½¾º ÇÖÖÖÖ Ø ×ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ Ø ØØÑÔÓÖÖÐ
¾¾¿
г³Ò×ØØØØÐÐØØ ω r Ù ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾º½µ ÒÒÒÕÙÙ ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖØØØ
ÖÖÖÐÐÐ Ù ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ω r ×Ø ÑÑÜÜÑÑÐ Ò ÔÓÓÒØ ´ Ú ÓÓÖ ×××ØØÓÒ º½½º¾µº
ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ØÙÙÖ ÙÒ Ø Ì ÝÐÓÖ
ÐÐ ÔÔÖØØØ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ ω i Ù ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÓÓÒØ
ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ×ÓÓØ
ω i = ω i0 + (q − q c )ω
i + ω
i
(q − q c )
2
2
+ ...
´½¾º¾µ
ÓÓ ω i0 ≡ ω i (q = q c , , = 0) Ø ω
i , ω
i ×ÓÒØ ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒØ ÐÐ× ÔÖÖÑÑÑÖÖ Ø
×××ÓÒÒÒ Ù ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÚÐÙÙÙ× ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ÓÙÐÐÐÒÓÒ× ÐÐ Ø ÕÙÙ
ÐÐ ÖÖÚ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÐÐ ÔÔÖØØØ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ Ù ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ω
i ÒÒ ×³³ÒÒÙÐÐ
ÔÔ× ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÓÒØÖÖÖÖÖÑÑÒØ Ø ω
r º
ÒÒÒ¸ ÒÓØÓÒ× ÕÙÙ¸ ÔÓÙÖ ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÓÒÒÒ¸ ÐÐ ÒÓÑÖÖ ÚÚÖÖÖÖÐÐ× Ý¹
ÒÒÑÑÕÙÙ× ÖÖÖÐÐÐÑÑÒØ ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØØ× ÐÐ× ÙÒÒ× × ÙØÖÖ× ÔÔÙØ ØÖÖ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ
ÙÒ ´ÚÓÓÖ µ ÑÑÑ׸ ××ÐÓÒ Ð³³ÝÔÓØØØ×× Ù×ÙÙÐÐÐ ÓÔØØØ Ù ÔÓÓÒØ ÙÖ¹
ØØÓÒ ´q = q c Ø = 0µ¸ ÒÓÙ× ×ÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÒÒ ×³³ÒÒÙÐÐ
ÕÙÙ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ××ÙÐÐ ¾ ÚÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ ωº ØØØ ÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ ÚÚÚÒØ ÔÓ××ØØÚ ÔÓÙÖ
ÙÒ Ò××ÑÐÐ ÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ ÙØÓÙÖ q c ÔÓÙÖ > 0 ´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ
Ø ½ ¼ µ º Ä Ñ Ó Ô Ö Ó Ô Ö h q ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ ω ׳³ÜÔÖÖÑÑ ÓÑÑÑ ÙÒÒ
×ÙÔÔÖÔÓ××ØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ × ÖÖÒØØ× ÚÖÖÖÖÐÐ× ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÑÑ××× Ò Ù Ò×
ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ× ÖÖÖØØÖÖ××ÒØ Ð ³ Ú ÓÐÙØØÓÒº ÄÄ ÑÓÓÓ ÔÖÓÔÖÖ ÓÙÖÖÖÖ h q
ÓÓÓÓØ Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ØÝÔÔ
∂h q
∂t
= ωh q .
´½¾º¿µ
ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ½¾º¿ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ h q (t) = h q (0)e
ωt
º
ÈÓÙÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ØØÒÒÙ Ò× ÐÐ ÖÖÖØØÓÒ ox ´´ººº ×Ý×ØØÑÑ ÒÒÒÒµ ¿ Ð Ò³³ÜÜ×ØØ
ÙÙÙÒÒ ÖÖ×ØÖÖÖØØÓÒ ×ÙÖ q¸ Ø ÔÔÖ ÓÒ××ÕÙÙÒØ ØÓÙØØ ×ÓÐÙØØÓÒ Ú q ÖÖÖØÖÖÖÖÖ ×Ø
×ÓÐÙØØÓÒº ÈÈÖ ÓÒ××ÕÙÙÒظ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÖÖÐÐ h(x, t) ×Ø ÙÒÒ ×ÙÔÔÖÔÓ××ØØÓÒ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ ØÓÙ× ÐÐ× ÑÓÓÓ× ÓÙÖÖÖÖ ´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ ½¼µ¸ ×ÓÓØ
h(x, t) =
q
h q (t)e
iqx
= e
iqcx
q
h q (0)e
i(q−qc)x
+ c.c.
