½¿º ËØÖÙÙØÙÖÖ× ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ×
¿½½
½¿º½º½ ÄÄ× ÖÖÒØ× ØÝÔÔ× ³ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ
ÙÜ ÑÑÒ××ÓÒ×
ÐÐ ÖÖÒÒÒ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐ ÙÒ ××ÙÐ ØÝÔÔ ³ÓÖÖÖÖ
×ÓÓØ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ Ò× ÐÐ ÖÖÖØØÓÒ Ox¸ Ð ÜÜ×ØØ ÐÐ×
ÔÖÓÓÐÐÑÑ× ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ× ØÝÔÔ× ³ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØк ÄÄ× ØÝÔÔ× ³ÓÖÖÖÖ
ÐÐ× ÔÐÙ× Ù×ÙÙÐ× ×ÓÒØ ´´µ ÐÐ× ÒÒÒ× ´´´ ÕÙÙ × ÖÓÙÐÐÐÙÜ Ò× ÐÐ ×
ÐÐ ÓÒÚØØÓÒ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖµ ´´´µ гÓÖÖÖÖ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÖÖÖÖ ´ÓÓ ÖÖ×××Ù
ÖÖÖµ ´´´´µ гÓÖÖÖÖ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÜÜÜÓÒÒÐк ÆÓÙ× ÒÓÙ× ÔÖÓÔÓ×ÓÒ× ³³ÒÙÑÑÖÖÖ
¹¹ÔÖÖ× ÐÐ× ØÝÔÔ× ³ÓÖÖÖÖ× ÔÔÖØØÖ ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ× ÒÒÖÖÐÐ׺
ij³ÜÜ×ØØÒÒÒ ³ÙÒ ÓÖÖÖÖ ×××ÒÒÒÒ ÕÙ³³Ð Ý ÙÒÒ ÒÚ Ö Ò Ù Ñ Ó Ø Ò ×× ¹
ÔÐÐÐÐÒØ ÔÔÖ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ ³ÙÒÒ ÖØØØÒÒ ×ØØÒÒÒº ÄÄ ×ØØÒÒÒ ÑÑÒÒÑÑÐÐ ÖÖÕÙÙ××
ÔÓÙÖ ÖÖØÖÓÙÚÚÖ ÐÐ ÑÑÑÑ ÑÓØØØ Ò³³×Ø ÙØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ³ÓÒÒÒ Ù ÑÓØØغ ØØØ
ÓÒÒÒØØÓÒ ÔÔÖ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ Ù ÑÓØØØ ÖÖ×ØÖÖÖÒظ Ò Ø¸ ÐÐ ÒÓÑÖÖ
×ÓÐÙØØÓÒ× ÓÖÖÓÒÒÒÒ× ÔÓ××××ÐÐ׺ ÈÐÙ× ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒظ Ð Ò³³ÜÜ×ØØ ÕÙÙ ÒÕ ØÝÔÔ×
ÖÖ×××ÙÜ ×ØØÒÒØ׺ × ÖÖ×××ÙÜ ÐÐ× ÙÒ× × ÙØÖÖ× ÔÔÖ ÐÐÙÖ× ×ÝÑÑØÖÖÖ׺
ÈÈ××ÓÒ× ÔÖÖ××ÒØ ÐÐ ÑÓÒ×ØÖÖØØÓÒ ÖÖ×ÙÐØØØ Ø ×××ÒÓÒ× ÔÔÖ λ ÐÐ ÔÐÙ×
ÔÔØØØØ ÔÔÖÖÓÓÓ ÔÓ××××ÐÐ Ù ÖÖ×××Ùº ÈÖÖÒÓÒ× ÙÜ ÔÓÓÒØ× A Ø B ××ØÙÙ× ÙÜ ÒÒÙÙ×
Ù ÖÖ×××Ù Ø ³ÙÒÒ ÐÓÒÒÙÙÙÖ λ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¿º½µº ØÙÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ
ÙÒÒ ÖÓØØØØÓÒ ³ÙÒ ÒÒÐÐ α = 2π/n¸ ¸ ÚÚÚ n ÒØØØÖ¸ ÑÑÒÒÒÖÖ ÖÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ÔÓÓÒØ
A Ò A
Ø B Ò B
´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¿º½µº ËË ÐÐ ÖÖ×××Ù ÙÒÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ ³ÓÖÖÖÖ
n¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ×³³Ð ÓÙÙØ Ð³³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÔÔÖ ÖÓØØØØÓÒ ³ÙÒ ÒÒÐÐ α Ø ××× ÑÙй
ØØÔÐÐ× ÐÐ× ÒÓÙÚÚÚÙÜ ÔÓÓÒØ× Ò×× ÓÓØØÒÙ׸ A
Ø B
¸ ÔÔÔÖØØÒÒÖ
ÙÜ ÒÒÙÙ× Ù ÖÖ×××Ùº ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ Ò³³×Ø ××ØØ××××ØØ ÕÙÙ ×× × ÙÜ ÔÓÓÒØ×
×ÓÒØ pλ ÓÓ p ×Ø ÙÒ ÒØØØÖº ÄÄ ×ØØÒÒÒ ÒØÖÖ A
Ø B
¸ × Ó Ø pλ¸ ¸ × Ø
ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ÓÑÑØÖÖÕÙÙ ×ÙÙÚÚÒØØ
pλ = λ + 2λ sin(α − π/2) = λ − 2λ cos(α) .
