¾¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
Ò ×ÓÒ ÓÒÒÙÙÙÙ A
∗
´ÐÐ ÑÔ h(x, t)¸ ÕÙÙØØÓÒ ½¾ºº¸ Ò³³×Ø ÔÔ× ÒÚÖÖÖÒØ ×ÓÙ×
ØØØ ÓÔÔÖÖØØÓÒµº ÇÖ¸ ³³×Ø Ò ØØØ ÔÖÓÔÖÖÖØØ ÕÙÙ ÒÓÙ× Ò×
ÐÐ ×××ØØÓÒ ½¼º¾º¾¸ ÔÓÙÖ ÑÓÒØÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ× ÓÓÓÓÓÓÒØ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÚÒØ ØÖÖ ÖÖÖÐ׺ ÆÓÙ× ÒÒ ÔÓÙÚÓÒ× ÔÐÙ× ÙÒÒ ØØÐÐÐ ÖÖ×ØÖÖÖØØÓÒ Ò× ÐÐ
× ÔÖÖ××Òظ Ø ÔÔÖ ÓÒ××ÕÙÙÒØ ÐÐ× ÓÓÓÓÓÓÒØ× ×ÓÒØ ÓÑÔÐÐÜÜ×
´´ººº ÐÐÙÖ× ÔÔÖØØØ× ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ× ×ÓÒØ Ò Ó Ò Ò ÙÐÐÐ×µº
ÅÅÅ× ÔÔÖ ÐÐÐÙÖ׸ Ò× ÐÐ × ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ¸ ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× ÓÒ¹
ÙÒÒ ÓÒÒÒ ×× ÔÖÓÔÔÔÔÔÒØ Ø Ò × Ù Ò ÖØØØÒÒ ÖÖÖØØÓÒ ´´´×ÓÒ× Ò× ÐÐ
ÖÖÖØØÓÒ X ÐÐ ÚÚØØ××× ÖÓÙÔÔ ω
i ÐÐ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³Ñ¹
ÔÐÐØÙÙÙ ÓÓØ ÓÒÒ ÑÑÙÖÖÖ ÐÓÖ×ÕÙ٠гÓÔÔÖÖØØÓÒ ³³ÒÚÚÖ××ÓÒ X Ò −X
׳³ÔÔÐÐÕÙÙ ××ÑÙÐØØÒÒÑÑÒØ ÐÐ ³³×ÔÔÔÔ X Ø ÐÐ ÚÚØØ×××
гÓÒÒÒ ´ÐÐ ×××ÒÒ Ð³³ÜÜ ox Ø ÐÙÙ ÐÐ ÚÚØØ××× Ð³ÓÒÒÒ
ÑÑÑÒØØØÒØ ÐÐ ÓÒÒÒÙÖÖØØÓÒ ÔÔÝ××ÕÙÙ ÕÙÙÚÐÐÒØص ÕÙÙ ÑÔÐÐÕÙÙ ÕÙ³ÙÒ ØØÖÑÑ
Ù ØÝÔÔ γA X ÚÚÚ γ ÙÒ ÖÖÖÐ ÔÖÓÔÓÖØØÓÒÒÒÐ ÐÐ ÚÚØØ××× ÒÒ
ÔÔÙØ ØÖÖ ÜÜÐ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÔÙÙ×ÕÙ³³Ð ×ÓÙ××ÖÖØ ØØØ ÜÜÜÜÒÒÒº
ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÓÒÒ ÖÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÔÖÖÓÖÖ ÓÑÑÑ
A T = (1 + ia)A − (1 + iβ)|A|
2 A + γA X + (1 + iα)A XX
´½¾º½¼µ
ÓÓ a¸ α β Ø γ ×ÓÒØ × ÖÖÖÐÐÐ× º
ÆÓÙ× ÖÖÖÓÒÒÒÒ××ÓÒ× ÐÐ ÔÔÖØØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ½¾ºº г³ÜÜÜÔØØÓÒ Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ØØÖÑÑ
ÖÓÓØØ ÕÙÙ ÒÒ ÓÒØØØÒØ Ô × Ù Ò Ø Ö Ñ Ù Ø ÝÔÔ iaAº Ç Ò Ú Ú ÓÓÖ Ò× ÐÐ ÔÖÓÓÓÓÓÒÒ
×××ØØÓÒ ÕÙÙ ØØÖÑÑ ÔÔÙØ ØÖÖ ÔÔÖ ÙÒ ××ÑÔÐÐ ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ú ÖÖÖÖÐи
ÙÒÒ ÓÔÔÖÖØØÓÒ ÕÙÙ ×Ø ÔÖÖ××ÒØØ Ò× Ð³³ÒÒÐÝ×× ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ÓÑÑÑ ÓÒ ÐÐ ÖÖÖÓÒ¹
ÒÒÒØÖÖ Ù ÔÖÓÓÓÓÓÒ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔº
ÆÓÙ× ×ÙÔÔÓ×× ÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ×ÙÖ¹¹ÖÖØØÕÙÙ Ò ¹
ØØÒØ ÐÐ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ Ù ÙÙÙÕÙÙ ³ÙÒ ×××ÒÒ ÒÒÒÒØØØ ´××ØÙÖÖØØÓÒ ÒÓÒ
