¿½¼
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÙÒ ÖÖ×ÙÐØØØ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ÕÙÙ ÖÖÐÐÐ ÐÐ ØØÙÜ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ω
Ù ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ q ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÒÓÙ× ÓÒÒ ³ÙÒÒ ÖÖÐÐØØÓÒ
ØÝÔÔ ω(q)º
Ò× ÐÐ × ÑÑÒ××ÓÒÒÒи ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ ÔÓ××××× ÙÜ ÓÑÔÓ××ÒØØ×
q x Ø q y Ò× ÐÐ× ÖÖÖØØÓÒ× x Ø y Ù ÔÐÐÒº ËË ÐÐ ÔÐÐÒ (O, x, y) ÒÒ ÔÖÖ××ÒØØ
ÙÙÙÒÒ ÖÖÖØØÓÒ ÔÖÖÚÚÐÐÐÐÐи ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÒÓÙ× ØØØÒÒÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ
ÒÒ ÔÔ× q x Ø q y гÙÒ Ð³³ÙØÖÖ¸
ÑÑÑ× ÙÒÒÕÙÙÑÑÒØ Ù ÑÓÓÙÐÐ Ù ÒÓÑÑÖÖ ³ÓÒÒÒ |q| Ù ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ qº ü
ØØØÖÖ ³³ÜÜÑÔÐи ÔÖÖÒÓÒ× ÓÑÑÑ ÕÙÙØØÓÒ ÑÓÓÓÐÐ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÐÐ ÚÖ××ÓÒ ÙÜ
ÑÑÒ××ÓÒ× ´´ººº ¾¾µ¸ ¸¸ ×ÙÖÖÖÓÓØ ´´ººº ÔÔ× ÖÖÖØØÓÒ ÔÖÖÚÚÐÐÐÐÐÐ Ò×
г³×ÔÔÔÔµ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ËÛÛÛعÀÓÓÓÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾µ Ò×
ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÒÓÙ× ÖÖÑÔÐÐÐÓÒ× ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ x ÔÔÖ ÐÐ ÐÐÔÐÐÐÐÐÒ ∇
2
ÙÜ ÑÑÒ××ÓÒ× ´´ººº ∇
2
= ∂ xx + ∂ yy µ¸ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ ËÛÛÛعÀÓÓÓÒÒÒÖÖ
∂φ
∂t
= [ − (1 + ∇
2
)
2
]φ + αφ
2
− φ
3 .
´½¿º½µ
ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ φ = 0 ×Ø ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ØÖÖÚÚÚÐРг³ÕÙÙØØÓÒ ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ
ËÛÛÛعÀÓÓÓÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º½µº Ò ³³ØÙÙÙÙÖ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ØØØ
×ÓÐÙØØÓÒ¸ ÒÓÙ× ÐÙÙ ×ÙÔÔÖÔÓ×ÓÒ× ÙÒÒ ÔÔØØØØ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ φ 1 Ø ÖÖÓÒ× ÙÒÒ
×ÓÐÙØØÓÒ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ
φ 1 = νe
ωt+iqxx+iqyy
≡ νe
ωt+ii q.. r ,
´½¿º¾µ
ÓÓ ν ×Ø ÙÒ ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ø r = (x, y) ×Ø ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ÔÓ××ØØÓÒº ÊÊÔÓÖØÓÒ× ØØØ
×ÓÐÙØØÓÒ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ ½¿º½ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ
×ÙÙÚ
ω = − (q
2
− 1)
2 ,
´½¿º¿µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÔÓ×× q = | q| Ø ÒÒÒÐÐÐÐ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ò νº
ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÖØØÕÙÙ¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ = 0¸ ÐÐ ÑÓÓÓ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ù ÚØØÙÖ
³ÓÒÒÒ ÖÖØØÕÙÙ ´´ººº q ≡ q c = 1µ ×Ø ÒÒÙØÖÖ ×ÓÒ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ω ×Ø ÒÙÐ
ÐÐ× ÙØÖÖ× ÑÓÓÓ× ÙÜ ÙØÖÖ× ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ ´´ººº q = q c µ ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ×