= e
iqcx
Q
h Q (t)e
iQX
+ c.c.
´½¾ººµ
ÓÓ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ØÙÙ ÐÐ ÒÒÒÑÑÒØ ÚÖÖÖÖÐÐ ×ÙÙÚÚÒØ Ø Q = (q − q c )/
√
¸
Ø ÚÓÒ× ÒØÖÓÓÙÙØ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ×ÔÔØØØÐи ØØ× ÐÐÒØØ X = x
√
´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ
½¼µº ÆÓÙ× ×ÓÙÙÙÙØÓÒ× ÔÖÖ××ÒØ ÔÖÖÖÖ××Ö ÐÐ ÔÔÒÒÒÒÒÒ h Q (t) ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× ×
ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÐÐÒØØ× Ø ÖÖÔÔÔÔ׺ ü Ø Ø¸ ÒÓÙ× ÖÖÖ×ÓÒÒÓÒ× ÔÔÖ ÓÒØØÒÙÙØØ
ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´ÒÓØÖÖ ØÙÙÙ ×× ÓÒÒÒÒØÖÖ ÐÐ ÔÖÓÜÜÑÑØØ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ
¾ ÆÓÙ× ÔÔÖÐÓÒ× ÕÙÙÐÕÙÙÙÓÓ× ÙÖÖÖØØÓÒ Ó¹¹¹ÑÑÒ××ÓÒ ÙÒº
¿ ÌÓÙØ ×Ý×ØØÑÑ ÖÖÖÐ ×Ø ÒÒº ij³ÝÔÓØØØ×× ³ÙÒÒ ÜØØÒ××ÓÒ ÒÒÒÒÒ ÖÖÚÚÚÒØ ÖÖ Ò ÔÖÖØØÕÙÙ
ÕÙÙ ÒÓÙ× ×ÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ×Ø ÔÔØØØØ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ð³³ÜØØÒ××ÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ Ò× ÐÐ
ÖÖÖØØÓÒ oxº
¾¾¿
г³Ò×ØØØØÐÐØØ ω r Ù ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¾º½µ ÒÒÒÕÙÙ ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖØØØ
ÖÖÖÐÐÐ Ù ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ω r ×Ø ÑÑÜÜÑÑÐ Ò ÔÓÓÒØ ´ Ú ÓÓÖ ×××ØØÓÒ º½½º¾µº
ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ØÙÙÖ ÙÒ Ø Ì ÝÐÓÖ
ÐÐ ÔÔÖØØØ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ ω i Ù ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÓÓÒØ
ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ×ÓÓØ
ω i = ω i0 + (q − q c )ω
i + ω
i
(q − q c )
2
2
+ ...
´½¾º¾µ
ÓÓ ω i0 ≡ ω i (q = q c , , = 0) Ø ω
i , ω
i ×ÓÒØ ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒØ ÐÐ× ÔÖÖÑÑÑÖÖ Ø
×××ÓÒÒÒ Ù ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÚÐÙÙÙ× ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ÓÙÐÐÐÒÓÒ× ÐÐ Ø ÕÙÙ
ÐÐ ÖÖÚ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÐÐ ÔÔÖØØØ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ Ù ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ω
i ÒÒ ×³³ÒÒÙÐÐ
ÔÔ× ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÓÒØÖÖÖÖÖÑÑÒØ Ø ω
r º
ÒÒÒ¸ ÒÓØÓÒ× ÕÙÙ¸ ÔÓÙÖ ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÓÒÒÒ¸ ÐÐ ÒÓÑÖÖ ÚÚÖÖÖÖÐÐ× Ý¹
ÒÒÑÑÕÙÙ× ÖÖÖÐÐÐÑÑÒØ ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØØ× ÐÐ× ÙÒÒ× × ÙØÖÖ× ÔÔÙØ ØÖÖ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ
ÙÒ ´ÚÓÓÖ µ ÑÑÑ׸ ××ÐÓÒ Ð³³ÝÔÓØØØ×× Ù×ÙÙÐÐÐ ÓÔØØØ Ù ÔÓÓÒØ ÙÖ¹
ØØÓÒ ´q = q c Ø = 0µ¸ ÒÓÙ× ×ÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÒÒ ×³³ÒÒÙÐÐ
ÕÙÙ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ××ÙÐÐ ¾ ÚÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ ωº ØØØ ÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ ÚÚÚÒØ ÔÓ××ØØÚ ÔÓÙÖ
ÙÒ Ò××ÑÐÐ ÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ ÙØÓÙÖ q c ÔÓÙÖ > 0 ´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ
Ø ½ ¼ µ º Ä Ñ Ó Ô Ö Ó Ô Ö h q ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ ω ׳³ÜÔÖÖÑÑ ÓÑÑÑ ÙÒÒ
×ÙÔÔÖÔÓ××ØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ × ÖÖÒØØ× ÚÖÖÖÖÐÐ× ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÑÑ××× Ò Ù Ò×
ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ× ÖÖÖØØÖÖ××ÒØ Ð ³ Ú ÓÐÙØØÓÒº ÄÄ ÑÓÓÓ ÔÖÓÔÖÖ ÓÙÖÖÖÖ h q
ÓÓÓÓØ Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ØÝÔÔ
∂h q
∂t
= ωh q .
