¾¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
Ø ÔÔÖ ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×ÙÙØ Ò ØØÖÖÖ × ÖÖÒ××××ÒÒÑÑÒØ × Ù Ö
× ÚÖÖÖÖÐÐ×µº Ò Ø¸ Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ø Ò ×× ÖÖÖÖÖÖÒØ ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ×
½¾º½ Ø ½¾º¾¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖ ÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ
ÓÑÑÑ
h q (t) ∼ e
ωt
= e
[iωi0++ω
(q−qc)
2 t/2+(q−qc)ω
i ]t
= e
ωi0t e
[1+ω
Q
2 /2+iω
i Q/
√
]T .
´½¾ººµ
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ¸ ω ×Ø ÖÖÖÐ ´´ººº ω i = 0µ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ Ò³³×Ø ÓÒÒØØÓÒ ÕÙÙ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÐÐÒØØ T º º Ò × Ð × ÔÐÙ× ÒÒÖÖÐ
ÖÖØ ÔÔÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¾ºº¸ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÔÐÙ×××ÙÖ× ÚÚÖÖ¹
ÐÐ× ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ׸ ×ÓÓØ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÖÖÔÔÔÔ t Ø ÐÐ× ÚÖÖÖÖÐÐ× ÐÐÒØØ× t Ø t
√
º Ò×׸
г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐÒØØÑÑÒØ Ú ÖÖÖÖÐРгÓÒÒÒ ×ظ Ò ØÓÙØØ ÖÖÖÙÙÙÖ¸
ØÝÔÔ a Q (tt, t
√
) ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× Ò×× ÒÒØÙÖÖÐÐÐÑÑÒØ Ø Ò ÚÚØØ× ÒØÖÓÓÙÙÖÖ ÙÜ
ÐÐÐ× ØØÑÔ× ×ØØÒÒØØ× T Ø τ ¸ ØØÐ× ÕÙÙ T = t Ø τ =
√
t¸ г³Ò×ØØÖ ØÓÙØ
ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÚÓÐÙÙÒØ ××ÐÓÒ × ÐÐÐ× ÑÙÐØØÔÐÐ× ´ÚÓÓÖ ½¼µº ijÓÔÔÖÖØØÙÖ
ÖÖÒÒÒÒØØÓÒ ÔÔÖØØØÐÐР׳³ÜÔÖÖÑÑ ÐÓÖ× ÓÑÑÑ
∂
∂t
→
∂
∂t
+
∂
∂T
+
√
∂
∂τ
.
´½¾ººµ
ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÒÓØØÖ ÕÙÙ Ø ÓÔÔÖÖØØÙÖ ×Ø ØÖÓÓ× ØØÖÑÑ×
ÙÜ ØÖÓÓ× ØØÑÔ× Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÐÓÖ× ÕÙÙ ×ÓÒ ÒÒÐÓÓÙÙ Ò×
ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ÒÒ ÕÙÙ ³ÙÒÒ ××ÙÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÐÐÒØØ
´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º½¿µº ÈÓÙÖ ÚÚØØÖ ×× ÐÐÒÒÒÖ Ò× ÙÒÒ ÒÒÐÝ×× ÑÙÐØØÔÐÐ×
ØÖÓÓ× ÚÖÖÖÖÐÐ× ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ× ´´³³ÙØØÒØ ÔÐÙ× ÕÙÙ ÒÓØÖÖ ÓÓØØØ ×Ø ØØÖÑÑÒÒÖ Ò
ÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙ٠г³³³³ ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ× ×ÝÑÑØÖÖÖ ÙÒÒÕÙÙÑÑÒص¸
ÒÓÙ× ÓÔØÓÒ× ÙÒÒ ××ÑÔÐÐÐÐÐØÖÖÖÖ ÙÒ ÔÔÙ ÖÖÖØÖÖÖÖÖ ×ØØØØ Ð
ÖÖÚ ÐÐ ÔÔÖØØØ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ Ù ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ´´ºº ω
i µ ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ
√
Ò×× ÐРг³ÕÙÙØØÓÒ ½¾ºº ÒÒ Ø ÒØØÖÚÒÒÖ ÕÙÙ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ
ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÐÐÒØØ T º È Ó×ÓÒ× ÐÓÖ× ω
i = ¯
ω
i /
√
Ø ÓÒ××××ÖÓÒ× ÕÙÙ ¯
