½¾º ÇÖÖÖÖ Ø ×ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ Ø ØØÑÔÓÖÖÐ
¾¾¾
ÚÒØ ³³ØÙÙÙÙÖ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ¸ ÓÑÔÓ×ÓÒ× ØÓÙØ
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ ½¾º½¿ Ò ××× ÙÜ ÔÔÖØØØ׸ ÖÖÖÐÐÐ Ø ÑÑÑÑÒÒÒÖÖº
ÈÓÙÖ Ðи ÔÓ×ÓÒ× Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A ØØÐÐÐ ÕÙÙ
A = R(x, t)e
iθ(x,t)
´½¾º½½µ
ÓÓ θ ×Ø ÐÐ ÔÔÔ×× Ð³ÓÒÒÒ Ø ÖÖÔÓÖØÓÒ× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ØØØ ÖÒÒÒÖÖ Ò×
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ½¾º½¿¸ ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ××ÑÑÒØ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ × ÙÜ
ÕÙÙØØÓÒ× ×ÙÙÚÒØØ×
R t = R + R xx − Rθ
2
x − α(Rθ xx + 2θ x R x ) − R
3 ,
Rθ t = Rθ xx + 2θ x R x + α(R xx − Rθ
2
x ) − βR
3 .
´½¾º¾¼µ
ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÚÚÖÖÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÓÙÔÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ× ´R¸ θµ ÚÚÚ
R = R 0 = 1 − q
2
Ø θ 0 = qx + ωt ×Ø Ò ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ×Ý×ØØÑÑ
³³ÕÙÙØØÓÒ׸ Ò ÓÖÖ Ú ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò ÓÒÒÒ ÔÐÐÒÒ ´ÚÓÓÖ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ½¾º½½µ¸
ω = −β − (α − β)q
2
µº
ØÙÙÙÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ Ð³ÓÒÒÒ ÔÐÐÒÒ Ò ÔÔÖØÙÖÖÖÒØ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ
г³ÕÙÙÐÐÐÖÖ Ø Ò ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ× ÔÔØØØØ× ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ×
г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´ρ(x, t)µ Ø ÐÐ ÔÔÔ×× Ð³ÓÒÒÒ ´ψ(x, t)µ¸ ×ÓÓØ
R = R 0 + ρ(x, t); θ = θ 0 + ψ(x, t) .
´½¾º¾½µ
ËË × ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ× ÖÓÓ×××ÒØ Ø ÚÚÚ ÐÐ ØØÑÔ׸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò ÓÒÒÒ ÔÐÐÒÒ A 0 ×Ø
×ØØØÐÐ ÐÐÐ ×Ø Ò×ØØØÐÐ Ò× ÐÐ × ÊÊÔÓÖØÓÒ× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÐÐ ×ÓÐÙ¹
ØØÓÒ ÔÔÖØÙÖÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾º¾½µ Ò× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ × ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× ³³ÚÓÐÙØØÓÒ
´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾º¾¼µ Ø ÔÓÙÖ ÔÖÓÓÓÓÓÖ Ð³³ØÙÙÙ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ù ×Ý×ØØÑѸ
ÙÒÒÕÙÙÑÑÒØ ÙÜ ØØÖÑÑ× ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ò ρ Ø ψº ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
Ò×× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×ÙÙÚÒØ Ø
ρ t = −2R
2
0 ρ + ρ xx − R 0 (αψ xx + 2qψ x ) − 2αqρ x ,
´½¾º¾¾µ
R 0 ψ t = αρ xx + R 0 ψ xx + 2q(ρ x − αR 0 ψ x ) − 2βR
2
0 ρα .
´½¾º¾¿µ
ÓÑÑÑ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×Ø ÙØÓÒÓÑÑ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ x Ø t ´´³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÕÙÙ ÐÐ×
ÓÓÓÓÓÓÒØ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÓÒØ ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØ× × ÚÖÖÖÖÐÐ× x Ø tµ¸ ÖÖÖÖÖÖÖÓÒ×
ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ρ Ø ψ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÙÙÚÒØØ ρ = Ae
iQx+σt
Ø ψ = Be
iQx+σt
¸ Ó
A Ø B ×ÓÒØ × ÓÒ×ØØÒØØ× ÔÖÖÓÖÖ ÓÑÔÐÐÜÜ׸ Q ×Ø ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ ÐÐ
ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ Ø σ ×Ø ÐÐ ØØÙÜ ÚÒØÙÙÐÐÐÑÑÒØ ÓÑÔÐÐÜÜ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ´ØØÙÜ
ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÓÙ ÊÊÔÓÖØÓÒ× × ×ÓÐÙØØÓÒ× Ò× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ¹¹¹××Ù×
ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÓÑÓÓÓÒÒ ³³ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ× Ò A Ø B ÓÒØ Ð
×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÒÓÒ ØÖÖÚÚÚÐÐ ÐÓÖ×ÕÙÙ ×ÓÒ ×Ø ÒÙк ÖÖ×ÙÐØØ Ò ÙÒÒ
ÕÙÙØØÓÒ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ Ù ×××ÓÒÒ ÖÖ Ò σ ÓÒØ ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ÓÒØ ÓÒÒÒÒ×
ÔÔÖ
σ ± = −R
2
0 − Q
2
− 2iαqQ ±
R 4
0 + α 2 Q 4 − 2αQ 2 βR 2
0 + 4q 2 Q 2 + 4iqQβR 2
0
´½¾º¾¾µ
¾¾¾
ÚÒØ ³³ØÙÙÙÙÖ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ¸ ÓÑÔÓ×ÓÒ× ØÓÙØ
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ ½¾º½¿ Ò ××× ÙÜ ÔÔÖØØØ׸ ÖÖÖÐÐÐ Ø ÑÑÑÑÒÒÒÖÖº
ÈÓÙÖ Ðи ÔÓ×ÓÒ× Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A ØØÐÐÐ ÕÙÙ
A = R(x, t)e
iθ(x,t)
´½¾º½½µ
ÓÓ θ ×Ø ÐÐ ÔÔÔ×× Ð³ÓÒÒÒ Ø ÖÖÔÓÖØÓÒ× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ØØØ ÖÒÒÒÖÖ Ò×
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ½¾º½¿¸ ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ××ÑÑÒØ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ × ÙÜ
ÕÙÙØØÓÒ× ×ÙÙÚÒØØ×
R t = R + R xx − Rθ
2
x − α(Rθ xx + 2θ x R x ) − R
3 ,
Rθ t = Rθ xx + 2θ x R x + α(R xx − Rθ
2
x ) − βR
3 .
´½¾º¾¼µ
ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÚÚÖÖÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÓÙÔÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ× ´R¸ θµ ÚÚÚ
R = R 0 = 1 − q
2
Ø θ 0 = qx + ωt ×Ø Ò ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ×Ý×ØØÑÑ
³³ÕÙÙØØÓÒ׸ Ò ÓÖÖ Ú ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò ÓÒÒÒ ÔÐÐÒÒ ´ÚÓÓÖ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ½¾º½½µ¸
ω = −β − (α − β)q
2
µº
ØÙÙÙÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ Ð³ÓÒÒÒ ÔÐÐÒÒ Ò ÔÔÖØÙÖÖÖÒØ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ
г³ÕÙÙÐÐÐÖÖ Ø Ò ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ× ÔÔØØØØ× ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ×
г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´ρ(x, t)µ Ø ÐÐ ÔÔÔ×× Ð³ÓÒÒÒ ´ψ(x, t)µ¸ ×ÓÓØ
R = R 0 + ρ(x, t); θ = θ 0 + ψ(x, t) .
´½¾º¾½µ
ËË × ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ× ÖÓÓ×××ÒØ Ø ÚÚÚ ÐÐ ØØÑÔ׸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò ÓÒÒÒ ÔÐÐÒÒ A 0 ×Ø
×ØØØÐÐ ÐÐÐ ×Ø Ò×ØØØÐÐ Ò× ÐÐ × ÊÊÔÓÖØÓÒ× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÐÐ ×ÓÐÙ¹
ØØÓÒ ÔÔÖØÙÖÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾º¾½µ Ò× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ × ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× ³³ÚÓÐÙØØÓÒ
´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾º¾¼µ Ø ÔÓÙÖ ÔÖÓÓÓÓÓÖ Ð³³ØÙÙÙ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ù ×Ý×ØØÑѸ
ÙÒÒÕÙÙÑÑÒØ ÙÜ ØØÖÑÑ× ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ò ρ Ø ψº ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
Ò×× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×ÙÙÚÒØ Ø
ρ t = −2R
2
0 ρ + ρ xx − R 0 (αψ xx + 2qψ x ) − 2αqρ x ,
´½¾º¾¾µ
R 0 ψ t = αρ xx + R 0 ψ xx + 2q(ρ x − αR 0 ψ x ) − 2βR
2
0 ρα .
´½¾º¾¿µ
ÓÑÑÑ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×Ø ÙØÓÒÓÑÑ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ x Ø t ´´³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÕÙÙ ÐÐ×
ÓÓÓÓÓÓÒØ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÓÒØ ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØ× × ÚÖÖÖÖÐÐ× x Ø tµ¸ ÖÖÖÖÖÖÖÓÒ×
ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ρ Ø ψ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÙÙÚÒØØ ρ = Ae
iQx+σt
Ø ψ = Be
iQx+σt
¸ Ó
A Ø B ×ÓÒØ × ÓÒ×ØØÒØØ× ÔÖÖÓÖÖ ÓÑÔÐÐÜÜ׸ Q ×Ø ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ ÐÐ
ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ Ø σ ×Ø ÐÐ ØØÙÜ ÚÒØÙÙÐÐÐÑÑÒØ ÓÑÔÐÐÜÜ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ´ØØÙÜ
ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÓÙ ÊÊÔÓÖØÓÒ× × ×ÓÐÙØØÓÒ× Ò× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ¹¹¹××Ù×
ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÓÑÓÓÓÒÒ ³³ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ× Ò A Ø B ÓÒØ Ð
×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÒÓÒ ØÖÖÚÚÚÐÐ ÐÓÖ×ÕÙÙ ×ÓÒ ×Ø ÒÙк ÖÖ×ÙÐØØ Ò ÙÒÒ
ÕÙÙØØÓÒ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ Ù ×××ÓÒÒ ÖÖ Ò σ ÓÒØ ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ÓÒØ ÓÒÒÒÒ×
ÔÔÖ
σ ± = −R
2
0 − Q
2
− 2iαqQ ±
R 4
0 + α 2 Q 4 − 2αQ 2 βR 2
0 + 4q 2 Q 2 + 4iqQβR 2
0
´½¾º¾¾µ