ÐÐÙÖ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ω ×Ø ÒÒÒÒØØغ ÄÄ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÖØØÕÙÙ ×Ø ÓÒÒ ÖÖÖØØÖÖ×××
ÔÔÖ ÐÐ ××ÙÐ ÓÙÔÐÐ ( c , q c ) = (0, 1)º Ä Ó Ö × Õ Ù > 0¸ ¸Ð ÜÜ×ØØ Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ ³ÓÒÒÒ
(q x , q y ) ÙÒ ÒÒÒÒÙ ÑÓÓÓ× Ò×ØØØÐÐ× ³³ÔÔÔ×××ÙÖ ÒÓØØØ |q + − q − |º Ë ×Ø ×ÙÙ¹
××ÑÑÑÒØ ÔÔØØظ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖ |q + − q − | ≡ Δq
√
/2 ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¿º¾µ
ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× ÓÒÒ Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒÒ ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒ Ð³³Ò×ØØØØй
ØØ Ø ÒÓÙ× ÒÒ ÔÓÙÚÓÒ× ÔÐÙ× ÖÖ ×ØÖÖÖØØÓÒ × ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ׺ Ò
ØØÖÑÑÒÒÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÜ ÑÑÒ××ÓÒ׸ ÒÓÙ× ÚÓÙ×
×ÙÙÚÖÖ ÐÐ ÑÑÑÑ ÕÙ³³Ù ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ ³ÙÒ ÓÖÖÖÖ ×ÔÔ¹
ØØØÐ ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ ´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ µ ÒÓÙ× ÓÒÒÒÖÓÒ× ¹¹ÔÖÖ× ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØØ Ø
ÔÓÙÖ ÐÐ× ØØØÐ× Ù ÐÐÙи ÒÓÙ× ÖÖÒÚÓÝÓÒ× ÐÐ ÐÐÐØØÙÖ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ØÖÖÖØØ Ò×
ÔÔØÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ ÔÓÙÖ ÙÜ ×ÝÑÑØÖÖÖ×
ÖÖÒØØ× ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ½¿ººº½µº
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÙÒ ÖÖ×ÙÐØØØ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ÕÙÙ ÖÖÐÐÐ ÐÐ ØØÙÜ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ω
Ù ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ q ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÒÓÙ× ÓÒÒ ³ÙÒÒ ÖÖÐÐØØÓÒ
ØÝÔÔ ω(q)º
Ò× ÐÐ × ÑÑÒ××ÓÒÒÒи ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ ÔÓ××××× ÙÜ ÓÑÔÓ××ÒØØ×
q x Ø q y Ò× ÐÐ× ÖÖÖØØÓÒ× x Ø y Ù ÔÐÐÒº ËË ÐÐ ÔÐÐÒ (O, x, y) ÒÒ ÔÖÖ××ÒØØ
ÙÙÙÒÒ ÖÖÖØØÓÒ ÔÖÖÚÚÐÐÐÐÐи ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÒÓÙ× ØØØÒÒÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ
ÒÒ ÔÔ× q x Ø q y гÙÒ Ð³³ÙØÖÖ¸
ÑÑÑ× ÙÒÒÕÙÙÑÑÒØ Ù ÑÓÓÙÐÐ Ù ÒÓÑÑÖÖ ³ÓÒÒÒ |q| Ù ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ qº ü
ØØØÖÖ ³³ÜÜÑÔÐи ÔÖÖÒÓÒ× ÓÑÑÑ ÕÙÙØØÓÒ ÑÓÓÓÐÐ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÐÐ ÚÖ××ÓÒ ÙÜ
ÑÑÒ××ÓÒ× ´´ººº ¾¾µ¸ ¸¸ ×ÙÖÖÖÓÓØ ´´ººº ÔÔ× ÖÖÖØØÓÒ ÔÖÖÚÚÐÐÐÐÐÐ Ò×
г³×ÔÔÔÔµ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ËÛÛÛعÀÓÓÓÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾µ Ò×
ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÒÓÙ× ÖÖÑÔÐÐÐÓÒ× ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ x ÔÔÖ ÐÐ ÐÐÔÐÐÐÐÐÒ ∇
2
ÙÜ ÑÑÒ××ÓÒ× ´´ººº ∇
2
= ∂ xx + ∂ yy µ¸ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ ËÛÛÛعÀÓÓÓÒÒÒÖÖ
∂φ
∂t
= [ − (1 + ∇
2
)
2
]φ + αφ
2
− φ
3 .
