½¾º ÇÖÖÖÖ Ø ×ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ Ø ØØÑÔÓÖÖÐ
¿¼½
´´´µ ÓÒØÖÖÖÓ¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò ÓÒÒÒ ÔÐÐÒÒ Ò×ØØØÐÐ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× ×
ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ× ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ Q
2
ÚÚÚÒØ ÔÓ××ØØØ ÓÒÒ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ
ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ q × ÓÒÒÒ× ÔÐÐÒÒ× ××ØØ××××Ø Ð³³ÒÒÒÒÐÐØØ ×ÙÙÚÚÒØØ
q
2 >
1 + αβ
3 + αβ + 2β 2 .
´½¾º¾¾µ
³³×Ø ÐÐ ÒÒÖÖÐÐ××ØØÓÒ Ù ÖÖ×ÙÐØØØ ÓÓØØÒÙ ÔÓÙÖ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ³³³³³³Ù×
´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ½¼º¿µº Ò Ø¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ÓÒ×ØØÒØØ× α Ø β ×ÓÒØ ÒÙÐÐÐ×
´´ººº α = β = 0µ¸ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ |q| > 1/
√
3¸
ÕÙÙ Ò³³×Ø ÖÖÖÒ ³³ÙØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÖÖØØÖÖ ³³³Ù׺ ÆÓØÓÒ× ÒÒÐÐÑÑÒØ Õ Ù ×
г³ÒÒÒÒÐÐØØ ×ÙÙÚÚÒØظ ØØ ÖÖØØÖÖ ÒÒÒÑÑÒ¹¹Ö × Ø Ú ÖÖÖÖÖ
1 + αβ < 0 ,
´½¾º¾¾µ
ØÓÙØØ ÐÐ ÒÒÒ ×Ø Ò×ØØØÐи Ý ÓÑÔÖÖ× ÔÓÙÖ ÐÐ ÒÓÑÖÖ ³ÓÒÒÒ q ÒÙÐ
Ð Ò³³ÜÜ×ØØ Ò×× ÙÙÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ³ÓÒÒÒ ×ØØØÐк Ù ÓÑÑÑÒÒ Ò×ØØØÐÐ
ÒÒÒÑÑÒ¹¹Ö¸ ×Ø ÙÒÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÓÑÔÐÐÜܸ ÓÒØ ÒÓÙ× ÓÒÒÓÒ×
¹¹ÔÖÖ× ÙÒ ÖÖÔÔÔÔº
½¾ºº ÁÐÐÙ×ØÖÖØØÓÒ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÔÓÙÖ ÖØØØÒ×
× ØÝÔÔÕÙÙ× ÒÒÐÝ×× ÒÙÑÑÖÖÕÙÙ
ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× ÔÔ×××Ö Ò ÖÖÚÙÙ ÕÙÙÐÕÙÙ× ÔÖÓÔÖÖÖØØ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÓÓØØÒÙÙ× Ð³³³³³ ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÙÑÑÖÖÕÙÙº
½¾ººº½ ÇÒÒÒ× ÔÐÐÒÒ×
ÊÊÔÖÖÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾º½¿µ Ø ØØÖÖÖÙÓÒ×
× ÚÐÐÙÖ× ×ÔÔÔÔÔÕÙÙ× ÙÜ ÖÖÖÐÐÐ× α Ø β¸ × Ó Ø α = 1 Ø β = 2¸ ÔÓÙÖ
Ò ØÙÙÙÙÖ ×× ÝÒÒÑÑÕÙÙ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¾º½µº Ò× ×¸ ÐÐ ÖÖØØÖÖ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ
ÒÒÒÑÑÒ¹¹Ö ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾º¾¾µ Ò³³×Ø ÔÔ× ÚÚÖÖÖÖ ÔÙÙ×ÕÙÙ ÒÓÙ× ÚÓÒ× 1 + αβ =
3 > 0º ÄÄ ÖÖØØÖÖ ×ØØØØÐÐØØ Ù ×Ý×ØØÑÑ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾º¾¾µ ÒÒØ ÙÒÒ ÒÒÒ
ÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ × ÓÒÒÒ× ÔÐÐÒÒ× ×ØØØÐÐ× ØØÐ ÕÙÙ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ
³ÓÒÒÒ q ÚÖÖÖÖ −
3/13 < q <
3/13º ÄÄ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØ Ò× ÐÐ
ÙÖÖ ½¾º½ ÑÓÒØÖÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A¸ ÔÐÙ× ×ÔÔÔÔÔÕÙÙÑÑÒØ ×ÓÒ
ÑÓÓÙÐÐ |A|¸ Ø ×× ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ ÐÐ ÔÐÐÒ ×ÔÔØØÓ¹ØØÑÔÓÖÖÐ (x, t) ØÝÔÔ
ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ ×Ø ÔÔÖÖÓÓ× ÒÓÑÑÑ ÔÓÖØÖØ ×ÔÔØØÓ¹ØØÑÔÓÖк
Ò ÔÔÖØØÒØ ³ÙÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ÖÙÙØØظ ÓÙ ÐÐÐØÓÓÖÖ¸ ÒÓÙ× ÓÓ××ÖÚÓÒ×
ÕÙÙ ÐÐ ÑÓÓÙÐÐ A ÒÒØ ÔÔÖ ×³³ÓÑÓÓÓÒÒÒ××Ö Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× Ø ÔÔÖØÓÙØ Ò×
г³×ÔÔÔÔ ´´ÖÖÔÔÔ ÐÐ ÙÖÖ ½¾º½µº ÉÙÙÒØ ÐÐ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ Ø ÑÑѹ
ÒÒÒÖÖ ´´´ÐÐй¹¹ ×Ø ÒÓÒ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØ ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖµ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÔÔÖØÙÙÙØÖÖÖÖ¸
ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ´´´× × ÖÖÔÔÔ× ÖÓÓØØ ÐÐ ÙÖÖ ½¾º½µ ×ÔÔÖÖÖØ
Ù ÔÖÓÓØ ³ÙÒÒ ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ ÑÓÒØÖÖÒØ ÐÐ ÖÖÖØØÖÖ ÔÐÐÒ Ð³ÓÒÒÒº
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ³ÓÒÒÒ ÑÑØ ÔÐÙ× ØØÑÔ× ØØØØÒÒÖÖ ÙÒ ØØØ
¿¼½
´´´µ ÓÒØÖÖÖÓ¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò ÓÒÒÒ ÔÐÐÒÒ Ò×ØØØÐÐ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× ×
ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ× ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ Q
2
ÚÚÚÒØ ÔÓ××ØØØ ÓÒÒ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ
ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ q × ÓÒÒÒ× ÔÐÐÒÒ× ××ØØ××××Ø Ð³³ÒÒÒÒÐÐØØ ×ÙÙÚÚÒØØ
q
2 >
1 + αβ
3 + αβ + 2β 2 .
´½¾º¾¾µ
³³×Ø ÐÐ ÒÒÖÖÐÐ××ØØÓÒ Ù ÖÖ×ÙÐØØØ ÓÓØØÒÙ ÔÓÙÖ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ³³³³³³Ù×
´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ½¼º¿µº Ò Ø¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ÓÒ×ØØÒØØ× α Ø β ×ÓÒØ ÒÙÐÐÐ×
´´ººº α = β = 0µ¸ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ |q| > 1/
√
3¸
ÕÙÙ Ò³³×Ø ÖÖÖÒ ³³ÙØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÖÖØØÖÖ ³³³Ù׺ ÆÓØÓÒ× ÒÒÐÐÑÑÒØ Õ Ù ×
г³ÒÒÒÒÐÐØØ ×ÙÙÚÚÒØظ ØØ ÖÖØØÖÖ ÒÒÒÑÑÒ¹¹Ö × Ø Ú ÖÖÖÖÖ
1 + αβ < 0 ,
´½¾º¾¾µ
ØÓÙØØ ÐÐ ÒÒÒ ×Ø Ò×ØØØÐи Ý ÓÑÔÖÖ× ÔÓÙÖ ÐÐ ÒÓÑÖÖ ³ÓÒÒÒ q ÒÙÐ
Ð Ò³³ÜÜ×ØØ Ò×× ÙÙÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ³ÓÒÒÒ ×ØØØÐк Ù ÓÑÑÑÒÒ Ò×ØØØÐÐ