´½¿ººµ
ÖÖ×ÙÐØØظ ÙÙØ ÐÐ ÙÖÖ ½¿º½¸ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
cos α = (1−p)/2 Ø ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ×ÓÐÙÙ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ×
ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ÓÙ ÐРгÙÒÒØØ ´´ººº | cos(α)| ≤ 1)¸ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ÒØØØÖ p ÒÒ ÔÔÙØ
ÔÖÖÒÒÖÖ ÕÙÙ ÐÐ× ÚÚÐÐÙÖ× ×ÙÙÚÚÒØØ× 3¸ 2¸ 1 ÓÙ 0º × ÚÚÐÐÙÖ×
× ÖÓØØØØÓÒ× ³³ÒÒÐÐ α = 2π/n¸ Ó n = 2, 3, 4, Ø 6º × ÖÓØØØØÓÒ×
³ÓÖÖÖÖ n¸ Ø× ÒÒÓÖÖ ÜÜ× ³ÓÖÖÖÖ n¸ ×ÓÒØ ÐÐ× ××ÙÐÐ× ÖÓØØØØÓÒ× ÓÑÔÔØØØÐÐ×
г³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÔÔÖ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒº ÍÒÒ × ÓÒ××ÕÙÙÒÒÒ× ÔÖÖØØÕÙÙ× ÖÖ×ÙÐØØØ
ÑÑØØØÑÑØØÕÙÙ ÓÒ×××ØØ ÒÓØØÖ Ð³³ÑÔÓ×××××ÐÐØØ ÔÔÚÖ ÓÒØØÒÑÑÒØ Ù Ò × Ó Ð Ô Ð Ø
г³³³³ ³ÙÒ ÖÖÖÐÐÐÐ ÐÐ ÔÔÔÔÔ ÔÓ××××× ÓÙ ØØ׺
Ò ÖÖÚÚÒÒ¸ ÐÐ ÔÔÚÚÚÚ ÓÒØØÒÙ ³ÙÒ ÔÐÐÒ × ÔÔÔÔÔ× ×¹
ÔÓ××ÒØ ¸ ¸ ¿ ÓÙ ¾ ØØ× ×Ø ØÓÙØ Ø ÙÒ ÜÜ ³ÓÖÖÖÖ
ÙÒÒ ÔÔÔÔÔ ØØ× ×ÓÓØ ÙÒÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÜÜÜÓÒÒÐи
гÓÖÖÖÖ 4 ÙÒÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÖÖÖÖ¸ гÓÖÖÖÖ 3 ÙÒÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ ØÖÖÖÒÒÙÐÐÐÖÖ¸ гÓÖÖÖÖ 2
ÙÒÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÖÖÖØØÒÒÙÐÐÐÖÖ¸ Ø Ð³ÓÖÖÖÖ 1 ÙÒÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÓÓÐÐÕÙÙ
³³×Ø ÐÐ ÑÓÓÒ× ×ÝÑÑØÖÖÕÙÙ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÓÖÖÓÒÒÒÒ׺ × ×ÝÑÑØÖÖÖ×
ØÝÔÔ× ÖÖÒØ× ÖÖ×××ÙÜ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¿ººµº ÄÄ ÙÖÖ ½¿ºº ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ×
ÜÜÑÔÐÐ× ÑÓØØØ× ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ׺ ÄÄ× ÖÖ×××ÙÜ ÓÖÖÓÒÒÒ× ×ÓÒØ ×ÓÙÚÒØ ÒÓÑÑÑ×
¿½½
½¿º½º½ ÄÄ× ÖÖÒØ× ØÝÔÔ× ³ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ
ÙÜ ÑÑÒ××ÓÒ×
ÐÐ ÖÖÒÒÒ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐ ÙÒ ××ÙÐ ØÝÔÔ ³ÓÖÖÖÖ
×ÓÓØ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ Ò× ÐÐ ÖÖÖØØÓÒ Ox¸ Ð ÜÜ×ØØ ÐÐ×
ÔÖÓÓÐÐÑÑ× ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ× ØÝÔÔ× ³ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØк ÄÄ× ØÝÔÔ× ³ÓÖÖÖÖ
