½¾º ÇÖÖÖÖ Ø ×ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ Ø ØØÑÔÓÖÖÐ
¾¾¾
ÒÓÙÚÐÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ׸ ×ÓÓØ
∂
∂T
=
∂
∂T
∂T
∂T
+
∂
∂X
∂X
∂T
=
∂
∂T + γ
∂
∂X
´½¾º½½µ
Ø
∂
∂X
=
∂
∂T
∂T
∂X
+
∂
∂X
∂X
∂X
=
∂
∂X .
´½¾º½¾µ
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ×ÔÔØØØÐÐ× ×××ÓÒÒÒ׸ ÓÑÑÑ ÐÐ× ÔÖÖÑÑÑÖÖ׸ ÓÒØ
ÙÒÒ ÓÖÑÑ ÒØØÕÙÙ (
∂
2
∂X 2 =
∂
2
∂X 2 )º ÄÄ ÖÖÔÓÖØ × ÓÔÔÖÖØØÓÒ× ÖÖÚØØÓÒ
Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾º½¼µ ÒÓÙ× ÒÒÒÕÙÙ ÕÙÙ ÒÒÒÑÑÒØ
ÚÖÖÖÖÐÐ ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑØ ³³ÐÐÑÑÒÒÖ ÐÐ ØØÖÑÑ γA X º
ÁÐ ×Ø ÔÓ××××ÐÐ ××ÑÔÐÐÐÐÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Óѹ
ÔÐÐÜÜ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾º½¼µº ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ØÓÙÙÓÙÖ× ÐÐÑÑÒÒÖ ÐÐ ØØÖÑÑ Ò ia г³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ½¾º½¼¸ ÔÙÙ×ÕÙ³³Ð ×ÙÙØ ³³³³³ØÙÙÖ ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ A → Ae
iat
¸
ÓÔÔÖÖØØÓÒ ÕÙÙ ÖÖÚÚÚÒØ ×× ÔÐÐÐÐÖ Ò× ÐÐ ÖÖÔÔÖÖ ØÓÙÖÒÒÒØ Ù ÔÐÐÒ ÓÑÔÐÐÜÜ
´(A), (A)µº Ò×׸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ
×ÙÙÚ
A t = A − (1 + iβ)|A|
2 A + (1 + iα)A xx
´½¾º½¿µ
ÓÓ¸ Ò ÕÙ³³ÝÒØ ÓÔØØ ÐÐ ÒÓØØØØÓÒ Ò ÔÔØØØØ ××׸ ÐÐ× ÚÖÖÖÖÐÐ× t Ø x ×ÓÒØ
Ò ÐÐ× ÚÖÖÖÖÐÐ× ÐÐÒØØ׺ ÆÓÙ× ÖÖÔÔÔÐÐÐÖÓÒ× ÐÐ ÖÖÖØØÖÖ ÐÐÒØ × ÚÚÖÖÖÖÐÐ׸ ××
×ÓÓÒ ×غ ÊÊÑÑÖÕÙÓÒ× ÕÙÙ Ò× Ð³³ÒÒÐÝ×× ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ù ÙØ ÔÔØÖÖ¸
ÒÓÙ× ÚÚÓÒ× ØÓÖÖ×× ÐÐ ØØÖÑÑ e
iωi0t
Ò× ÐÐ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ
´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾ººµ ³³×Ø ÔÓÙÖÕÙÓÓ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖ¹
ØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾ººµ ÒÒ ÔÔ× ØØÖÑÑ Ò iω i0 A ´×ÓÓØ ÙÒ ÒÒÐÓÓÙÙ
Ù ØØÖÑÑ iaA г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ½¾º½¿µ Ò ³³ÙØÖÖ× ØØÖÑÑ׸ ÓÓÜ
ÖÖÚÒÒÒØ ×× ÔÐÐÐÐÖ Ò× ÐÐ ÖÖÔÔÖÖ ØÓÙÖÒÒÒغ
½¾º¾ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÒÓÒ ÚÖÖÖØØÓÒÒÒÐÐÐ
ÍÒÒ ÔÖÓÔÖÖÖØØ ÑÔÓÖØØÒØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¾º½¿ ×Ø ×ÓÒ ÖÖÖØØÖÖ ÒÓÒ ÚÚÖÖÖ¹
ØØÓÒÒÒÐ ÐÐÐ ÒÒ ÔÔÙØ ÔÔ× ×³³³ÖÖÖÖ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ³ÙÒ ³ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ
ÄÝÝÔÙÒÓÚ ´´ººº ³ÙÒ ÔÓØØÒØØØеº ÆÓØÓÒ× ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÙØ ØÓÙÙÓÙÖ×
׳³³ÖÖÖÖ ×ÓÙ× ÓÖÑÑ ³ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒÒÒÐÐÐ ¸ × Ó Ø Ø
A t = −
δV
δA ∗
´½¾º½½µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÒÒ××ÓÒ× ÐÐ ÓÒÒØØÓÒÒÒÐÐÐ V ÓÑÑÑ
V =
dx
−
|A|
2
2
+ (1 + iβ)
|A|
4
4
+ (1 + iα)
|A x |
2
2
.
´½¾º½½µ
ÎÓÓÖ ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ³³ÙÐÐÖ ÖÖ×ÓÐÙ Ò× ÐÐ ×××ØØÓÒ ¿ºººº ÔÓÙÖ ÐÐ ÒÓØØÓÒ ÓÒÒØØÓÒ¹
ÒÒÐÐÐ Ø ÐÐ ×××ØØÓÒ ½¼º¾ºº ÔÓÙÖ ÙÒÒ ××Ù×××ÓÒ ÐÐ ÒÒØÙÖÖ ÚÚÖÖÖØØÓÒÒÒÐÐÐ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙº
¾¾¾
ÒÓÙÚÐÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ׸ ×ÓÓØ
∂
∂T
=
∂
∂T
∂T
∂T
+
∂
∂X
∂X
∂T
=
∂
∂T + γ
∂
∂X
´½¾º½½µ
Ø
∂
∂X
=
∂
∂T
∂T
∂X
+
∂
∂X
∂X
∂X
=
∂
∂X .
