¿¼¼
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ËË ÐÐ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ Ù ØØÙÜ σ − г³Ò×ØØØØÐÐØØ ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ× ÒÒÒÒØØÚÚ¸ ÐÐ ÔÔÖØØØ
ÖÖÖÐÐÐ Ù ØØÙÜ σ + ÔÔÙØ ÚÒØÙÙÐÐÐÑÑÒØ Ø Ú ÒÒÖ ÔÓ××ØØÚÚ¸ ÕÙÙ ×Ø ÐÐ ×××ÒÒØÙÖÖ
Ù ÔÓ××××ÐÐ ³ÙÒÒ Ò×ØØØØÐÐØغ
ÊÊÑÑÖÕÙÓÒ× ÐÐÑÑÒØ ÕÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ Q ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ
×Ø ÒÙÐ ´´ººº Q = 0µ¸ ÐÐ ØØÙÜ σ + ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ÒÙÐ ÐÓÖ× ÕÙÙ ÐÐ ØØÙÜ σ −
×Ø ÒÒÒÒØØØ ´´ØØØÒÙÙØØÓÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØصº ÄÄ ÑÓÓÓ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐ ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ
ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ÒÙÐ ÒÒØ ÓÒÒ ÙÒ ÑÓÓÓ ÒÒÙØÖÖ ´´ººº ÑÓÓÓ ××ÓÓÓÓ
ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ ÒÙÐÐе ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ³ÙÒÒ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÕÙÙ ÒÒ ÖÓÓØ ÒÒ ÒÒ
ÖÓÓغ ÄÄ ÑÓÓÓ Q = 0 ÙÒÒ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ ÓÑÓÓÓÒÒ ÐÐ ÐÓÒÒ Ð³³ÜÜ
Ox ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Aº ÔÔÒÒÒÒظ ØØÒØ ÓÒÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ØÓØØÐ
ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ³ÙÒÒ Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ÖÖÔÔÔÔ Ø ³ÙÒÒ ÒÚÚÐÓÔÔÔ A
´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾ººµ¸ ÐÐ ÑÓÓÓ Q = 0 ÓÒÒ ÙÒÒ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ Ò
гÓÒÒÒ ÐÐ ÐÓÒÒ Ð³³ÜÜ Ox Ñ Ó Q = 0 ÖÖÖÖØØ Ð³³×ÔÔÔØ ÖÖÖØÖÖÖÖÖ
гÓÖÖÖÖÒÒ Ð³³ÜÜ Oxº º Ø ÝÔÔ ÑÓÓÓ ÒÒظ ÓÑÑÑ ÒÓÙ× Ð³³ÚÚÓÒ× ÚÓÕÙÙ
Ò× ÐÐ ×××ØØÓÒ ÓÒ×××ÖÖÖ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ³³³Ù× ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ½¼º¿µ ÙÒ ÑÓÓÓ
ÓÐÐ×ØÓÒÒº ØØØ ÔÔÖ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ ÐÐ ÐÓÒÒ Ð³³ÜÜ Ox ×××ÒÒÒÒ ÕÙÙ
г³ÚÓÐÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ Ø ÓÒÒ ÐÐ ÔÔÝ××ÕÙÙ ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÖÖØ ÒÒ ÔÔÒÒ ÔÔ× Ù
Ù ÖÖÖÖÖÖÒØØØРгÓÓ××ÖÚÚØØÙÖº
½¾º¿º¾ ÁÒ×ØØØØÐÐØØ ÒÒÒÑÑÒ¹¹Ö
ÄÄ ØØÙÜ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ σ + ×Ø ÓÒÒ ÒÙÐ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ Q ×Ø ÒÙÐ
ÑÑÑ× Ð ÔÔÙØ ÚÒÒÖ ÔÓ××ØØØ Ð ×Ø ÓÒÒ ÔÓ××××ÐÐ ÕÙ³ÙÒÒ Ò×ØØØØÐÐØØ ÔÙÙ××× ××
Ú ÔÓÙÖ × ÔÔØØØ× ÒÓÑÖÖ× ³ÓÒÒÒ Q¸ г³ÑÑÑÑ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ³³³¹
Ù× ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ½¼º¿µº ÈÓÙÖ ØÙÙÙÙÖ ØØØ ÔÓ×××××ÐÐØظ ÚÚÐÓÔÔÓÒ× ÐÐ ØØÙÜ
³³Ò×ØØØØÐÐØØ σ + ÔÓÙÖ × ÔÔØØØ× ÒÓÑÑÖÖ× ³ÓÒÒÒ Q ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ
σ + = −2i(α − β)qQ − [1 + αβ −
2q
2
(β
2
+ 1)
R 2
0
]Q
2
+ O(Q
3
)
´½¾º¾¾µ
ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖ ØØÖÑÑ ×Ø ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ Ø Ò³³³³³ØØ ÔÔ× ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÐÐ
×××ÓÒÒ ØØÖÑѸ Ù ×××ÓÒÒ ÓÖÖÖÖ Ò Q ´´ººº Ò Q
2
µ¸ ÔÔÙظ ÕÙÙÒØ ÐÙÙ¸ ÚÒÒÖ
ÔÓ××ØØظ ×××ÒÒÒØ Ò×× ÐÐ ³ÙÒÒ Ò×ØØØØÐÐØغ Ò×׸ ÒÓÙ× ×ØØÒÒÙÓÒ×
ÙÜ ×
´´µ ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò ÓÒÒÒ ÔÐÐÒÒ ×Ø ×ØØØÐÐ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× × ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ× ÐÓÖ×ÕÙÙ
ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ Ø Q
2
×Ø ÒÒÒÒØØظ ÕÙÙ Ù × ×ÙÙÚÒØ Ø
1 + αβ − 2q
2 β
2
+ 1
R 2
0
> 0 .
´½¾º¾¾µ
ظ ÔÙÙ×ÕÙÙ R 0 = 1 − q
2
´ÚÓÓÖ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ½¾º½½µ¸ ÐÐ× ÓÒÒÒ×
ÓÒØ Ð × Ú ØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ q ÚÚÖÖÖÖÒØ Ð³³ÒÒÒÒÐÐØØ ×ÙÙÚ
q
2 <
1 + αβ
3 + αβ + 2β 2
´½¾º¾¾µ
×ÓÒØ ×ØØØÐÐ׺
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ËË ÐÐ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ Ù ØØÙÜ σ − г³Ò×ØØØØÐÐØØ ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ× ÒÒÒÒØØÚÚ¸ ÐÐ ÔÔÖØØØ
ÖÖÖÐÐÐ Ù ØØÙÜ σ + ÔÔÙØ ÚÒØÙÙÐÐÐÑÑÒØ Ø Ú ÒÒÖ ÔÓ××ØØÚÚ¸ ÕÙÙ ×Ø ÐÐ ×××ÒÒØÙÖÖ
Ù ÔÓ××××ÐÐ ³ÙÒÒ Ò×ØØØØÐÐØغ
ÊÊÑÑÖÕÙÓÒ× ÐÐÑÑÒØ ÕÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ Q ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ
×Ø ÒÙÐ ´´ººº Q = 0µ¸ ÐÐ ØØÙÜ σ + ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ÒÙÐ ÐÓÖ× ÕÙÙ ÐÐ ØØÙÜ σ −
×Ø ÒÒÒÒØØØ ´´ØØØÒÙÙØØÓÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØصº ÄÄ ÑÓÓÓ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐ ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ
ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ÒÙÐ ÒÒØ ÓÒÒ ÙÒ ÑÓÓÓ ÒÒÙØÖÖ ´´ººº ÑÓÓÓ ××ÓÓÓÓ
ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ ÒÙÐÐе ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ³ÙÒÒ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÕÙÙ ÒÒ ÖÓÓØ ÒÒ ÒÒ
ÖÓÓغ ÄÄ ÑÓÓÓ Q = 0 ÙÒÒ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ ÓÑÓÓÓÒÒ ÐÐ ÐÓÒÒ Ð³³ÜÜ