ÐÐÒÒÒÒÖÖµº Ò× ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ½¾º½¼¸ ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× T Ø X¸ ØØÐÐÐ× ÕÙÙ T = t
Ø X =
√
x¸ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÐÐÒØØ× Ù ×Ý×ØØÑÑ ´ÖÖÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ A
×Ø Ð³³ÒÚÚÐÓÔÔÔ ÐÐ ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ ÖÖÔÔÔÔµ ÚÓÓÖ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ ÐÐ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÓÒ¹
×××ÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÒÒÚÚÖ××ÐÐÐ Ú Ò× ÐÐ ×××ØØÓÒ ½¼º½ Ù
½¼º ÆÓÙ× ÚÓÒ× ÚÙ Ò× ÑÑÑÑ ÔÔØÖÖ ´´´´ÔÔØÖÖ ½¼µ¸ ÕÙÙ ÐÐ ÓÖÑÑ
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÖÖ×ÙÐØØ ÔÖÓÔÖÖÖØØ× ×ÝÑÑØÖÖÖ ÔÔÖ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ Ò×
г³×ÔÔÔÔ¸ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÐÐÐÐØØÑÑ Ò× ÐÐ × ØÖÖÖØØ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ
ÀÓÔÔº
ÒÒÒ¸ ÐÐ ØØÖÑÑ γA X ÔÔÙØ ØÖÖ ÐÐÑÑÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¾º½¼ ÑÓÝÝÒ¹
ÒÒÒØ ÙÒÒ ÓÔÔÖÖØØÓÒ ØÝÔÔ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ ÐÐÐÐÐÒÒÒº Ò Ø¸ ÔÓ×ÓÒ× X
=
X + γT ¸ Ø T
= T º ij³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÚÚÚÒØ ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ X
Ø
T
º ÇÒ ÓÓØ ÓÒÒ ØÙÙÖ ÐÐ× ÓÔÔÖÖØØÓÒ× Ò ØØÖÑÑ× ×
ÆÓÙ× ÙÖÖÓÒ× ÔÙ ÔÔÒ×× ÕÙÙ ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ Ø Ú ÒØ A X ×ÓÓØ ÓÑÔÐÐÜܸ г³Ò×ØØÖ
× ÙØÖÖ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÑÑÑ׸ ÚÚÓÐÐÖÖÖØ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÔÔÖÖØØ Ù ×Ý×ØØÑÑ
ÕÙÙ ÐÐ ÐÐ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×ÓÙ× Ð³ÓÔÔÖÖØØÓÒ ³³ÒÚÖ××ÓÒ
x → −x Ø ω
i → −ω
i º ÍÒÒ ÙØÖÖ ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ ÔÓÙÖ Ù×ØØØØÖ Ð³³³××ÒÒÒ ³ÙÒ ØØÖÑÑ Ò iA X
ÖÖÔÓ×× ×ÙÖ Ð³³ÒÒÐÝ×× ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ò× ÐÐ ×××ØØÓÒ ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ ÓÓ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ØØØÐÐ ÕÙÙ
ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ ÔÓÒÒÒÖÖÒØ ÐÐ ØØÖÑÑ A X ×Ø ÖÖÖÐ ´´Ð ×Ø ÓÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÚÚØØ××× ÖÓÙÔÔµº