ÐÐ× ÔÐÙ× Ù×ÙÙÐ× ×ÓÒØ ´´µ ÐÐ× ÒÒÒ× ´´´ ÕÙÙ × ÖÓÙÐÐÐÙÜ Ò× ÐÐ ×
ÐÐ ÓÒÚØØÓÒ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖµ ´´´µ гÓÖÖÖÖ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÖÖÖÖ ´ÓÓ ÖÖ×××Ù
ÖÖÖµ ´´´´µ гÓÖÖÖÖ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÜÜÜÓÒÒÐк ÆÓÙ× ÒÓÙ× ÔÖÓÔÓ×ÓÒ× ³³ÒÙÑÑÖÖÖ
¹¹ÔÖÖ× ÐÐ× ØÝÔÔ× ³ÓÖÖÖÖ× ÔÔÖØØÖ ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ× ÒÒÖÖÐÐ׺
ij³ÜÜ×ØØÒÒÒ ³ÙÒ ÓÖÖÖÖ ×××ÒÒÒÒ ÕÙ³³Ð Ý ÙÒÒ ÒÚ Ö Ò Ù Ñ Ó Ø Ò ×× ¹
ÔÐÐÐÐÒØ ÔÔÖ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ ³ÙÒÒ ÖØØØÒÒ ×ØØÒÒÒº ÄÄ ×ØØÒÒÒ ÑÑÒÒÑÑÐÐ ÖÖÕÙÙ××
ÔÓÙÖ ÖÖØÖÓÙÚÚÖ ÐÐ ÑÑÑÑ ÑÓØØØ Ò³³×Ø ÙØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ³ÓÒÒÒ Ù ÑÓØØغ ØØØ
ÓÒÒÒØØÓÒ ÔÔÖ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ Ù ÑÓØØØ ÖÖ×ØÖÖÖÒظ Ò Ø¸ ÐÐ ÒÓÑÖÖ
×ÓÐÙØØÓÒ× ÓÖÖÓÒÒÒÒ× ÔÓ××××ÐÐ׺ ÈÐÙ× ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒظ Ð Ò³³ÜÜ×ØØ ÕÙÙ ÒÕ ØÝÔÔ×
ÖÖ×××ÙÜ ×ØØÒÒØ׺ × ÖÖ×××ÙÜ ÐÐ× ÙÒ× × ÙØÖÖ× ÔÔÖ ÐÐÙÖ× ×ÝÑÑØÖÖÖ׺
ÈÈ××ÓÒ× ÔÖÖ××ÒØ ÐÐ ÑÓÒ×ØÖÖØØÓÒ ÖÖ×ÙÐØØØ Ø ×××ÒÓÒ× ÔÔÖ λ ÐÐ ÔÐÙ×
ÔÔØØØØ ÔÔÖÖÓÓÓ ÔÓ××××ÐÐ Ù ÖÖ×××Ùº ÈÖÖÒÓÒ× ÙÜ ÔÓÓÒØ× A Ø B ××ØÙÙ× ÙÜ ÒÒÙÙ×
Ù ÖÖ×××Ù Ø ³ÙÒÒ ÐÓÒÒÙÙÙÖ λ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¿º½µº ØÙÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ
ÙÒÒ ÖÓØØØØÓÒ ³ÙÒ ÒÒÐÐ α = 2π/n¸ ¸ ÚÚÚ n ÒØØØÖ¸ ÑÑÒÒÒÖÖ ÖÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ÔÓÓÒØ
A Ò A
Ø B Ò B
´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¿º½µº ËË ÐÐ ÖÖ×××Ù ÙÒÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ ³ÓÖÖÖÖ
n¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ×³³Ð ÓÙÙØ Ð³³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÔÔÖ ÖÓØØØØÓÒ ³ÙÒ ÒÒÐÐ α Ø ××× ÑÙй
ØØÔÐÐ× ÐÐ× ÒÓÙÚÚÚÙÜ ÔÓÓÒØ× Ò×× ÓÓØØÒÙ׸ A
Ø B
¸ ÔÔÔÖØØÒÒÖ
ÙÜ ÒÒÙÙ× Ù ÖÖ×××Ùº ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ Ò³³×Ø ××ØØ××××ØØ ÕÙÙ ×× × ÙÜ ÔÓÓÒØ×
×ÓÒØ pλ ÓÓ p ×Ø ÙÒ ÒØØØÖº ÄÄ ×ØØÒÒÒ ÒØÖÖ A
Ø B
¸ × Ó Ø pλ¸ ¸ × Ø
ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ÓÑÑØÖÖÕÙÙ ×ÙÙÚÚÒØØ
pλ = λ + 2λ sin(α − π/2) = λ − 2λ cos(α) .