ω
i ×Ø ³ÓÖÖÖÖ
ÙÒÒØغ
ÄÄ ÑÔ ÔÔÝ××ÕÙÙ h(x, t) ×Ø Ò×× ÙÜ ØØÖÑÑ× ³ÙÒÒ
ÔÔÖØ ÙÒÒ ÚÚÖÖÖØØÓÒ ÖÖÔÔÔÔ ´´××ÓÓÓÓÓ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ tµ Ø ³³ÙØÖÖ ÔÔÖظ ÙÒÒ
ÚÚÖÖÖØØÓÒ ÐÐÒØØ ´´××ÓÓÓÓÓ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ T µ Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ
´´Ø ÔÔÖ ÚÚÚ Ð³³ÒÒÐÝ×× ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ½¾ººµ¸ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÖÖÔÔÔÔ
×Ø ØÝÔÔ e
iωi0t
ÐÓÖ× ÕÙÙ ÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÐÐÒØØ ×Ø
Ò× Ð³³ÑÔÐÐØÙÙ٠гÓÒÒÒ ´ÓÙ ×ÓÒ ÒÚÐÓÔÔÔ µ¸ ×ÓÓØ
h(x, t) = e
iqcx+ωi0t
Q
a Q (T )e
iQX
+ c.c.
´½¾ººµ
ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ω i = ω i0 º º Ù Ú ÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ×Ø ÔØØظ
ω i × ØØÖÑÑ× ÓÖÖÖÖØØØ× ³ÓÖÖÖÖ ÑÑÑ× ØØÐÐÐ× ÓÖÖÖÖØØÓÒ× ×ÓÒØ ÔÖÖ××× Ò
ÓÑÔØØ Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ a Q (T )º ³³×Ø ÔÓÙÖÕÙÓÓ Ð ×Ø ÐÐÐÐØØÑÑ
ÒÒ ÖÖÖÖ ÕÙ³³ÜÔÐÐÐÐØØÑÑÒØ ÐÐ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÖÖÔÔÔÔ Ò e iω i0 t Ò×
г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ù ÔÔÝ××ÕÙÙ h(x, t)º
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
Ø ÔÔÖ ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×ÙÙØ Ò ØØÖÖÖ × ÖÖÒ××××ÒÒÑÑÒØ × Ù Ö
× ÚÖÖÖÖÐÐ×µº Ò Ø¸ Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ø Ò ×× ÖÖÖÖÖÖÒØ ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ×
½¾º½ Ø ½¾º¾¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖ ÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ
ÓÑÑÑ
h q (t) ∼ e
ωt
= e
[iωi0++ω
(q−qc)
2 t/2+(q−qc)ω
i ]t
= e
ωi0t e
[1+ω
Q
2 /2+iω
i Q/
√
]T .
´½¾ººµ
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ¸ ω ×Ø ÖÖÖÐ ´´ººº ω i = 0µ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ Ò³³×Ø ÓÒÒØØÓÒ ÕÙÙ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÐÐÒØØ T º º Ò × Ð × ÔÐÙ× ÒÒÖÖÐ
ÖÖØ ÔÔÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¾ºº¸ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÔÐÙ×××ÙÖ× ÚÚÖÖ¹
ÐÐ× ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ׸ ×ÓÓØ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÖÖÔÔÔÔ t Ø ÐÐ× ÚÖÖÖÖÐÐ× ÐÐÒØØ× t Ø t
√
º Ò×׸
г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐÒØØÑÑÒØ Ú ÖÖÖÖÐРгÓÒÒÒ ×ظ Ò ØÓÙØØ ÖÖÖÙÙÙÖ¸
ØÝÔÔ a Q (tt, t
√
) ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× Ò×× ÒÒØÙÖÖÐÐÐÑÑÒØ Ø Ò ÚÚØØ× ÒØÖÓÓÙÙÖÖ ÙÜ
ÐÐÐ× ØØÑÔ× ×ØØÒÒØØ× T Ø τ ¸ ØØÐ× ÕÙÙ T = t Ø τ =
√
t¸ г³Ò×ØØÖ ØÓÙØ
ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÚÓÐÙÙÒØ ××ÐÓÒ × ÐÐÐ× ÑÙÐØØÔÐÐ× ´ÚÓÓÖ ½¼µº ijÓÔÔÖÖØØÙÖ
ÖÖÒÒÒÒØØÓÒ ÔÔÖØØØÐÐР׳³ÜÔÖÖÑÑ ÐÓÖ× ÓÑÑÑ
∂
∂t
→
∂
∂t
+
∂
∂T
+
√
∂
∂τ
.