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
Ò ×ÓÒ ÓÒÒÙÙÙÙ A
∗
´ÐÐ ÑÔ h(x, t)¸ ÕÙÙØØÓÒ ½¾ºº¸ Ò³³×Ø ÔÔ× ÒÚÖÖÖÒØ ×ÓÙ×
ØØØ ÓÔÔÖÖØØÓÒµº ÇÖ¸ ³³×Ø Ò ØØØ ÔÖÓÔÖÖÖØØ ÕÙÙ ÒÓÙ× Ò×
ÐÐ ×××ØØÓÒ ½¼º¾º¾¸ ÔÓÙÖ ÑÓÒØÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ× ÓÓÓÓÓÓÒØ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÚÒØ ØÖÖ ÖÖÖÐ׺ ÆÓÙ× ÒÒ ÔÓÙÚÓÒ× ÔÐÙ× ÙÒÒ ØØÐÐÐ ÖÖ×ØÖÖÖØØÓÒ Ò× ÐÐ
× ÔÖÖ××Òظ Ø ÔÔÖ ÓÒ××ÕÙÙÒØ ÐÐ× ÓÓÓÓÓÓÒØ× ×ÓÒØ ÓÑÔÐÐÜÜ×
´´ººº ÐÐÙÖ× ÔÔÖØØØ× ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ× ×ÓÒØ Ò Ó Ò Ò ÙÐÐÐ×µº
ÅÅÅ× ÔÔÖ ÐÐÐÙÖ׸ Ò× ÐÐ × ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ¸ ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× ÓÒ¹
ÙÒÒ ÓÒÒÒ ×× ÔÖÓÔÔÔÔÔÒØ Ø Ò × Ù Ò ÖØØØÒÒ ÖÖÖØØÓÒ ´´´×ÓÒ× Ò× ÐÐ
ÖÖÖØØÓÒ X ÐÐ ÚÚØØ××× ÖÓÙÔÔ ω
i ÐÐ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³Ñ¹
ÔÐÐØÙÙÙ ÓÓØ ÓÒÒ ÑÑÙÖÖÖ ÐÓÖ×ÕÙ٠гÓÔÔÖÖØØÓÒ ³³ÒÚÚÖ××ÓÒ X Ò −X
׳³ÔÔÐÐÕÙÙ ××ÑÙÐØØÒÒÑÑÒØ ÐÐ ³³×ÔÔÔÔ X Ø ÐÐ ÚÚØØ×××
гÓÒÒÒ ´ÐÐ ×××ÒÒ Ð³³ÜÜ ox Ø ÐÙÙ ÐÐ ÚÚØØ××× Ð³ÓÒÒÒ
ÑÑÑÒØØØÒØ ÐÐ ÓÒÒÒÙÖÖØØÓÒ ÔÔÝ××ÕÙÙ ÕÙÙÚÐÐÒØص ÕÙÙ ÑÔÐÐÕÙÙ ÕÙ³ÙÒ ØØÖÑÑ
Ù ØÝÔÔ γA X ÚÚÚ γ ÙÒ ÖÖÖÐ ÔÖÓÔÓÖØØÓÒÒÒÐ ÐÐ ÚÚØØ××× ÒÒ
ÔÔÙØ ØÖÖ ÜÜÐ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÔÙÙ×ÕÙ³³Ð ×ÓÙ××ÖÖØ ØØØ ÜÜÜÜÒÒÒº
ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÓÒÒ ÖÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÔÖÖÓÖÖ ÓÑÑÑ
A T = (1 + ia)A − (1 + iβ)|A|
2 A + γA X + (1 + iα)A XX
´½¾º½¼µ
ÓÓ a¸ α β Ø γ ×ÓÒØ × ÖÖÖÐÐÐ× º
ÆÓÙ× ÖÖÖÓÒÒÒÒ××ÓÒ× ÐÐ ÔÔÖØØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ½¾ºº г³ÜÜÜÔØØÓÒ Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ØØÖÑÑ
ÖÓÓØØ ÕÙÙ ÒÒ ÓÒØØØÒØ Ô × Ù Ò Ø Ö Ñ Ù Ø ÝÔÔ iaAº Ç Ò Ú Ú ÓÓÖ Ò× ÐÐ ÔÖÓÓÓÓÓÒÒ
×××ØØÓÒ ÕÙÙ ØØÖÑÑ ÔÔÙØ ØÖÖ ÔÔÖ ÙÒ ××ÑÔÐÐ ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ú ÖÖÖÖÐи
ÙÒÒ ÓÔÔÖÖØØÓÒ ÕÙÙ ×Ø ÔÖÖ××ÒØØ Ò× Ð³³ÒÒÐÝ×× ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ÓÑÑÑ ÓÒ ÐÐ ÖÖÖÓÒ¹
ÒÒÒØÖÖ Ù ÔÖÓÓÓÓÓÒ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔº
ÆÓÙ× ×ÙÔÔÓ×× ÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ×ÙÖ¹¹ÖÖØØÕÙÙ Ò ¹
ØØÒØ ÐÐ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ Ù ÙÙÙÕÙÙ ³ÙÒ ×××ÒÒ ÒÒÒÒØØØ ´××ØÙÖÖØØÓÒ ÒÓÒ