´½¿ººµ
ÖÖ×ÙÐØØظ ÙÙØ ÐÐ ÙÖÖ ½¿º½¸ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
cos α = (1−p)/2 Ø ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ×ÓÐÙÙ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ×
ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ÓÙ ÐРгÙÒÒØØ ´´ººº | cos(α)| ≤ 1)¸ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ÒØØØÖ p ÒÒ ÔÔÙØ
ÔÖÖÒÒÖÖ ÕÙÙ ÐÐ× ÚÚÐÐÙÖ× ×ÙÙÚÚÒØØ× 3¸ 2¸ 1 ÓÙ 0º × ÚÚÐÐÙÖ×
× ÖÓØØØØÓÒ× ³³ÒÒÐÐ α = 2π/n¸ Ó n = 2, 3, 4, Ø 6º × ÖÓØØØØÓÒ×
³ÓÖÖÖÖ n¸ Ø× ÒÒÓÖÖ ÜÜ× ³ÓÖÖÖÖ n¸ ×ÓÒØ ÐÐ× ××ÙÐÐ× ÖÓØØØØÓÒ× ÓÑÔÔØØØÐÐ×
г³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÔÔÖ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒº ÍÒÒ × ÓÒ××ÕÙÙÒÒÒ× ÔÖÖØØÕÙÙ× ÖÖ×ÙÐØØØ
ÑÑØØØÑÑØØÕÙÙ ÓÒ×××ØØ ÒÓØØÖ Ð³³ÑÔÓ×××××ÐÐØØ ÔÔÚÖ ÓÒØØÒÑÑÒØ Ù Ò × Ó Ð Ô Ð Ø
г³³³³ ³ÙÒ ÖÖÖÐÐÐÐ ÐÐ ÔÔÔÔÔ ÔÓ××××× ÓÙ ØØ׺
Ò ÖÖÚÚÒÒ¸ ÐÐ ÔÔÚÚÚÚ ÓÒØØÒÙ ³ÙÒ ÔÐÐÒ × ÔÔÔÔÔ× ×¹
ÔÓ××ÒØ ¸ ¸ ¿ ÓÙ ¾ ØØ× ×Ø ØÓÙØ Ø ÙÒ ÜÜ ³ÓÖÖÖÖ
ÙÒÒ ÔÔÔÔÔ ØØ× ×ÓÓØ ÙÒÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÜÜÜÓÒÒÐи
гÓÖÖÖÖ 4 ÙÒÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÖÖÖÖ¸ гÓÖÖÖÖ 3 ÙÒÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ ØÖÖÖÒÒÙÐÐÐÖÖ¸ гÓÖÖÖÖ 2
ÙÒÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÖÖÖØØÒÒÙÐÐÐÖÖ¸ Ø Ð³ÓÖÖÖÖ 1 ÙÒÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÓÓÐÐÕÙÙ
³³×Ø ÐÐ ÑÓÓÒ× ×ÝÑÑØÖÖÕÙÙ × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÓÖÖÓÒÒÒÒ׺ × ×ÝÑÑØÖÖÖ×
ØÝÔÔ× ÖÖÒØ× ÖÖ×××ÙÜ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¿ººµº ÄÄ ÙÖÖ ½¿ºº ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ×
ÜÜÑÔÐÐ× ÑÓØØØ× ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ׺ ÄÄ× ÖÖ×××ÙÜ ÓÖÖÓÒÒÒ× ×ÓÒØ ×ÓÙÚÒØ ÒÓÑÑÑ×