ÒÒÒÑÑÒ¹¹Ö¸ ×Ø ÙÒÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÓÑÔÐÐÜܸ ÓÒØ ÒÓÙ× ÓÒÒÓÒ×
¹¹ÔÖÖ× ÙÒ ÖÖÔÔÔÔº
½¾ºº ÁÐÐÙ×ØÖÖØØÓÒ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÔÓÙÖ ÖØØØÒ×
× ØÝÔÔÕÙÙ× ÒÒÐÝ×× ÒÙÑÑÖÖÕÙÙ
ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× ÔÔ×××Ö Ò ÖÖÚÙÙ ÕÙÙÐÕÙÙ× ÔÖÓÔÖÖÖØØ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÓÓØØÒÙÙ× Ð³³³³³ ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÙÑÑÖÖÕÙÙº
½¾ººº½ ÇÒÒÒ× ÔÐÐÒÒ×
ÊÊÔÖÖÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾º½¿µ Ø ØØÖÖÖÙÓÒ×
× ÚÐÐÙÖ× ×ÔÔÔÔÔÕÙÙ× ÙÜ ÖÖÖÐÐÐ× α Ø β¸ × Ó Ø α = 1 Ø β = 2¸ ÔÓÙÖ
Ò ØÙÙÙÙÖ ×× ÝÒÒÑÑÕÙÙ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¾º½µº Ò× ×¸ ÐÐ ÖÖØØÖÖ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ
ÒÒÒÑÑÒ¹¹Ö ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾º¾¾µ Ò³³×Ø ÔÔ× ÚÚÖÖÖÖ ÔÙÙ×ÕÙÙ ÒÓÙ× ÚÓÒ× 1 + αβ =
3 > 0º ÄÄ ÖÖØØÖÖ ×ØØØØÐÐØØ Ù ×Ý×ØØÑÑ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾º¾¾µ ÒÒØ ÙÒÒ ÒÒÒ
ÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ × ÓÒÒÒ× ÔÐÐÒÒ× ×ØØØÐÐ× ØØÐ ÕÙÙ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ
³ÓÒÒÒ q ÚÖÖÖÖ −
3/13 < q <
3/13º ÄÄ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØ Ò× ÐÐ
ÙÖÖ ½¾º½ ÑÓÒØÖÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A¸ ÔÐÙ× ×ÔÔÔÔÔÕÙÙÑÑÒØ ×ÓÒ
ÑÓÓÙÐÐ |A|¸ Ø ×× ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ ÐÐ ÔÐÐÒ ×ÔÔØØÓ¹ØØÑÔÓÖÖÐ (x, t) ØÝÔÔ
ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ ×Ø ÔÔÖÖÓÓ× ÒÓÑÑÑ ÔÓÖØÖØ ×ÔÔØØÓ¹ØØÑÔÓÖк
Ò ÔÔÖØØÒØ ³ÙÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ÖÙÙØØظ ÓÙ ÐÐÐØÓÓÖÖ¸ ÒÓÙ× ÓÓ××ÖÚÓÒ×
ÕÙÙ ÐÐ ÑÓÓÙÐÐ A ÒÒØ ÔÔÖ ×³³ÓÑÓÓÓÒÒÒ××Ö Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× Ø ÔÔÖØÓÙØ Ò×
г³×ÔÔÔÔ ´´ÖÖÔÔÔ ÐÐ ÙÖÖ ½¾º½µº ÉÙÙÒØ ÐÐ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ Ø ÑÑѹ
ÒÒÒÖÖ ´´´ÐÐй¹¹ ×Ø ÒÓÒ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØ ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖµ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÔÔÖØÙÙÙØÖÖÖÖ¸
ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ´´´× × ÖÖÔÔÔ× ÖÓÓØØ ÐÐ ÙÖÖ ½¾º½µ ×ÔÔÖÖÖØ
Ù ÔÖÓÓØ ³ÙÒÒ ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ ÑÓÒØÖÖÒØ ÐÐ ÖÖÖØØÖÖ ÔÐÐÒ Ð³ÓÒÒÒº
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ³ÓÒÒÒ ÑÑØ ÔÐÙ× ØØÑÔ× ØØØØÒÒÖÖ ÙÒ ØØØ