÓÓ×××ÑÑ
ÑÔÐÐÕÙÙÒØ ÕÙÙ q 1 ×ÓÓØ ÓÐÐÒÒÒÒÖÖ q 2 Ø q 3 ¸ ¸¸ ÕÙÙ ¸³ÙÒÒ ÔÔÖظ ¸ ÙÒ
ÓÖÖÖÖ ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒи ¸Ø ³³ÙØÖÖ ÔÔÖØ ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÑÔÐÐÕÙÙ ÕÙÙ ÐÐ ÑÓÓÙÐÐ
q 1 ×ÓÓØ Ð Ù ÓÙÙÐÐ q 2 ÓÙ q 3 º ÇÖ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÐÐ×
ØÖÓÓ× ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× ÓÒØ ÙÒ ÑÓÓÙÐÐ q c ¸ Ø Ð³ÙÒ ÒÒ ÔÔÙØ ØÖÖ ÐÐ ÓÙÙÐÐ
г³ÙØÖÖº ÈÓÙÖ ÐÐ× ÑÑÑÑ× ÖÖÖ×ÓÒ× ÕÙÙ ÔÓÙÖ ÐÐ× ÓÑÑÑÒÒÒ×ÓÒ× (i)¸(ii)¸ ¸Ø (iii)¸ ÐÐ×
ÓÑÒÒÒ×ÓÒ× (iv)¸ (v)¸ (vii) ×ÓÒØ ÖØØÖº ÁÐ ÒÒ ÖÖ×ØØ ÔÐÙ× ÕÙÙ (vi)
Ø (viii) ÕÙÙ ÑÔÓ××ÒØ ˜
q 2 + ˜
q 3 − ˜
q 1 = 0 Ø q 1 + q 2 − q 3 = 0º × ÖÖÐÐØØÓÒ× ×ÓÒØ
ÖÖÔÖÖ××ÒØØØ× ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ½¿ººº ÅÅÑÑ ×× × ÙÜ
׳³ÔÔÔÖÖÒØØÒØ ÙÒÒ ×ØÖÙÙØÙÖÖ ØÖÖÖÒÒÙÐÐÐÖÖ¸ ÙÒÒ ÖÓØØØØÓÒ ÔÔÖ ÙÒ ÒÒÐÐ ³ÓÖÖÖÖ
n = 1, 2, 3, 4, 6 ´ÐÐ× ××ÙÐ× ÒÒÐÐ× ÙØÓÖÖ××× ÔÓÙÖ ÙÒ ÓÖÖÖÖ ÑÑÒ××ÓÒÒÒе ÒÒ Ø
ÓÓÒÒÒÒÒÖ Ò ÙÙÙÒ × ÐÐ ×× × ÚÚÚØØÙÖ× ÒÒÖÖÖ ÔÔÖ ÖÓØØØØÓÒ ÐÐ ××
ÒÒØØØÐÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¿ººµº
ÜÜÑÑÒÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÐÐ× ½¿ºº ÕÙÙ ÙÜ Óѹ
ÒÒÒ×ÓÒ× ×ÙÙÚÒØØ× ÔÓÙÖ ÐÐ× ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ×
(i) − 2 q 1 , (ii) − 2 q 2 , (iii) − 2 q 3 , (iv) − ( q 1 + q 2 ), (v) − ( q 1 + q 3 )
(vi) − ( q 2 + q 3 ), (vii) q 1 − q 3 , (viii) q 2 − q 3 .
´½¿ººµ
Ò ÑÔÓ××ÒØ Ø Ø ÙÒÒ × ÜÔÖÖ×××ÓÒ× ³³ØÖÖ ÐÐ q 1 ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖØØÖ
ØÓÙØØ× ÐÐ× ´ÔÓÙÖ ÐÐ× ÑÑÑÑ× ÖÖÖ×ÓÒ× ÕÙÙ ÐÐÐ× ÖÖÒÒÓÒØÖÖÖ× ÔÐÙ×
Ùص г³ÜÜÜÔØØÓÒ (iv) ÓÒØ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ÑÔÐÐÕÙÙ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ
×ÙÙÚÒØØ −( q 2 + q 3 ) = q 1 ¸ ÓÙ ÒÒÓÖÖ
q 1 + q 2 + q 3 = 0 .
´½¿ººµ
ÓÑÑÑ Ù ××ÙÙÐ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ø Ò× ×ÓÒ ÚÓÓ××ÒÒÒÒ¸ ÐÐ× ØÖÓÓ× ÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ×
ÓÒØ ÐÐ ÑÑÑÑ ÑÓÓÙÐи × ÚÚÚØØÙÖ× ÓÒØ ÙÒ ÒÒÐÐ 2π/3 ÒØÖÖ ÙÜ Ð× ÓÒ¹
×ØØØÙÙÒØ Ò×× ÙÒÒ ×× ÜÜÜÓÒÒÐÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¿º¾µº ظ ÐÐ ××ÙÐÐ