Ox ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Aº ÔÔÒÒÒÒظ ØØÒØ ÓÒÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ØÓØØÐ
ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ³ÙÒÒ Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ÖÖÔÔÔÔ Ø ³ÙÒÒ ÒÚÚÐÓÔÔÔ A
´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾ººµ¸ ÐÐ ÑÓÓÓ Q = 0 ÓÒÒ ÙÒÒ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ Ò
гÓÒÒÒ ÐÐ ÐÓÒÒ Ð³³ÜÜ Ox Ñ Ó Q = 0 ÖÖÖÖØØ Ð³³×ÔÔÔØ ÖÖÖØÖÖÖÖÖ
гÓÖÖÖÖÒÒ Ð³³ÜÜ Oxº º Ø ÝÔÔ ÑÓÓÓ ÒÒظ ÓÑÑÑ ÒÓÙ× Ð³³ÚÚÓÒ× ÚÓÕÙÙ
Ò× ÐÐ ×××ØØÓÒ ÓÒ×××ÖÖÖ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ³³³Ù× ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ½¼º¿µ ÙÒ ÑÓÓÓ
ÓÐÐ×ØÓÒÒº ØØØ ÔÔÖ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ ÐÐ ÐÓÒÒ Ð³³ÜÜ Ox ×××ÒÒÒÒ ÕÙÙ
г³ÚÓÐÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ Ø ÓÒÒ ÐÐ ÔÔÝ××ÕÙÙ ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÖÖØ ÒÒ ÔÔÒÒ ÔÔ× Ù
Ù ÖÖÖÖÖÖÒØØØРгÓÓ××ÖÚÚØØÙÖº
½¾º¿º¾ ÁÒ×ØØØØÐÐØØ ÒÒÒÑÑÒ¹¹Ö
ÄÄ ØØÙÜ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ σ + ×Ø ÓÒÒ ÒÙÐ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ Q ×Ø ÒÙÐ
ÑÑÑ× Ð ÔÔÙØ ÚÒÒÖ ÔÓ××ØØØ Ð ×Ø ÓÒÒ ÔÓ××××ÐÐ ÕÙ³ÙÒÒ Ò×ØØØØÐÐØØ ÔÙÙ××× ××
Ú ÔÓÙÖ × ÔÔØØØ× ÒÓÑÖÖ× ³ÓÒÒÒ Q¸ г³ÑÑÑÑ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ³³³¹
Ù× ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ½¼º¿µº ÈÓÙÖ ØÙÙÙÙÖ ØØØ ÔÓ×××××ÐÐØظ ÚÚÐÓÔÔÓÒ× ÐÐ ØØÙÜ
³³Ò×ØØØØÐÐØØ σ + ÔÓÙÖ × ÔÔØØØ× ÒÓÑÑÖÖ× ³ÓÒÒÒ Q ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ
σ + = −2i(α − β)qQ − [1 + αβ −
2q
2
(β
2
+ 1)
R 2
0
]Q
2
+ O(Q
3
)
´½¾º¾¾µ
ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖ ØØÖÑÑ ×Ø ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ Ø Ò³³³³³ØØ ÔÔ× ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÐÐ
×××ÓÒÒ ØØÖÑѸ Ù ×××ÓÒÒ ÓÖÖÖÖ Ò Q ´´ººº Ò Q
2
µ¸ ÔÔÙظ ÕÙÙÒØ ÐÙÙ¸ ÚÒÒÖ
ÔÓ××ØØظ ×××ÒÒÒØ Ò×× ÐÐ ³ÙÒÒ Ò×ØØØØÐÐØغ Ò×׸ ÒÓÙ× ×ØØÒÒÙÓÒ×
ÙÜ ×
´´µ ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò ÓÒÒÒ ÔÐÐÒÒ ×Ø ×ØØØÐÐ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× × ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ× ÐÓÖ×ÕÙÙ
ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ Ø Q
2
×Ø ÒÒÒÒØØظ ÕÙÙ Ù × ×ÙÙÚÒØ Ø
1 + αβ − 2q
2 β
2
+ 1
R 2
0
> 0 .
´½¾º¾¾µ
ظ ÔÙÙ×ÕÙÙ R 0 = 1 − q
2
´ÚÓÓÖ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ½¾º½½µ¸ ÐÐ× ÓÒÒÒ×
ÓÒØ Ð × Ú ØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ q ÚÚÖÖÖÖÒØ Ð³³ÒÒÒÒÐÐØØ ×ÙÙÚ
q
2 <
1 + αβ
3 + αβ + 2β 2
´½¾º¾¾µ
×ÓÒØ ×ØØØÐÐ׺