´½¾ººµ
ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÒÓØØÖ ÕÙÙ Ø ÓÔÔÖÖØØÙÖ ×Ø ØÖÓÓ× ØØÖÑÑ×
ÙÜ ØÖÓÓ× ØØÑÔ× Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÐÓÖ× ÕÙÙ ×ÓÒ ÒÒÐÓÓÙÙ Ò×
ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ÒÒ ÕÙÙ ³ÙÒÒ ××ÙÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÐÐÒØØ
´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º½¿µº ÈÓÙÖ ÚÚØØÖ ×× ÐÐÒÒÒÖ Ò× ÙÒÒ ÒÒÐÝ×× ÑÙÐØØÔÐÐ×
ØÖÓÓ× ÚÖÖÖÖÐÐ× ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ× ´´³³ÙØØÒØ ÔÐÙ× ÕÙÙ ÒÓØÖÖ ÓÓØØØ ×Ø ØØÖÑÑÒÒÖ Ò
ÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙ٠г³³³³ ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ× ×ÝÑÑØÖÖÖ ÙÒÒÕÙÙÑÑÒص¸
ÒÓÙ× ÓÔØÓÒ× ÙÒÒ ××ÑÔÐÐÐÐÐØÖÖÖÖ ÙÒ ÔÔÙ ÖÖÖØÖÖÖÖÖ ×ØØØØ Ð
ÖÖÚ ÐÐ ÔÔÖØØØ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ Ù ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ´´ºº ω
i µ ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ
√
Ò×× ÐРг³ÕÙÙØØÓÒ ½¾ºº ÒÒ Ø ÒØØÖÚÒÒÖ ÕÙÙ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ
ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÐÐÒØØ T º È Ó×ÓÒ× ÐÓÖ× ω
i = ¯
ω
i /
√
Ø ÓÒ××××ÖÓÒ× ÕÙÙ ¯
ω
i ×Ø ³ÓÖÖÖÖ
ÙÒÒØغ
ÄÄ ÑÔ ÔÔÝ××ÕÙÙ h(x, t) ×Ø Ò×× ÙÜ ØØÖÑÑ× ³ÙÒÒ
ÔÔÖØ ÙÒÒ ÚÚÖÖÖØØÓÒ ÖÖÔÔÔÔ ´´××ÓÓÓÓÓ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ tµ Ø ³³ÙØÖÖ ÔÔÖظ ÙÒÒ
ÚÚÖÖÖØØÓÒ ÐÐÒØØ ´´××ÓÓÓÓÓ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ T µ Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ
´´Ø ÔÔÖ ÚÚÚ Ð³³ÒÒÐÝ×× ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ½¾ººµ¸ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÖÖÔÔÔÔ
×Ø ØÝÔÔ e
iωi0t
ÐÓÖ× ÕÙÙ ÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÐÐÒØØ ×Ø
Ò× Ð³³ÑÔÐÐØÙÙ٠гÓÒÒÒ ´ÓÙ ×ÓÒ ÒÚÐÓÔÔÔ µ¸ ×ÓÓØ
h(x, t) = e
iqcx+ωi0t
Q
a Q (T )e
iQX
+ c.c.
´½¾ººµ
ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ω i = ω i0 º º Ù Ú ÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ×Ø ÔØØظ
ω i × ØØÖÑÑ× ÓÖÖÖÖØØØ× ³ÓÖÖÖÖ ÑÑÑ× ØØÐÐÐ× ÓÖÖÖÖØØÓÒ× ×ÓÒØ ÔÖÖ××× Ò
ÓÑÔØØ Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ a Q (T )º ³³×Ø ÔÓÙÖÕÙÓÓ Ð ×Ø ÐÐÐÐØØÑÑ
ÒÒ ÖÖÖÖ ÕÙ³³ÜÔÐÐÐÐØØÑÑÒØ ÐÐ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÖÖÔÔÔÔ Ò e iω i0 t Ò×
г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ù ÔÔÝ××ÕÙÙ h(x, t)º