´½¾º½¾µ
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ×ÔÔØØØÐÐ× ×××ÓÒÒÒ׸ ÓÑÑÑ ÐÐ× ÔÖÖÑÑÑÖÖ׸ ÓÒØ
ÙÒÒ ÓÖÑÑ ÒØØÕÙÙ (
∂
2
∂X 2 =
∂
2
∂X 2 )º ÄÄ ÖÖÔÓÖØ × ÓÔÔÖÖØØÓÒ× ÖÖÚØØÓÒ
Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾º½¼µ ÒÓÙ× ÒÒÒÕÙÙ ÕÙÙ ÒÒÒÑÑÒØ
ÚÖÖÖÖÐÐ ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑØ ³³ÐÐÑÑÒÒÖ ÐÐ ØØÖÑÑ γA X º
ÁÐ ×Ø ÔÓ××××ÐÐ ××ÑÔÐÐÐÐÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Óѹ
ÔÐÐÜÜ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾º½¼µº ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ØÓÙÙÓÙÖ× ÐÐÑÑÒÒÖ ÐÐ ØØÖÑÑ Ò ia г³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ½¾º½¼¸ ÔÙÙ×ÕÙ³³Ð ×ÙÙØ ³³³³³ØÙÙÖ ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ A → Ae
iat
¸
ÓÔÔÖÖØØÓÒ ÕÙÙ ÖÖÚÚÚÒØ ×× ÔÐÐÐÐÖ Ò× ÐÐ ÖÖÔÔÖÖ ØÓÙÖÒÒÒØ Ù ÔÐÐÒ ÓÑÔÐÐÜÜ
´(A), (A)µº Ò×׸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ
×ÙÙÚ
A t = A − (1 + iβ)|A|
2 A + (1 + iα)A xx
´½¾º½¿µ
ÓÓ¸ Ò ÕÙ³³ÝÒØ ÓÔØØ ÐÐ ÒÓØØØØÓÒ Ò ÔÔØØØØ ××׸ ÐÐ× ÚÖÖÖÖÐÐ× t Ø x ×ÓÒØ
Ò ÐÐ× ÚÖÖÖÖÐÐ× ÐÐÒØØ׺ ÆÓÙ× ÖÖÔÔÔÐÐÐÖÓÒ× ÐÐ ÖÖÖØØÖÖ ÐÐÒØ × ÚÚÖÖÖÖÐÐ׸ ××
×ÓÓÒ ×غ ÊÊÑÑÖÕÙÓÒ× ÕÙÙ Ò× Ð³³ÒÒÐÝ×× ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ù ÙØ ÔÔØÖÖ¸
ÒÓÙ× ÚÚÓÒ× ØÓÖÖ×× ÐÐ ØØÖÑÑ e
iωi0t
Ò× ÐÐ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ
´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾ººµ ³³×Ø ÔÓÙÖÕÙÓÓ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖ¹
ØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾ººµ ÒÒ ÔÔ× ØØÖÑÑ Ò iω i0 A ´×ÓÓØ ÙÒ ÒÒÐÓÓÙÙ
Ù ØØÖÑÑ iaA г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ½¾º½¿µ Ò ³³ÙØÖÖ× ØØÖÑÑ׸ ÓÓÜ
ÖÖÚÒÒÒØ ×× ÔÐÐÐÐÖ Ò× ÐÐ ÖÖÔÔÖÖ ØÓÙÖÒÒÒغ
½¾º¾ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÒÓÒ ÚÖÖÖØØÓÒÒÒÐÐÐ
ÍÒÒ ÔÖÓÔÖÖÖØØ ÑÔÓÖØØÒØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¾º½¿ ×Ø ×ÓÒ ÖÖÖØØÖÖ ÒÓÒ ÚÚÖÖÖ¹
ØØÓÒÒÒÐ ÐÐÐ ÒÒ ÔÔÙØ ÔÔ× ×³³³ÖÖÖÖ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ³ÙÒ ³ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ
ÄÝÝÔÙÒÓÚ ´´ººº ³ÙÒ ÔÓØØÒØØØеº ÆÓØÓÒ× ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÙØ ØÓÙÙÓÙÖ×
׳³³ÖÖÖÖ ×ÓÙ× ÓÖÑÑ ³ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒÒÒÐÐÐ ¸ × Ó Ø Ø
A t = −
δV
δA ∗
´½¾º½½µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÒÒ××ÓÒ× ÐÐ ÓÒÒØØÓÒÒÒÐÐÐ V ÓÑÑÑ
V =
dx
−
|A|
2
2
+ (1 + iβ)
|A|
4
4
+ (1 + iα)
|A x |
2
2
.
´½¾º½½µ
ÎÓÓÖ ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ³³ÙÐÐÖ ÖÖ×ÓÐÙ Ò× ÐÐ ×××ØØÓÒ ¿ºººº ÔÓÙÖ ÐÐ ÒÓØØÓÒ ÓÒÒØØÓÒ¹
ÒÒÐÐÐ Ø ÐÐ ×××ØØÓÒ ½¼º¾ºº ÔÓÙÖ ÙÒÒ ××Ù×××ÓÒ ÐÐ ÒÒØÙÖÖ ÚÚÖÖÖØØÓÒÒÒÐÐÐ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙº