½¾º ÇÖÖÖÖ Ø ×ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ Ø ØØÑÔÓÖÖÐ
¾¾¾
ÓÓ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÔÓ×× h Q (t) = e
ωi0t a Q (T )¸ ÕÙÙ ÖÖÚÚÚÒØ ××ÔÔÖÖÖ ÐÐÐÖÖÑÑÒØ
ÐÐ× ÙÜ ØÝÔÔ× ÔÔÒÒÒÒÒÒ Ò ÓÒÒØØÓÒ t Ø T ¸ ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÖÖÔÔÔÔ Ø
ÐÐÒØغ Ò× ÐÐ × ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ a Q (T ) ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¾ºº
´´ººº a Q (T ) = e
[1+ω
Q
2 /2+i¯ ω
i Q]T
µ ÒÓØÓÒ× Ò ÕÙÙ ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ ××× ³³ØÖÖ
ÚÚÐÐÐÐ Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ Ø a Q (T ) ÚÚÖÖÖÖÖÖ ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ
´´´ ØÝÔÔ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÖÖÒÒÓÒØÖÖÖ ÑÑÑÒØØ× ÖÖÔÖÖ×××µº
Ò ÙÒ ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒØ ××ÑÑÐÐÐÖÖ ÐÙÙ ÕÙÙ ØØ Ò× ÐÐ
ÓÒ×××ÖÖ Ð³ÙÒÒÚÖ××ÐÐØØ Ð³ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ ´ÚÓÓÖ ½¼µ¸ ÖÖÖÖÖÖÚÓÒ×
ÐÐ ÑÔ ÔÔÝ××ÕÙÙ h(x, t) ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾ººµ ÓÑÑÑ
h(x, t) = e
iqcx+iωi0t A(X, T ) + e
−iqcx−iωi0t A
∗
(X, T )
´½¾ººµ
ÓÓ ÒÓÙ× ÔÓ×× A(X, T ) =
Q a Q (T )e
iQX
ÐÐ ×ÓÑÑѸ ÕÙÙ ÔÓÖØØ Ò ÔÖÖÒÒÒÔÔ
×ÙÖ ØÓÙ× ÐÐ× ÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× ÖÖÖÐ׸ ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÖ×ØÖÖÖÒØØ ÐÐ ÒÒÒ × ÚÚÚØØÙÖ×
³ÓÒÒÒ ÙÜ ÑÓÓÓ× Ò×ØØØÐÐ× ´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ ½¼µº
Ò ÔÖÖÒÒÒØ ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑÑ ÓÙÖÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ù ÑÓÓÓ ÔÖÓÔÖÖ h q Ù
ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾º¿µ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ Q¸ ¸ Ø Ò ÙØØÐÐ××ÒØ ÐÐ
ÖÖÐÐØØÓÒ ω = ω r + ω i ¸ Ó ω r Ø ω i ×ÓÒØ ÓÒÒÒ× ÔÔÖ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ½¾º½ Ø ½¾º½µ¸
ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×ÙÙÚÒØØ
A T = A + ¯
ω
i A X +
1
2
(ω
r + iω
i )A XX .
´½¾ººµ
ÆÓÙ× ÓÔØØ ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÐÐÒØØ× Ø ÐÐ× ÖÖÚÚÚØØÓÒ× ×ÙÙÚÒØØ× A T =
∂A/∂T ¸ A X = ∂A/∂X Ø A XX = ∂
2 A/∂X
2
º ÄÄ ÓÑÔÔÖÖÖ×ÓÒ ÖÖ×ÙÐØØØ
Ú ÐÙÙ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ´´ÔÔØÖÖ ½¼µ ÒÓÙ× ×ÓÙÐÐÐÒÒ ÙÜ ¹
ÖÖÒÒÒ× ´´µ ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ Ø Ú ÒØ Ð Ö Ú ×××ÓÒÒÒ A XX ×Ø ÓÑÔÐÐÜÜ Ø ´´´µ
г³ÕÙÙØØÓÒ ÙÒ ÒÓÙÚÚÚÙ ØØÖÑÑ ¯
ω
i A X º
ÚÒØ ³³³ÖÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÔÔÖØØÖ × ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ×
×ÝÑÑØÖÖÖ¸ ×ÓÙÐÐÐÒÓÒ× ÒÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ÑÔ h гÓÒÒÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾ººµ ×Ø
Ù ÔÖÓÓÙÙØ ³ÙÒÒ Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ÖÖÔÔÔÔ e
iqcx+iωi0t
Ø ³ÙÒÒ ÒÚ ÐÐÒØØ
A(X, T ) ÐÐ ÖÖÒÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ¸ гÓ×××ÐÐÐØØÓÒ ÖÖÔÔÔÔ ××
ÖÖÖÐÐ×× ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ³ÙÒÒ ÓÒÒÒ ÔÐÐÒÒ ×× ÔÖÓÔÔÔÔÔÒØ ÐÐ ÚÚØØ××× ÔÔÔ××
ω i0 /q c º ÆÓÙ× ÚÓÒ× ×ØØÒÒÙÙÖ ÒØÖÖ ÙÜ ØÝÔÔ× ³ÓÒÒÒ ÙÒÒ ÓÒÒÒ ÙÙ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A Ø ÙÒÒ ÓÒÒÒ ÖÓÓØØ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ B = A
∗
гÓÒÒÒ ×× ÔÖÓÔÔÔÔ
ÐÐ ÚÚØØ××× ÖÓÙÔÔ ¯
ω
i º
½¾º½º¾ ÖÖÚØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÔÔÖØØÖ × ×ÝÑÑØÖÖÖ×
ÓÒØÖÖÖÖÖÑÑÒØ Ø ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ´´ººº ÙÖÖÖØØÓÒ ××ÓÓÓÓÓ ÙÒ
ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÖÖÖи ¯
ω i = 0µ¸ гÓÔÔÖÖØØÓÒ ³³ÒÚÚÖ××ÓÒ x Ò −x ÔÓÙÖ ÙÒÒ
ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ Ò³³×Ø ÔÔ× Ù ÒÒÒÑÑÒØ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A
Ò ØÓÙØØ ÖÖÖÙÙÙÖ¸ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ B гÓÒÒÒ ÖÓÓØØ ÔÓÙÖÖÖÖØ ÒÒ ÔÔ× ØÖÖ ÐÐ ÓÒÒÙÙÙÙ
г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ººº B = A ∗ µ¸ ÕÙÙ ÔÓÙÖÖÖÖØ ÒØÖÓÓÙÙÖÖ ÒÓÙÚÙÜ ØØÖÑÑ× ³³ÒØØÖÖÖØØÓÒ
ÒØÖÖ ÐÐ× ÙÜ ÓÒÒÒ׺ ÈÈÖ ×ÓÙÙÙ ××ÑÔÐÐÐÐØظ ÒÓÙ× ÐÐÓÒ× ÒÓÙ× ÖÖ×ØÖÖÖÒÒÖÖ Ù × ÓÓ B = A ∗ º
¾¾¾
ÓÓ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÔÓ×× h Q (t) = e
ωi0t a Q (T )¸ ÕÙÙ ÖÖÚÚÚÒØ ××ÔÔÖÖÖ ÐÐÐÖÖÑÑÒØ
ÐÐ× ÙÜ ØÝÔÔ× ÔÔÒÒÒÒÒÒ Ò ÓÒÒØØÓÒ t Ø T ¸ ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÖÖÔÔÔÔ Ø
ÐÐÒØغ Ò× ÐÐ × ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ a Q (T ) ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¾ºº
´´ººº a Q (T ) = e
[1+ω
Q
2 /2+i¯ ω
i Q]T
µ ÒÓØÓÒ× Ò ÕÙÙ ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ ××× ³³ØÖÖ
ÚÚÐÐÐÐ Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ Ø a Q (T ) ÚÚÖÖÖÖÖÖ ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ
´´´ ØÝÔÔ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÖÖÒÒÓÒØÖÖÖ ÑÑÑÒØØ× ÖÖÔÖÖ×××µº
Ò ÙÒ ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒØ ××ÑÑÐÐÐÖÖ ÐÙÙ ÕÙÙ ØØ Ò× ÐÐ
ÓÒ×××ÖÖ Ð³ÙÒÒÚÖ××ÐÐØØ Ð³ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ ´ÚÓÓÖ ½¼µ¸ ÖÖÖÖÖÖÚÓÒ×
ÐÐ ÑÔ ÔÔÝ××ÕÙÙ h(x, t) ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾ººµ ÓÑÑÑ
h(x, t) = e
iqcx+iωi0t A(X, T ) + e
−iqcx−iωi0t A
∗
(X, T )
´½¾ººµ
ÓÓ ÒÓÙ× ÔÓ×× A(X, T ) =
Q a Q (T )e
iQX
ÐÐ ×ÓÑÑѸ ÕÙÙ ÔÓÖØØ Ò ÔÖÖÒÒÒÔÔ
×ÙÖ ØÓÙ× ÐÐ× ÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× ÖÖÖÐ׸ ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÖ×ØÖÖÖÒØØ ÐÐ ÒÒÒ × ÚÚÚØØÙÖ×
³ÓÒÒÒ ÙÜ ÑÓÓÓ× Ò×ØØØÐÐ× ´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ ½¼µº
Ò ÔÖÖÒÒÒØ ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑÑ ÓÙÖÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ù ÑÓÓÓ ÔÖÓÔÖÖ h q Ù
ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾º¿µ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ Q¸ ¸ Ø Ò ÙØØÐÐ××ÒØ ÐÐ
ÖÖÐÐØØÓÒ ω = ω r + ω i ¸ Ó ω r Ø ω i ×ÓÒØ ÓÒÒÒ× ÔÔÖ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ½¾º½ Ø ½¾º½µ¸
ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×ÙÙÚÒØØ
A T = A + ¯
ω
i A X +
1
2
(ω
r + iω
i )A XX .
´½¾ººµ
ÆÓÙ× ÓÔØØ ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÐÐÒØØ× Ø ÐÐ× ÖÖÚÚÚØØÓÒ× ×ÙÙÚÒØØ× A T =
∂A/∂T ¸ A X = ∂A/∂X Ø A XX = ∂
2 A/∂X
2
º ÄÄ ÓÑÔÔÖÖÖ×ÓÒ ÖÖ×ÙÐØØØ
Ú ÐÙÙ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ´´ÔÔØÖÖ ½¼µ ÒÓÙ× ×ÓÙÐÐÐÒÒ ÙÜ ¹
ÖÖÒÒÒ× ´´µ ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ Ø Ú ÒØ Ð Ö Ú ×××ÓÒÒÒ A XX ×Ø ÓÑÔÐÐÜÜ Ø ´´´µ
г³ÕÙÙØØÓÒ ÙÒ ÒÓÙÚÚÚÙ ØØÖÑÑ ¯
ω
i A X º
ÚÒØ ³³³ÖÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÔÔÖØØÖ × ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ×
×ÝÑÑØÖÖÖ¸ ×ÓÙÐÐÐÒÓÒ× ÒÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ÑÔ h гÓÒÒÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾ººµ ×Ø
Ù ÔÖÓÓÙÙØ ³ÙÒÒ Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ÖÖÔÔÔÔ e
iqcx+iωi0t
Ø ³ÙÒÒ ÒÚ ÐÐÒØØ
A(X, T ) ÐÐ ÖÖÒÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ¸ гÓ×××ÐÐÐØØÓÒ ÖÖÔÔÔÔ ××
ÖÖÖÐÐ×× ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ³ÙÒÒ ÓÒÒÒ ÔÐÐÒÒ ×× ÔÖÓÔÔÔÔÔÒØ ÐÐ ÚÚØØ××× ÔÔÔ××
ω i0 /q c º ÆÓÙ× ÚÓÒ× ×ØØÒÒÙÙÖ ÒØÖÖ ÙÜ ØÝÔÔ× ³ÓÒÒÒ ÙÒÒ ÓÒÒÒ ÙÙ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A Ø ÙÒÒ ÓÒÒÒ ÖÓÓØØ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ B = A
∗
гÓÒÒÒ ×× ÔÖÓÔÔÔÔ
ÐÐ ÚÚØØ××× ÖÓÙÔÔ ¯
ω
i º
½¾º½º¾ ÖÖÚØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÔÔÖØØÖ × ×ÝÑÑØÖÖÖ×
ÓÒØÖÖÖÖÖÑÑÒØ Ø ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ´´ººº ÙÖÖÖØØÓÒ ××ÓÓÓÓÓ ÙÒ
ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÖÖÖи ¯
ω i = 0µ¸ гÓÔÔÖÖØØÓÒ ³³ÒÚÚÖ××ÓÒ x Ò −x ÔÓÙÖ ÙÒÒ
ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ Ò³³×Ø ÔÔ× Ù ÒÒÒÑÑÒØ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A
Ò ØÓÙØØ ÖÖÖÙÙÙÖ¸ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ B гÓÒÒÒ ÖÓÓØØ ÔÓÙÖÖÖÖØ ÒÒ ÔÔ× ØÖÖ ÐÐ ÓÒÒÙÙÙÙ
г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ººº B = A ∗ µ¸ ÕÙÙ ÔÓÙÖÖÖÖØ ÒØÖÓÓÙÙÖÖ ÒÓÙÚÙÜ ØØÖÑÑ× ³³ÒØØÖÖÖØØÓÒ
ÒØÖÖ ÐÐ× ÙÜ ÓÒÒÒ׺ ÈÈÖ ×ÓÙÙÙ ××ÑÔÐÐÐÐØظ ÒÓÙ× ÐÐÓÒ× ÒÓÙ× ÖÖ×ØÖÖÖÒÒÖÖ Ù × ÓÓ B = A ∗ º