´½¿º½µ
ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ φ = 0 ×Ø ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ØÖÖÚÚÚÐРг³ÕÙÙØØÓÒ ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ
ËÛÛÛعÀÓÓÓÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¿º½µº Ò ³³ØÙÙÙÙÖ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ØØØ
×ÓÐÙØØÓÒ¸ ÒÓÙ× ÐÙÙ ×ÙÔÔÖÔÓ×ÓÒ× ÙÒÒ ÔÔØØØØ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ φ 1 Ø ÖÖÓÒ× ÙÒÒ
×ÓÐÙØØÓÒ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ
φ 1 = νe
ωt+iqxx+iqyy
≡ νe
ωt+ii q.. r ,
´½¿º¾µ
ÓÓ ν ×Ø ÙÒ ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ø r = (x, y) ×Ø ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ÔÓ××ØØÓÒº ÊÊÔÓÖØÓÒ× ØØØ
×ÓÐÙØØÓÒ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ ½¿º½ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ
×ÙÙÚ
ω = − (q
2
− 1)
2 ,
´½¿º¿µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÔÓ×× q = | q| Ø ÒÒÒÐÐÐÐ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ò νº
ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÖØØÕÙÙ¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ = 0¸ ÐÐ ÑÓÓÓ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ù ÚØØÙÖ
³ÓÒÒÒ ÖÖØØÕÙÙ ´´ººº q ≡ q c = 1µ ×Ø ÒÒÙØÖÖ ×ÓÒ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ω ×Ø ÒÙÐ
ÐÐ× ÙØÖÖ× ÑÓÓÓ× ÙÜ ÙØÖÖ× ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ ´´ººº q = q c µ ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ×
ÐÐÙÖ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ω ×Ø ÒÒÒÒØØغ ÄÄ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÖØØÕÙÙ ×Ø ÓÒÒ ÖÖÖØØÖÖ×××
ÔÔÖ ÐÐ ××ÙÐ ÓÙÔÐÐ ( c , q c ) = (0, 1)º Ä Ó Ö × Õ Ù > 0¸ ¸Ð ÜÜ×ØØ Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ ³ÓÒÒÒ
(q x , q y ) ÙÒ ÒÒÒÒÙ ÑÓÓÓ× Ò×ØØØÐÐ× ³³ÔÔÔ×××ÙÖ ÒÓØØØ |q + − q − |º Ë ×Ø ×ÙÙ¹
××ÑÑÑÒØ ÔÔØØظ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖ |q + − q − | ≡ Δq
√
/2 ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¿º¾µ
ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× ÓÒÒ Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒÒ ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒ Ð³³Ò×ØØØØй
ØØ Ø ÒÓÙ× ÒÒ ÔÓÙÚÓÒ× ÔÐÙ× ÖÖ ×ØÖÖÖØØÓÒ × ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ׺ Ò
ØØÖÑÑÒÒÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÜ ÑÑÒ××ÓÒ׸ ÒÓÙ× ÚÓÙ×
×ÙÙÚÖÖ ÐÐ ÑÑÑÑ ÕÙ³³Ù ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ ³ÙÒ ÓÖÖÖÖ ×ÔÔ¹
ØØØÐ ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ ´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ µ ÒÓÙ× ÓÒÒÒÖÓÒ× ¹¹ÔÖÖ× ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØØ Ø
ÔÓÙÖ ÐÐ× ØØØÐ× Ù ÐÐÙи ÒÓÙ× ÖÖÒÚÓÝÓÒ× ÐÐ ÐÐÐØØÙÖ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ØÖÖÖØØ Ò×
ÔÔØÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ ÔÓÙÖ ÙÜ ×ÝÑÑØÖÖÖ×
ÖÖÒØØ× ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ½¿ººº½µº