´½¾º¿µ
ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ½¾º¿ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ h q (t) = h q (0)e
ωt
º
ÈÓÙÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ØØÒÒÙ Ò× ÐÐ ÖÖÖØØÓÒ ox ´´ººº ×Ý×ØØÑÑ ÒÒÒÒµ ¿ Ð Ò³³ÜÜ×ØØ
ÙÙÙÒÒ ÖÖ×ØÖÖÖØØÓÒ ×ÙÖ q¸ Ø ÔÔÖ ÓÒ××ÕÙÙÒØ ØÓÙØØ ×ÓÐÙØØÓÒ Ú q ÖÖÖØÖÖÖÖÖ ×Ø
×ÓÐÙØØÓÒº ÈÈÖ ÓÒ××ÕÙÙÒظ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÖÖÐÐ h(x, t) ×Ø ÙÒÒ ×ÙÔÔÖÔÓ××ØØÓÒ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ ØÓÙ× ÐÐ× ÑÓÓÓ× ÓÙÖÖÖÖ ´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ ½¼µ¸ ×ÓÓØ
h(x, t) =
q
h q (t)e
iqx
= e
iqcx
q
h q (0)e
i(q−qc)x
+ c.c.
= e
iqcx
Q
h Q (t)e
iQX
+ c.c.
´½¾ººµ
ÓÓ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ØÙÙ ÐÐ ÒÒÒÑÑÒØ ÚÖÖÖÖÐÐ ×ÙÙÚÚÒØ Ø Q = (q − q c )/
√
¸
Ø ÚÓÒ× ÒØÖÓÓÙÙØ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ×ÔÔØØØÐи ØØ× ÐÐÒØØ X = x
√
´ÚÓÓÖ ÔÔØÖÖ
½¼µº ÆÓÙ× ×ÓÙÙÙÙØÓÒ× ÔÖÖ××ÒØ ÔÖÖÖÖ××Ö ÐÐ ÔÔÒÒÒÒÒÒ h Q (t) ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× ×
ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÐÐÒØØ× Ø ÖÖÔÔÔÔ׺ ü Ø Ø¸ ÒÓÙ× ÖÖÖ×ÓÒÒÓÒ× ÔÔÖ ÓÒØØÒÙÙØØ
ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´ÒÓØÖÖ ØÙÙÙ ×× ÓÒÒÒÒØÖÖ ÐÐ ÔÖÓÜÜÑÑØØ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ
¾ ÆÓÙ× ÔÔÖÐÓÒ× ÕÙÙÐÕÙÙÙÓÓ× ÙÖÖÖØØÓÒ Ó¹¹¹ÑÑÒ××ÓÒ ÙÒº
¿ ÌÓÙØ ×Ý×ØØÑÑ ÖÖÖÐ ×Ø ÒÒº ij³ÝÔÓØØØ×× ³ÙÒÒ ÜØØÒ××ÓÒ ÒÒÒÒÒ ÖÖÚÚÚÒØ ÖÖ Ò ÔÖÖØØÕÙÙ
ÕÙÙ ÒÓÙ× ×ÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ×Ø ÔÔØØØØ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ð³³ÜØØÒ××ÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ Ò× ÐÐ
ÖÖÖØØÓÒ oxº