ÐÐÒÒÒÒÖÖµº Ò× ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ½¾º½¼¸ ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× T Ø X¸ ØØÐÐÐ× ÕÙÙ T = t
Ø X =
√
x¸ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÐÐÒØØ× Ù ×Ý×ØØÑÑ ´ÖÖÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ A
×Ø Ð³³ÒÚÚÐÓÔÔÔ ÐÐ ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ ÖÖÔÔÔÔµ ÚÓÓÖ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ ÐÐ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÓÒ¹
×××ÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÒÒÚÚÖ××ÐÐÐ Ú Ò× ÐÐ ×××ØØÓÒ ½¼º½ Ù
½¼º ÆÓÙ× ÚÓÒ× ÚÙ Ò× ÑÑÑÑ ÔÔØÖÖ ´´´´ÔÔØÖÖ ½¼µ¸ ÕÙÙ ÐÐ ÓÖÑÑ
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÖÖ×ÙÐØØ ÔÖÓÔÖÖÖØØ× ×ÝÑÑØÖÖÖ ÔÔÖ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ Ò×
г³×ÔÔÔÔ¸ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÐÐÐÐØØÑÑ Ò× ÐÐ × ØÖÖÖØØ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ
ÀÓÔÔº
ÒÒÒ¸ ÐÐ ØØÖÑÑ γA X ÔÔÙØ ØÖÖ ÐÐÑÑÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¾º½¼ ÑÓÝÝÒ¹
ÒÒÒØ ÙÒÒ ÓÔÔÖÖØØÓÒ ØÝÔÔ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ ÐÐÐÐÐÒÒÒº Ò Ø¸ ÔÓ×ÓÒ× X
=
X + γT ¸ Ø T
= T º ij³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÚÚÚÒØ ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ X
Ø
T
º ÇÒ ÓÓØ ÓÒÒ ØÙÙÖ ÐÐ× ÓÔÔÖÖØØÓÒ× Ò ØØÖÑÑ× ×
ÆÓÙ× ÙÖÖÓÒ× ÔÙ ÔÔÒ×× ÕÙÙ ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ Ø Ú ÒØ A X ×ÓÓØ ÓÑÔÐÐÜܸ г³Ò×ØØÖ
× ÙØÖÖ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÑÑÑ׸ ÚÚÓÐÐÖÖÖØ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÔÔÖÖØØ Ù ×Ý×ØØÑÑ
ÕÙÙ ÐÐ ÐÐ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×ÓÙ× Ð³ÓÔÔÖÖØØÓÒ ³³ÒÚÖ××ÓÒ
x → −x Ø ω
i → −ω
i º ÍÒÒ ÙØÖÖ ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ ÔÓÙÖ Ù×ØØØØÖ Ð³³³××ÒÒÒ ³ÙÒ ØØÖÑÑ Ò iA X
ÖÖÔÓ×× ×ÙÖ Ð³³ÒÒÐÝ×× ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ò× ÐÐ ×××ØØÓÒ ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ ÓÓ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ØØØÐÐ ÕÙÙ
ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ ÔÓÒÒÒÖÖÒØ ÐÐ ØØÖÑÑ A X ×Ø ÖÖÖÐ ´´Ð ×Ø ÓÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÚÚØØ××× ÖÓÙÔÔµº