¾¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ËË Ð³³³ÖÖØÙÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ ½¾º½½ ÒÓÙ× ÖÖÔÔÔÐÐÐ ÐÐÐ ³ÙÒÒ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÚÖÖÖØØÓÒÒÒÐÐи ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÒÓÙ× ÖÖÖÖ ÐÐ ÓÒÒÙ××ÓÒº
ÈÙÙ×ÕÙÙ¸ ¸Ù ÖÖ Ù ÖÖÖØØÖÖ ÓÑÔÐÐÜÜ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ V ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ³ÙÒÒ
ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ¸ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ∂V/∂t ≤ 0 ÒÒ ÔÔÙØ ÔÔ× ØÖÖ ××ØØ××××Øظ ÓÒ¹
ØÖÖÖÖÖÑÑÒØ ÕÙÙ ×× ÔÖÓÓÙÙØ Ò× ÐÐ × ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ××ÓÓÓÓÓ
Ò×× ÙÒÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÚÚÖÖÖØØÓÒÒÒÐÐк
ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖ
∂V [A]
∂t
=
δV
δA ∗
∂A
∗
∂t
= −
δV
δA ∗
δV
δA
´½¾º½½µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÙØØÐÐ×× ÐÐ Ø ÕÙ٠г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÒÒÙÙÙÙÙ A
∗
ÓÓÓÓØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÚÓÐÙØØÓÒ ∂A
∗ /∂t = −δV [A]/δAº
Ò× ÐÐ × ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ´ÚÓÓÖ ÐÐ ×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ ½¼º¾ººµ¸ ÐÐ
ÓÒÒØØÓÒ V ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÖÖÖÐÐи ¸Ø ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖ (δV/δA
∗
)(δV/δA) =
|δV/δA|
2
¸ ¸Ø ÔÔÖ ÓÒ××ÕÙÙÒØ ÒÓÙ× Ò ÙÙ×ÓÒ× ÐÐ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÑÓÒÓØÓÒÒ ÐÐ
ÓÒÒØØÓÒ V Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ´´ººº ∂V/∂t ≤ 0µº ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ V ×Ø ÙÒÒ
ÓÒÒØØÓÒ ÓÑÔÐÐÜܸ ¸¸ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÑÓÒÓØÓÒÒ ÒÒ ÔÔÙØ ÔÐÙ× ØÖÖ
××ÙÖÖÖ ÒÓÙ× Ò×× ÔÔÖÖÙ ÐÐ ÖÖÖØØÖÖ ÚÚÖÖÖØØÓÒÒÒÐ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙº ³³×Ø
ÐÐ ÙÒÒ ÔÖÓÔÖÖÖØØ × ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ× ÓÖ× ÕÙÙÐÐÐÖÖ Ð ³ Ú ÓÐÙØØÓÒ Ò³³×Ø
ÔÔ× ÑÓÒÓØÓÒÒ Ø ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ ×Ø ØÖÖ× ÖÖÖº
½¾º¿ ÉÙÙÐÕÙÙ× ÔÖÓÔÖÖÖØØ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ
½¾º¿º½ ÇÒÒÒ× ÔÐÐÒÒ× Ø ×ØØØØÐÐØØ
ij³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÜ ÓÑÔÐÐÜÜ× ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾º½¿µ ÔÓ×××××
ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ××ÑÔÐÐ ×ÓÙ× ÓÖÑÑ ³ÓÒÒÒ ÔÐÐÒÒ¸ ×ÓÓØ
A 0 = R 0 e
iωt+iqx .
´½¾º½½µ
ÊÊÔÓÖØÓÒ× ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ½¾º½¿
ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ
R
2
0 = 1 − q
2 , ω = −β − (α − β)q
2
´½¾º½½µ
ÓÓ q ×Ø ÓÒØÖÖÖÒØ Ø Ú ÖÖÖÖÖ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ |q| ≤ 1º
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ Ò ÕÙÙ ÐÐ× ÔÖÓÓÐÐÑÑ× ÐÐÐÙ ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ×ÓÓÓÒØ
ÐÐÐ× × ØØØ× ÓÖ× ÕÙÙÐÐÐÖÖ ´´ÓÑÑÑ ÐÐ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖµ¸
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÕÙÙÙÖØ ÙÒ ÖÖÖØØÖÖ ÚÚÖÖÖØØÓÒÒÒк ×Ø ÚÖÖÖ ØØÒØ Õ Ù Ð³³ÒÒÐÝ××
׳³³³³ØÙÙ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒº Ò ×³³Ò ÐÓÓÓÒÒÒظ ØØØ ÔÖÓÔÖÖÖØØ ××× ³³ØÖÖ ÚÖÖ¹
º Ò×׸ Ò ÔÓÙÖ×ÙÙÚÒØ Ð³³ÜÔÓ××ØØÓÒ Ù ÙÙÙÙ ÐÐ ÐÐÙÖ Ò× ÐÐ × ÐÐ ÓÒÚÚÚØØÓÒ
ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖ¸ ÐÐ× ÖÓÙÐÐÐÙÜ ÓÖÖÓÒÒÒ× ÔÔÙÚÚÒØ ØÖÖ ØÖÙÙØ× ÔÓÙÖ ÐÐÐ×××Ö
ÚÚÒØÙÙÐÐÐÑÑÒØ ÔÐÐÐÐ ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ´ÓÙ ØÙÖÖÙÐÐÒص¸ ÐÐÕÙÙÐ ÒÒ ÔÔÙØ ÚÚÚÚÑÑÑÒØ Ô ×
×ÓÙ××ÖÖÖÖ ÙÒ ÔÖÖÒÒÒÔÔ ÚÚÖÖÖØØÓÒÒÒÐ Ù Ø ×ÓÒ ÖÖÖØØÖÖ ÖÖÖØØÕÙÙ¸ ÖÖÒØ
³ÙÒ ÑÓÒÓØÓÒÒº
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ËË Ð³³³ÖÖØÙÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ ½¾º½½ ÒÓÙ× ÖÖÔÔÔÐÐÐ ÐÐÐ ³ÙÒÒ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÚÖÖÖØØÓÒÒÒÐÐи ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÒÓÙ× ÖÖÖÖ ÐÐ ÓÒÒÙ××ÓÒº
ÈÙÙ×ÕÙÙ¸ ¸Ù ÖÖ Ù ÖÖÖØØÖÖ ÓÑÔÐÐÜÜ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ V ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ³ÙÒÒ
ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ¸ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ∂V/∂t ≤ 0 ÒÒ ÔÔÙØ ÔÔ× ØÖÖ ××ØØ××××Øظ ÓÒ¹
ØÖÖÖÖÖÑÑÒØ ÕÙÙ ×× ÔÖÓÓÙÙØ Ò× ÐÐ × ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ××ÓÓÓÓÓ
Ò×× ÙÒÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÚÚÖÖÖØØÓÒÒÒÐÐк
ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖ
∂V [A]
∂t
=
δV
δA ∗
∂A
∗
∂t
= −
δV
δA ∗
δV
δA
´½¾º½½µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÙØØÐÐ×× ÐÐ Ø ÕÙ٠г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÒÒÙÙÙÙÙ A
∗
ÓÓÓÓØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÚÓÐÙØØÓÒ ∂A
∗ /∂t = −δV [A]/δAº
Ò× ÐÐ × ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ´ÚÓÓÖ ÐÐ ×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ ½¼º¾ººµ¸ ÐÐ
ÓÒÒØØÓÒ V ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÖÖÖÐÐи ¸Ø ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖ (δV/δA
∗
)(δV/δA) =
|δV/δA|
2
¸ ¸Ø ÔÔÖ ÓÒ××ÕÙÙÒØ ÒÓÙ× Ò ÙÙ×ÓÒ× ÐÐ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÑÓÒÓØÓÒÒ ÐÐ
ÓÒÒØØÓÒ V Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ´´ººº ∂V/∂t ≤ 0µº ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ V ×Ø ÙÒÒ
ÓÒÒØØÓÒ ÓÑÔÐÐÜܸ ¸¸ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÑÓÒÓØÓÒÒ ÒÒ ÔÔÙØ ÔÐÙ× ØÖÖ
××ÙÖÖÖ ÒÓÙ× Ò×× ÔÔÖÖÙ ÐÐ ÖÖÖØØÖÖ ÚÚÖÖÖØØÓÒÒÒÐ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙº ³³×Ø
ÐÐ ÙÒÒ ÔÖÓÔÖÖÖØØ × ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ× ÓÖ× ÕÙÙÐÐÐÖÖ Ð ³ Ú ÓÐÙØØÓÒ Ò³³×Ø
ÔÔ× ÑÓÒÓØÓÒÒ Ø ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ ×Ø ØÖÖ× ÖÖÖº
½¾º¿ ÉÙÙÐÕÙÙ× ÔÖÓÔÖÖÖØØ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ
½¾º¿º½ ÇÒÒÒ× ÔÐÐÒÒ× Ø ×ØØØØÐÐØØ
ij³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÜ ÓÑÔÐÐÜÜ× ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾º½¿µ ÔÓ×××××
ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ××ÑÔÐÐ ×ÓÙ× ÓÖÑÑ ³ÓÒÒÒ ÔÐÐÒÒ¸ ×ÓÓØ
A 0 = R 0 e
iωt+iqx .
´½¾º½½µ
ÊÊÔÓÖØÓÒ× ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ½¾º½¿
ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ
R
2
0 = 1 − q
2 , ω = −β − (α − β)q
2
´½¾º½½µ
ÓÓ q ×Ø ÓÒØÖÖÖÒØ Ø Ú ÖÖÖÖÖ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ |q| ≤ 1º
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ Ò ÕÙÙ ÐÐ× ÔÖÓÓÐÐÑÑ× ÐÐÐÙ ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ×ÓÓÓÒØ
ÐÐÐ× × ØØØ× ÓÖ× ÕÙÙÐÐÐÖÖ ´´ÓÑÑÑ ÐÐ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖµ¸
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÕÙÙÙÖØ ÙÒ ÖÖÖØØÖÖ ÚÚÖÖÖØØÓÒÒÒк ×Ø ÚÖÖÖ ØØÒØ Õ Ù Ð³³ÒÒÐÝ××
׳³³³³ØÙÙ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒº Ò ×³³Ò ÐÓÓÓÒÒÒظ ØØØ ÔÖÓÔÖÖÖØØ ××× ³³ØÖÖ ÚÖÖ¹
º Ò×׸ Ò ÔÓÙÖ×ÙÙÚÒØ Ð³³ÜÔÓ××ØØÓÒ Ù ÙÙÙÙ ÐÐ ÐÐÙÖ Ò× ÐÐ × ÐÐ ÓÒÚÚÚØØÓÒ
ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖ¸ ÐÐ× ÖÓÙÐÐÐÙÜ ÓÖÖÓÒÒÒ× ÔÔÙÚÚÒØ ØÖÖ ØÖÙÙØ× ÔÓÙÖ ÐÐÐ×××Ö
ÚÚÒØÙÙÐÐÐÑÑÒØ ÔÐÐÐÐ ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ´ÓÙ ØÙÖÖÙÐÐÒص¸ ÐÐÕÙÙÐ ÒÒ ÔÔÙØ ÚÚÚÚÑÑÑÒØ Ô ×
×ÓÙ××ÖÖÖÖ ÙÒ ÔÖÖÒÒÒÔÔ ÚÚÖÖÖØØÓÒÒÒÐ Ù Ø ×ÓÒ ÖÖÖØØÖÖ ÖÖÖØØÕÙÙ¸ ÖÖÒØ
³ÙÒ ÑÓÒÓØÓÒÒº